平方定理(アーベル多様体)
概要
平方定理(アーベル多様体)（theorem of the square）とは、アーベル多様体 $A$ 上の可逆層 $L$ と点 $a,b$ について $t_{a+b}^*L\otimes L\cong t_a^*L\otimes t_b^*L$ が成り立つという定理である。立方体定理の系であり、$a\mapsto t_a^*L\otimes L^{-1}$ が $A$ から Picard 群への群準同型であることと同値である。ここから、$L$ が豊富なら $t_a^*L\cong L$ となる点 $a$ が有限個であること、有効因子 $D$ の線形系 $|2D|$ に固定点がないことが従い、アーベル多様体の射影性や双対アーベル多様体の理論の基礎になる。
平方定理（theorem of the square）は、アーベル多様体 $A$ の上の可逆層 $L$ を点 $a,b$ と $a+b$ で平行移動すると
$$
t_{a+b}^*L\otimes L\cong t_a^*L\otimes t_b^*L
$$
が成り立つ、という定理である。$0,a,b,a+b$ を平行四辺形の 4 つの頂点と見ると、向かい合う頂点の組ごとに平行移動を掛けたものが等しい、と言っている。名の「平方」は、立方体定理 の「立方」と対になる語で、頂点が 4 つの図形を指している。
式を $L^{-2}$ で割ると、$\varphi_L(a):=t_a^*L\otimes L^{-1}$ について $\varphi_L(a+b)=\varphi_L(a)\otimes\varphi_L(b)$ となる。つまり「平行移動による可逆層のずれ」は点について加法的である。これは、高次元のアーベル多様体の上で可逆層を調べるための最初の道具である。この定理から
- $L$ が豊富な可逆層なら、$t_a^*L\cong L$ となる点 $a$ は有限個しかないこと、
- 有効因子 $D$ の 2 倍の線形系 $|2D|$ に固定点がないこと、
- 射 $\varphi_L\colon A\to\operatorname{Pic}(A)$ が双対アーベル多様体への準同型になること
が従う。この記事では、平方定理を立方体定理の系として証明し、はじめの 2 つを証明し、例と反例を挙げる。
設定と記号
$k$ を代数閉体とし、立方体定理 の記事の設定に従う。$A$ を $k$ 上のアーベル多様体、$m\colon A\times A\to A$ を和、$p_1,p_2$ を射影、$0$ を単位元とする。$a\in A$ について $t_a\colon A\to A$、$x\mapsto x+a$ を平行移動とする。$A$ は可換なので $t_a\circ t_b=t_{a+b}$ であり、$t_a^*t_b^*L\cong t_{a+b}^*L$ である。多様体 $V$ からの射 $f,g\colon V\to A$ の和を $f+g:=m\circ(f,g)$ と書く。可逆層の同型類は $\otimes$ について群 $\operatorname{Pic}(V)$ をなす（Picard群）。
因子については、有効因子 $D$ に $\mathcal{O}_A(D)$ を対応させる。$t_a^*\mathcal{O}_A(D)=\mathcal{O}_A(t_a^*D)$ で、$t_a^*D=t_{-a}(D)$ は $D$ を $-a$ だけ平行移動した因子である。$\sim$ は線形同値を表す。
主定理
立方体定理 の記事の系「7 つの可逆層の積」と系「3 つの射の関係式」から、次の形を使う。
$V$ を多様体、$f,g,h\colon V\to A$ を射、$L$ を $A$ 上の可逆層とする。$V$ 上で
$$
(f+g+h)^*L\otimes(f+g)^*L^{-1}\otimes(f+h)^*L^{-1}\otimes(g+h)^*L^{-1}\otimes f^*L\otimes g^*L\otimes h^*L
$$
は自明である。
要点：$V=A\times A\times A$ と 3 つの射影の場合が本質で、そのときは 3 枚の座標面への制限が自明なので、立方体定理により全体が自明になる。一般の場合はこれを $(f,g,h)$ で引き戻す。
詳しい証明を開く
$A\times A\times A$ 上の可逆層 $\Theta$ を、$p_1,p_2,p_3$ を射影として $f=p_1$、$g=p_2$、$h=p_3$ としたときの上の式で定める。$\{0\}\times A\times A$ を $A\times A$ と同一視し、$q_1,q_2$ をその射影とすると、制限により $p_1+p_2+p_3\mapsto m$、$p_1+p_2\mapsto q_1$、$p_1+p_3\mapsto q_2$、$p_2+p_3\mapsto m$、$p_1\mapsto$ 定値写像、$p_2\mapsto q_1$、$p_3\mapsto q_2$ となるので、
