有限生成代数

$c=(c_1,\dots,c_n)\in C^n$ に対し、多項式環の普遍性から $x_i\mapsto c_i$ となる $B$ 代数の準同型 $\operatorname{ev}_c\colon B[x_1,\dots,x_n]\to C$ がただ一つある。準同型 $A\to C$ を商写像と合成すると、このような $\operatorname{ev}_c$ が得られ、逆に $\operatorname{ev}_c$ が $A$ を経由することは $I\subset\ker\operatorname{ev}_c$ と同値である。$\ker\operatorname{ev}_c$ はイデアルなので、これは生成系について $\operatorname{ev}_c(F_\lambda)=F_\lambda(c)=0$ がすべての $\lambda$ で成り立つことと同値である。経由する準同型は商写像の全射性によりただ一つであり、$\bar x_i$ を $c_i$ へ送る。

$A=B[a_1,\dots,a_n]$ とする。
1：$C=A[c_1,\dots,c_m]$ とすると、$C$ の元は $c_j$ の $A$ 係数の多項式であり、その係数はそれぞれ $a_i$ の $B$ 係数の多項式なので、$C$ の元は $a_i$ の像と $c_j$ の $B$ 係数の多項式である。よって $C$ は $B$ 上でそれらの有限個の元で生成される。
2：$A\otimes_BB'$ の元は単純テンソル $a\otimes b'$ の有限和であり、$a$ は $a_i$ の $B$ 係数の多項式なので、$a\otimes b'=b'\cdot P(a_1\otimes1,\dots,a_n\otimes1)$（$P$ は $B$ 係数の多項式で、係数は $B\to B'$ で送ったもの）と書ける。よって $a_1\otimes1,\dots,a_n\otimes1$ が $B'$ 上の生成元である。
3：$a_i$ の類が生成元になる。
4：$f=f_1\cdots f_r$ とおくと、$1/f_j=(\prod_{l\neq j}f_l)/f$ なので $A[1/f_1,\dots,1/f_r]=A[1/f]$ であり、その元は $a/f^N$（$a\in A$）の形である。よって $a_1,\dots,a_n,1/f$ が生成元である。
5：加群の生成元 $a_1,\dots,a_r$ について $A=\sum Ba_j\subset B[a_1,\dots,a_r]\subset A$ である。

条件 3 は加群として有限生成な形で使う。$C=A[x_1,\dots,x_m]$ とし、$C=By_1+\cdots+By_n$ とする。生成元に $1$ を加えてよいので $y_1=1$ とする。各 $x_i$ と各積 $y_jy_l$ を $y$ たちの $B$ 係数の一次結合に書き、
$$ x_i=\sum_{j=1}^nb_{ij}y_j,\qquad y_jy_l=\sum_{q=1}^nb_{jlq}y_q\qquad(b_{ij},b_{jlq}\in B) $$
とする。これらの有限個の係数が $A$ 上生成する部分環を $B_0=A[\,b_{ij},b_{jlq}\,]\subset B$ とおく。$B_0$ は Noether 環 $A$ 上有限生成なので、Noether環 の記事の系「有限生成代数」により Noether 環である。
$M=B_0y_1+\cdots+B_0y_n\subset C$ とおく。$M$ は $y_1=1$ を含むので $B_0\subset M$、とくに $A\subset M$ であり、上の式から各 $x_i\in M$ である。また $y_jy_l\in M$ なので、$M$ の二元の積は再び $M$ に入り、$M$ は $C$ の部分環である。$C$ は $A$ と $x_1,\dots,x_m$ を含む最小の部分環なので $C\subset M$、すなわち $C=M$ であり、$C$ は $B_0$ 上有限である。
$B$ は有限生成 $B_0$ 加群 $C$ の部分 $B_0$ 加群であり、$B_0$ は Noether 環なので、Noether環 の記事の命題「Noether加群との関係」の 2 により、$B$ も $B_0$ 加群として有限生成である。$B=B_0z_1+\cdots+B_0z_t$ とすると、
$$ B=A[\,b_{ij},\,b_{jlq},\,z_1,\dots,z_t\,] $$
であり、$B$ は $A$ 上有限生成である。

$C^G$ は $C$ の部分環であり、$G$ は $A$ 代数の自己同型として作用するので、構造射 $A\to C$ の像 $\bar A$ を含む。$\bar A$ は Noether 環 $A$ の剰余環なので Noether 環であり、$C$ は $\bar A$ 上有限生成である。
$c\in C$ について、$C[T]$ の多項式
$$ P_c(T)=\prod_{g\in G}\bigl(T-g(c)\bigr) $$
を考える。$h\in G$ を係数に作用させると、因子 $T-g(c)$ は $T-hg(c)$ に移り、$g\mapsto hg$ は $G$ の全単射なので、$P_c$ は変わらない。よって $P_c$ の係数は $C^G$ に入る。$P_c$ はモニックで、単位元 $g=e$ の因子により $P_c(c)=0$ である。したがって $C$ の元はすべて $C^G$ 上整である。
$C=\bar A[c_1,\dots,c_m]$ とすると、$\bar A\subset C^G$ なので $C=C^G[c_1,\dots,c_m]$ であり、$C$ は $C^G$ 上有限生成かつ整なので、$C^G$ 上有限である（整拡大 の記事の系「有限生成と有限性」）。$\bar A\subset C^G\subset C$ に thm-fga-artin-tate を当てると、$C^G$ は $\bar A$ 上、したがって $A$ 上有限生成である。

$K=k[b_1,\dots,b_m]$ とする。$K=k(b_1,\dots,b_m)$ なので、超越次数 の記事の命題「超越基底の存在と延長」の 3 により、$b_1,\dots,b_m$ の中から $K/k$ の超越基底 $x_1,\dots,x_r$ を選べる。$F=k(x_1,\dots,x_r)\subset K$ とおくと、各 $b_i$ は $F$ 上代数的であり、$F$ は体なので最小多項式を最高次の係数で割ってモニックにでき、$b_i$ は $F$ 上整である。$K=F[b_1,\dots,b_m]$ なので、$K$ は $F$ 上有限である（整拡大 の記事の系「有限生成と有限性」）。
$r\ge1$ と仮定して矛盾を導く。$k\subset F\subset K$ に thm-fga-artin-tate を当てると（体 $k$ は Noether 環）、$F=k[y_1,\dots,y_s]$ と書ける。$P=k[x_1,\dots,x_r]$ とし、$y_i=f_i/g_i$（$f_i,g_i\in P$、$g_i\neq0$）と書いて $g=g_1\cdots g_s$ とおく。$F$ の元は $y_i$ の多項式なので、すべて $p/g^N$（$p\in P$、$N\ge0$）の形である。$g$ が定数なら $h=x_1$、そうでなければ $h=g+1$ とおく。どちらの場合も $h$ は定数でない多項式である。$x_1,\dots,x_r$ は代数的に独立なので $P$ は多項式環と同型で、$h\neq0$ であり、$1/h\in F$ である。したがって $1/h=p/g^N$、すなわち $g^N=hp$ となる $p\in P$ と $N$ がある。$P$ は一意分解整域であり（一意分解整域 の記事の定理「Gaussの補題と多項式環の一意分解性」）、定数でない $h$ はある素元 $\pi$ で割り切れる。$\pi$ は $g^N$ を割るので $g$ を割る。$g$ が定数なら $\pi$ は単元を割ることになり、そうでなければ $\pi$ は $g$ と $h=g+1$ を割るので $1$ を割り、どちらも $\pi$ が素元であることに反する。
よって $r=0$ であり、$F=k$、$K$ は $k$ 上有限である。