楕円曲線

1．$\ell(2(O))=2$、$\ell(3(O))=3$ であり $L((O))=L(0)=k$（$\ell((O))=1$）なので、$x\in L(2(O))\setminus L((O))$、$y\in L(3(O))\setminus L(2(O))$ がとれる。$x$ は $O$ で $2$ 位、$y$ は $3$ 位の極をもち、$O$ 以外では正則である。$\ell(6(O))=6$ であるが、$L(6(O))$ には $7$ 個の関数 $1,x,y,x^2,xy,y^2,x^3$ が入るので、これらの間に自明でない $k$ 線型関係
$$ Ay^2+a_1xy+a_3y=Bx^3+a_2x^2+a_4x+a_6\qquad(A,B,a_i\in k) $$
がある。$O$ での極の位数はそれぞれ $0,2,3,4,5,6,6$ で、$y^2$ と $x^3$ 以外は互いに異なるから、もし $A=0$ ならば残る 6 個は極の位数が相異なり線型独立となって関係が自明になる。よって $A\ne0$、同様に $B\ne0$ である。$x$ を $ABx$、$y$ を $AB^2y$ で置き換えて全体を $A^3B^4$ で割れば $A=B=1$ にできる。
$\varphi=[x:y:1]$ は有理写像であり、$E$ が滑らかな曲線なので射である（Sil09 II.2.1）。$O$ の近くでは $\varphi=[x/y:1:1/y]$ で、$x/y$ と $1/y$ は $O$ で零点をもつから $\varphi(O)=[0:1:0]$ である。像は $C$ に含まれる。$x$ は $O$ にのみ $2$ 位の極をもつので $x\colon E\to\mathbb{P}^1$ は次数 $2$ の射、同様に $y$ は次数 $3$ の射であり、$[k(E):k(x)]=2$、$[k(E):k(y)]=3$ である。$k(x,y)\subset k(E)$ の次数は $2$ と $3$ を割るから $1$、すなわち $k(E)=k(x,y)$ で、$\varphi\colon E\to C$ は次数 $1$ の射である。
$C$ が特異点をもつとする（$\bar k$ 上で考えてよい）。特異点 $P_0$ を通る直線は $C$ と $P_0$ で重複度 $2$ 以上で交わるので、残りの交点はちょうど 1 つであり、$P_0$ を通る直線の族（$\mathbb{P}^1$ でパラメータづけられる）と $C$ の点とが対応して $C$ の関数体は $k$ 上 1 変数の有理関数体になる（Sil09 III.2.5 の証明）。すると $k(E)=k(C)$ は有理関数体で、$E$ は $\mathbb{P}^1$ と双有理、したがって滑らかな射影曲線として $\mathbb{P}^1$ と同型になり（Sil09 II.2.4 と II.2.4.1）、種数が $0$ となって矛盾する。よって $C$ は滑らかで、滑らかな曲線の間の次数 $1$ の射 $\varphi$ は同型である（Sil09 II.2.4.1）。
2．$x,x'\in L(2(O))$ で $L(2(O))$ は $1,x'$ を基底にもつから $x=\lambda x'+r$（$\lambda\in k^\times$、$r\in k$）。同様に $L(3(O))$ は $1,x',y'$ を基底にもつから $y=\mu y'+\sigma x'+t$（$\mu\in k^\times$）。$x,y$ が満たす Weierstrass 方程式に代入すると、$O$ で $6$ 位の極をもつ項は $\mu^2y'^2$ と $\lambda^3x'^3$ であり、$y'^2-x'^3$ は $O$ で高々 $5$ 位の極しかもたないので、$\mu^2=\lambda^3$ が必要である。$u:=\mu/\lambda$ とおくと $u^2=\mu^2/\lambda^2=\lambda$、$u^3=\mu^3/\lambda^3=\mu$ であり、$s:=\sigma/u^2$ とおけば主張の形になる。$\square$