$\Theta|_{\{0\}\times A\times A}\cong m^*L\otimes q_1^*L^{-1}\otimes q_2^*L^{-1}\otimes m^*L^{-1}\otimes\mathcal{O}\otimes q_1^*L\otimes q_2^*L\cong\mathcal{O}$
である。$\Theta$ の定義は 3 つの座標について対称なので、$A\times\{0\}\times A$、$A\times A\times\{0\}$ への制限も自明である。$A$ は完備な多様体なので、立方体定理 の定理（$X=Y=Z=A$、$x_0=y_0=z_0=0$）により $\Theta$ は自明である。一般の場合の可逆層は $\Theta$ の $(f,g,h)\colon V\to A\times A\times A$ による引き戻しなので自明である。$\square$
$L$ を $A$ 上の可逆層とする。任意の $a,b\in A$ について
$$
t_{a+b}^*L\otimes L\cong t_a^*L\otimes t_b^*L
$$
である。
prop-sq-three-maps を $V=A$、$f=1_A$、$g$ を $a$ への定値写像、$h$ を $b$ への定値写像として使う。$f+g+h=t_{a+b}$、$f+g=t_a$、$f+h=t_b$ である。$g+h$、$g$、$h$ は定値写像で、定値写像による引き戻しは自明なので、$t_{a+b}^*L\otimes t_a^*L^{-1}\otimes t_b^*L^{-1}\otimes L$ が自明になる。$\square$
これは Mil86b 定理 6.7（p. 112）である。
$k$ が一般の体で $a,b\in A(k)$ のときも、定理は同じ形で成り立つ（Mil86b 定理 6.7）。完備な多様体 $V$ 上の可逆層 $M$ が $V_{\bar k}$ で自明なら、$H^0(V,M^{\pm1})\otimes_k\bar k=H^0(V_{\bar k},M^{\pm1}_{\bar k})\ne0$ から $M^{\pm1}$ に $0$ でない切断があり、$M$ は自明である（同 補題 5.4・補題 6.2, pp. 110–111）。
平方定理を点の族に広げたのが次の形である。$T$ を多様体、$f\colon T\to A$ を射とし、$u_f\colon A\times T\to A$、$(x,t)\mapsto x+f(t)$ とおく。$T$ の点 $t$ の上では $u_f$ は $t_{f(t)}$ である。
射 $f,g\colon T\to A$ について、$A\times T$ 上で
$$
u_{f+g}^*L\otimes p_A^*L\cong u_f^*L\otimes u_g^*L\otimes p_T^*N,\qquad N:=(f+g)^*L\otimes f^*L^{-1}\otimes g^*L^{-1}
$$
である。$T$ が 1 点のとき、これは thm-sq-main である。
prop-sq-three-maps を $V=A\times T$ と 3 つの射 $p_A$、$f\circ p_T$、$g\circ p_T$ に当てて整理する。$p_A+f\circ p_T=u_f$ であり、$(f\circ p_T)^*L=p_T^*f^*L$ などである。$\square$
各ファイバー $A\times\{t\}$ の上では $p_T^*N$ は自明なので、この系は「ファイバーごとの同型が、底から来る可逆層の違いを除いて貼り合う」と言っている。双対アーベル多様体 では、族としてのこの性質を Poincaré 束の普遍性で扱う。
加法性と有限和
以下、$L$ を $A$ 上の可逆層とし、
$$
\varphi_L\colon A\to\operatorname{Pic}(A),\qquad\varphi_L(a):=[t_a^*L\otimes L^{-1}]
$$
とおく。thm-sq-main の両辺に $L^{-2}$ を掛けると $\varphi_L(a+b)=\varphi_L(a)\varphi_L(b)$ となる。すなわち $\varphi_L$ は群準同型である。
$a_1,\dots,a_r\in A$ が $a_1+\dots+a_r=0$ をみたすなら
$$
t_{a_1}^*L\otimes\cdots\otimes t_{a_r}^*L\cong L^{\otimes r}
$$
である。とくに有効因子 $D$ について $t_{a_1}^*D+\dots+t_{a_r}^*D\sim rD$ である。整数 $n$ と $a\in A$ については $t_{na}^*L\cong(t_a^*L)^{\otimes n}\otimes L^{\otimes(1-n)}$ である。
$\varphi_L$ が準同型なので $\prod_i\varphi_L(a_i)=\varphi_L(0)=1$ であり、これが第 1 の式である。最後の式は $\varphi_L(na)=\varphi_L(a)^n$ を書き直したものである。$\square$
これは Mil86b 注意 6.8・6.9（p. 112）である。
核 $K(L)$
$$
K(L):=\ker\varphi_L=\{a\in A\mid t_a^*L\cong L\}
$$
とおく。$\varphi_L$ の扱いでは、$A\times A$ 上の可逆層 $\Lambda(L):=m^*L\otimes p_1^*L^{-1}\otimes p_2^*L^{-1}$ が便利である。$\{a\}\times A$ への制限が $\varphi_L(a)$ を与える（$p_1$ は定値、$m$ は $t_a$ になる）。
$L,M$ を $A$ 上の可逆層、$c\in A$ とする。
- $\varphi_{L\otimes M}=\varphi_L\varphi_M$。とくに $K(L^{\otimes n})=\{a\mid na\in K(L)\}$。
- $\varphi_{t_c^*L}=\varphi_L$。
- $K(L)$ は $A$ の閉部分群である。
- $K(L)=A$ であることと、$\Lambda(L)$ が自明、すなわち $m^*L\cong p_1^*L\otimes p_2^*L$ であることは同値である。
1：$t_a^*$ は $\otimes$ と両立するので $\varphi_{L\otimes M}=\varphi_L\varphi_M$ であり、$\varphi_{L^{\otimes n}}(a)=\varphi_L(a)^n=\varphi_L(na)$ である。
2：$\varphi_{t_c^*L}(a)=[t_a^*t_c^*L\otimes t_c^*L^{-1}]=[t_{a+c}^*L\otimes L^{-1}][t_c^*L^{-1}\otimes L]=\varphi_L(a+c)\varphi_L(c)^{-1}=\varphi_L(a)$ である。最後に thm-sq-main を使った。
3：部分群であることは $\varphi_L$ が準同型であることによる。立方体定理 の命題「シーソー原理」の 1 を、$V$ を第 2 因子の $A$、$T$ を第 1 因子の $A$ として $\Lambda(L)$ に当てると、$\Lambda(L)|_{\{a\}\times A}$ が自明になる $a$ の集合は閉集合である。
4：$\Lambda(L)$ が自明ならすべての $a$ で $\varphi_L(a)=1$ である。逆に $K(L)=A$ なら、シーソー原理の 2 により $\Lambda(L)\cong p_1^*N$ で、$N\cong\Lambda(L)|_{A\times\{0\}}$ である。$A\times\{0\}$ の上では $m$ と $p_1$ は $1_A$、$p_2$ は定値なので、$N\cong L\otimes L^{-1}$ は自明である。$\square$
1・2 は 双対アーベル多様体 の命題「準同型 $\varphi_L$ の関手性」の点の水準の形である。4 の条件をみたす可逆層の全体が $\operatorname{Pic}^0(A)$ である（同 定理「偏極の基本性質」の 3）。2 により、$\varphi_L$ は $L$ の平行移動で変わらない。これが、偏極を「可逆層そのものでなく、その代数的同値類」と見る理由である。
$L$ が豊富なら $K(L)$ は有限集合である。
$B$ を閉部分群 $K(L)$（prop-sq-kernel の 3）の、$0$ を含む既約成分に被約な構造を入れたものとする。$B$ は $A$ の連結な閉部分群多様体で、アーベル多様体である。$\dim B>0$ と仮定して矛盾を導く。
$M:=L|_B$ とおく。$a\in B$ なら、$t_a$ は $B$ を保ち、$t_a^*M\otimes M^{-1}$ は $A$ 上の自明な層 $t_a^*L\otimes L^{-1}$ の制限なので自明である。よって $B$ 上で $K(M)=B$ であり、prop-sq-kernel の 4 を $B$ に当てて $m_B^*M\cong p_1^*M\otimes p_2^*M$ を得る。これを $\delta\colon B\to B\times B$、$x\mapsto(x,-x)$ で引き戻すと、$m_B\circ\delta$ は定値写像なので
$$
\mathcal{O}_B\cong M\otimes(-1)_B^*M
$$
である。$M$ は豊富な可逆層の閉部分多様体への制限なので豊富で、$(-1)_B$ は同型なので $(-1)_B^*M$ も豊富である。豊富な可逆層の積は豊富なので、$\mathcal{O}_B$ が豊富である。すると $\mathcal{O}_B$ のある冪は $B$ を射影空間に埋め込むが、$B$ は連結で完備なので $H^0(B,\mathcal{O}_B)=k$ であり、大域切断は定数しかない。これは $\dim B>0$ に反する。