$F(x,y)=y^2-f(x)$、$f(x)=x^3+Ax+B$ とおく。affine 点 $(x_0,y_0)$ が特異点であることは $F=\partial F/\partial x=\partial F/\partial y=0$、すなわち $y_0^2=f(x_0)$、$f'(x_0)=0$、$2y_0=0$ と同値であり、標数が $2$ でないから $y_0=0$、$f(x_0)=f'(x_0)=0$ と同値である。これは $f$ が重根 $x_0$ をもつことにほかならず、$f$ の判別式 $-4A^3-27B^2$ が $0$ になることと同値である。無限遠点 $O=[0:1:0]$ については、$Y=1$ の座標 $X/Y,Z/Y$ で方程式は $Z=X^3+AXZ^2+BZ^3$ となり、$(0,0)$ における $Z$ についての偏微分は $1-2AXZ-3BZ^2=1\ne0$ なので $O$ は常に滑らかな点である。よって $C$ が滑らかであることと $\Delta\ne0$ とは同値である。
$\Delta\ne0$ のとき $C$ は滑らかな平面 3 次曲線で、既約であり（可約なら直線を成分にもち、直線と残りの 2 次曲線の交点が特異点になる）、$[0:1:0]$ は $k$ 有理点である。種数が $1$ であることは、不変微分 $\omega=dx/(2y)$ の因子が $0$ であること（prop-elliptic-curve-invariant-differential）から従う。$\operatorname{div}(\omega)$ は標準因子で次数 $2g-2$ をもつから $2g-2=0$、$g=1$ である。$\square$

1．同型 $E\to E'$ は基点を保つので、$E'$ の座標関数 $x',y'$ を引き戻したものは thm-elliptic-curve-weierstrass-form の 1 の性質をもち、同定理の 2 により $x=u^2x'+r$、$y=u^3y'+su^2x'+t$ と書ける。これを $y^2=x^3+Ax+B$ に代入して $u^6$ で割ると、$x',y'$ の満たす Weierstrass 方程式が得られる。$1,x',y',x'^2,x'y',y'^2,x'^3$ の間の線型関係は $L(6(O))$ の次元が $6$ なので定数倍を除いて一意であり、得られた方程式は $y'^2=x'^3+A'x'+B'$ に一致しなければならない。$x'y'$ の係数 $2su^{-1}$ から $s=0$、$y'$ の係数 $2tu^{-3}$ から $t=0$、$x'^2$ の係数 $(3r-s^2)u^{-2}$ から $r=0$ が順に従い、残る関係は $u^6A'=u^2A$、$u^6B'=B$、すなわち $A'=u^{-4}A$、$B'=u^{-6}B$ である。逆にこのとき $(x,y)\mapsto(u^{-2}x,u^{-3}y)$ が $E\to E'$ の同型を与える。
2．1 の関係のもとで $j(E')=1728\cdot4u^{-12}A^3/(4u^{-12}A^3+27u^{-12}B^2)=j(E)$ である。逆に $j(E)=j(E')$ とする。$j=0$ なら $A=A'=0$ で $B,B'\ne0$（$\Delta\ne0$ より）なので、$u^6=B/B'$ の解 $u\in\bar k$ をとればよい。$j=1728$ なら $B=B'=0$、$A,A'\ne0$ なので $u^4=A/A'$ の解をとればよい。それ以外では $A,B,A',B'$ はすべて $0$ でなく、$j(E)=j(E')$ を整理すると $A^3B'^2=A'^3B^2$ を得る。$u^4=A/A'$ の解 $u$ をとると $u^{-6}B=\pm B'$ である（両辺の $2$ 乗が $A'^3B^2/A^3=B'^2$ で一致する）。符号が $-$ なら $u$ を $iu$（$i^2=-1$）に取り替えると $u^{-4}$ は変わらず $u^{-6}$ の符号が反転するので、$A'=u^{-4}A$、$B'=u^{-6}B$ をともに満たす $u\in\bar k$ がとれ、1 により $\bar k$ 上同型である。
3．$j_0=0$ なら $y^2=x^3+1$、$j_0=1728$ なら $y^2=x^3+x$ をとる。それ以外では $A=B=\dfrac{27j_0}{4(1728-j_0)}$ とおくと $4A^3+27B^2=A^2(4A+27)\ne0$ で、$j=1728\cdot4A/(4A+27)=j_0$ となる。$\square$