よって $\dim B=0$ で、$K(L)$ は有限個の点からなる。$\square$
証明の最後の議論は、$n$ 倍写像の有限性の証明（Mil86b 定理 8.2, p. 115）と同じ形である。$L$ が豊富なら $\varphi_L$ は有限な核をもつ。双対アーベル多様体 の定理「偏極の基本性質」の 1 が述べる「偏極は同種である」の核の有限性は、こうして示される。逆向きは、有効因子 $D$ について $\{a\mid t_a^*D=D\}$ が有限なら $D$ が豊富であるという形で成り立つ（アーベル多様体 の定理「射影性」。この記事では証明しない）。この集合は $K(\mathcal{O}_A(D))$ に含まれるので、有効因子については、豊富であることと $K(\mathcal{O}_A(D))$ が有限であることは同値である。
有効因子と線形系
$D$ を $A$ 上の有効因子とする。線形系 $|2D|$ には固定点がない。
$x\in A$ を固定する。$D=0$ なら明らかなので $D\ne0$ とする。$a\in A$ について $x\in\operatorname{Supp}t_a^*D$ は $x+a\in\operatorname{Supp}D$ と同値で、$x\in\operatorname{Supp}t_{-a}^*D$ は $x-a\in\operatorname{Supp}D$ と同値である。$\operatorname{Supp}D-x$ と $x-\operatorname{Supp}D$ は $A$ の真の閉集合で、$A$ は既約なので、どちらにも入らない $a$ がある。cor-sq-sum（$r=2$、$a_1=a$、$a_2=-a$）により $t_a^*D+t_{-a}^*D\in|2D|$ であり、この因子は $x$ を通らない。$\square$
$|2D|$ に固定点がないことは豊富性を意味しない（ex-sq-antidiagonal）。$D$ が豊富なら $|3D|$ は非常に豊富である（Mil86b 注意 7.3, p. 114。この記事では証明しない）。$3$ が現れるのは、$a+b+(-a-b)=0$ の形で平方定理を使うと、動かせる点が 2 つとれるからである。$\bigcap_iZ_i=\{0\}$ などをみたす素因子の和 $D=\sum_iZ_i$ について、$\sum_i(t_{a_i}^*Z_i+t_{b_i}^*Z_i+t_{-a_i-b_i}^*Z_i)\sim3D$ を使って $|3D|$ の非常な豊富性を示すのが Mil86b 定理 7.1（p. 113）の証明である。
例
$(E,O)$ を楕円曲線、$L_0:=\mathcal{O}_E((O))$ とする。$t_a^*L_0\cong\mathcal{O}_E((-a))$ なので、平方定理は $(-a-b)+(O)\sim(-a)+(-b)$ で、これは $E$ の群法則の定義にほかならない（楕円曲線。立方体定理 の例「楕円曲線：平方定理と Abel の関係式」）。$\varphi_{L_0}(a)=[\mathcal{O}_E((-a)-(O))]$ は $a\ne O$ で自明でないので $K(L_0)=\{O\}$ である。
次数 $d$ の可逆層 $L$ は $L\cong L_0^{\otimes d}\otimes L'$（$L'$ は次数 $0$）と書け、次数 $0$ の可逆層は $\mathcal{O}_E((c)-(O))\cong t_{-c}^*L_0\otimes L_0^{-1}$ の形である。prop-sq-kernel の 1・2 から $\varphi_{L'}=\varphi_{t_{-c}^*L_0}\varphi_{L_0}^{-1}=1$ なので、$\varphi_L=\varphi_{L_0}^d$ であり、
$$
K(L)=\{a\mid da=O\}=E[d]\qquad(d\ne0),\qquad K(L)=E\qquad(d=0)
$$
となる。$d\ne0$ では $K(L)$ の位数は標数が $d$ を割らなければ $d^2=\chi(L)^2$ で、双対アーベル多様体 の定理「偏極の基本性質」の 2 と合う。$d=0$ で核が有限でないのは、$L$ が豊富でないことに対応する。
$A=E_1\times E_2$、$L=q_1^*L_1\otimes q_2^*L_2$（$q_i$ は射影、$L_i$ は次数 $d_i$）とする。$\varphi_L(a,b)=q_1^*\varphi_{L_1}(a)\otimes q_2^*\varphi_{L_2}(b)$ で、これを $E_1\times\{0\}$、$\{0\}\times E_2$ に制限すると $\varphi_{L_1}(a)$、$\varphi_{L_2}(b)$ が得られるので、$K(L)=K(L_1)\times K(L_2)$ である。$d_1,d_2>0$ では $L$ は豊富で、$K(L)=E_1[d_1]\times E_2[d_2]$ は有限である。
$E$ を楕円曲線、$A=E\times E$、$m$ を和、$D:=m^*(O)=\{(x,-x)\mid x\in E\}$、$L=\mathcal{O}_A(D)=m^*L_0$ とする。$m\circ t_{(a,b)}=t_{a+b}\circ m$ なので $\varphi_L(a,b)=m^*\varphi_{L_0}(a+b)$ である。$x\mapsto(x,O)$ を合成すると $m$ は恒等写像になるので $m^*$ は単射であり、$K(L)=\{(a,b)\mid a+b=O\}$ は $D$ 自身に等しい。これは無限集合なので、thm-sq-finite により $D$ は豊富でない。一方 prop-sq-free により $|2D|$ に固定点はない。$E$ 上の線形系 $|2(O)|$ の元の $m$ による引き戻しが $|2D|$ に入っている。
$k=\mathbb{C}$、$X=V/\Lambda$ を複素トーラスとする。Appell–Humbertの定理 の記事の記号で、直線束は $L=L(H,\alpha)$ と書け、$E=\operatorname{Im}H$ とおくと、同記事の系により $t_x^*L\cong L(H,\alpha\chi_x)$、$\chi_x(\lambda)=e^{2\pi iE(x,\lambda)}$ である。$\varphi_L(x)\cong L(0,\chi_x)$ で、$\chi_{x+y}=\chi_x\chi_y$ は $E$ が第 1 変数について加法的であることにほかならない。平方定理はこの場合、$E$ の双線形性の言い換えであり、$X$ が射影的でなくても成り立つ。核は $K(L)=\{x\in V\mid E(x,\Lambda)\subset\mathbb{Z}\}/\Lambda$ で、$H$ が正定値なら $E$ は非退化なので有限である。$E$ の行列式が $1$ のとき $K(L)$ は自明で、$L$ は主偏極を定める（テータ因子）。
反例：条件を外すと
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 式の中の $L$（両辺の次数をそろえる項） | 楕円曲線、$L_0=\mathcal{O}_E((O))$ | $t_{a+b}^*L\cong t_a^*L\otimes t_b^*L$（次数が $1$ と $2$ で異なる） |
| $A$ の連結性 | $G=E\times\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ | thm-sq-main |
| $a_1+\dots+a_r=0$ | 楕円曲線、$D=(O)$、$a_1=a_2=a$、$2a\ne O$ | cor-sq-sum |
| $L$ の豊富性 | ex-sq-antidiagonal の $D$ | thm-sq-finite |
| 線形系の倍数 $2$ | 楕円曲線、$D=(O)$ | prop-sq-free を $\lvert D\rvert$ に替えた主張 |
要点：連結性を外した例では、成分の入れ替えが起こるので、成分ごとに次数を比べると一致しない。ほかの行は楕円曲線の次数と線形同値の計算である。
確かめを開く
1 行目：$t_a^*$ は次数を保つので、$t_{a+b}^*L_0$ の次数は $1$、$t_a^*L_0\otimes t_b^*L_0$ の次数は $2$ である。
2 行目：$G$ は完備な可換群多様体の非交和である。$G$ 上の可逆層 $L$ を、成分 $E\times\{i\}$ の上で $M_i$（$M_0=M_2=\mathcal{O}_E$、$M_1=\mathcal{O}_E((O))$）とする。$a=b=(O,1)$ とすると、$t_a^*L$ の成分 $i$ は $M_{i+1}$、$t_{a+b}^*L$ の成分 $i$ は $M_{i+2}$ である。成分 $0$ の上で、左辺 $t_{a+b}^*L\otimes L$ は $M_2\otimes M_0$ で次数 $0$、右辺 $t_a^*L\otimes t_b^*L$ は $M_1^{\otimes2}$ で次数 $2$ である。
3 行目：$t_a^*D=(-a)$ なので、$t_a^*D+t_a^*D\sim2D$ は $2(-a)\sim2(O)$、すなわち $2a=O$ を意味する。
4 行目は ex-sq-antidiagonal による。
5 行目：Riemann–Roch の定理により $h^0(\mathcal{O}_E((O)))=1$ なので $|D|=\{(O)\}$ で、$O$ は固定点である。
関連項目
参考文献
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