全射性．$D$ を次数 $0$ の因子とする。$\deg(D+(O))=1>2g-2=0$ なので $\ell(D+(O))=1$ であり、$f\ne0$、$\operatorname{div}(f)+D+(O)\ge0$ なる $f$ がある。左辺は次数 $1$ の非負因子なので、ある点 $P$ について $\operatorname{div}(f)+D+(O)=(P)$、すなわち $D\sim(P)-(O)$ である。
単射性．$(P)-(O)\sim(Q)-(O)$ とすると $(P)-(Q)=\operatorname{div}(f)$ なる $f$ がある。$P\ne Q$ なら $f\in L((Q))$ で $\ell((Q))=1$ より $f$ は定数、よって $\operatorname{div}(f)=0$ となり $P=Q$ に矛盾する。
加法との両立．$Z=0$ と $E$ の交わりを調べる。$Y=1$ の座標で方程式は $Z+a_1XZ+a_3Z^2=X^3+a_2X^2Z+a_4XZ^2+a_6Z^3$ であり、$O=(0,0)$ で $Z$ に関する偏微分が $1$ なので $X$ が $O$ の局所環の一意化元であり、$Z=X^3\cdot(\text{単元})$ だから $\operatorname{ord}_O(Z/Y)=3$、すなわち直線 $Z=0$ は $E$ と $O$ で重複度 $3$ で交わり他では交わらない。一般の直線 $\ell\colon aX+bY+cZ=0$ について、$\ell/Z$ は $E$ 上の有理関数で、その因子は $\ell$ と $E$ の交点を重複度込みで数えた次数 $3$ の因子から $3(O)$ を引いたものである（Sil09 III.3.4 の証明、Bézoutの定理）。
$P,Q\in E$ をとり、$P,Q$ を通る直線 $L$ の 3 番目の交点を $R$、$R,O$ を通る直線 $L'$ の 3 番目の交点を $R'=P+Q$ とする。上により
$$ \operatorname{div}(L/Z)=(P)+(Q)+(R)-3(O),\qquad\operatorname{div}(L'/Z)=(R)+(O)+(R')-3(O) $$
であり、差をとると
$$ \operatorname{div}(L/L')=(P)+(Q)-(R')-(O) $$
となる。左辺は主因子なので $(P)-(O)+(Q)-(O)\sim(R')-(O)$、すなわち $\kappa(P)+\kappa(Q)=\kappa(P+Q)$ である。
群であること．$\kappa$ は全単射で加法を保つので、$E$ の加法は $\operatorname{Pic}^0(E)$ の群構造を移したものであり、アーベル群になる。$\kappa(O)=0$ なので $O$ が単位元、$O,P,-P$ が同一直線上にあることから $\kappa(P)+\kappa(-P)=\kappa(O)=0$ で $-P$ は逆元である。
有理性．$P,Q\in E(K)$ なら直線 $L$ は $K$ 上定義され、$L\cap E$ の 3 点のうち 2 点が $K$ 有理点なので 3 番目の点 $R$ も $K$ 有理点である（交点の $x$ 座標は $K$ 係数の 3 次方程式の根で、2 根が $K$ に属せば残りも属する）。同じ理由で $R'\in E(K)$ である。$\square$

def-elliptic-curve-group-law により $-P=(x_0,-y_0)$ であり、$2P=O$ は $P=-P$、すなわち $y_0=-y_0$ と同値である。標数が $2$ でないからこれは $y_0=0$ と同値で、そのとき $f(x_0)=0$ である。$\Delta\ne0$ により $f$ は $\bar k$ に相異なる 3 根をもつ（prop-elliptic-curve-discriminant）ので、$E[2]$ は位数 $4$ で各元の位数が $2$ 以下の群、すなわち $\mathbb{Z}/2\times\mathbb{Z}/2$ である。$\square$

affine 点 $P=(x_0,y_0)$ をとる。$y_0\ne0$ のとき、$\partial(y^2-f(x))/\partial y=2y_0\ne0$ なので $x-x_0$ が $P$ の局所環の一意化元であり（滑らかな点の極大イデアルは $x-x_0$、$y-y_0$ で生成され、方程式により $y-y_0$ は $x-x_0$ の倍元になる）、$dx$ は $P$ で零点も極ももたず、$2y$ も $P$ で零点も極ももたないから $\operatorname{ord}_P(\omega)=0$ である。$y_0=0$ のとき、$f(x_0)=0$ かつ $E$ が滑らかなので $f'(x_0)\ne0$ であり、$y$ が一意化元である。$2y\,dy=f'(x)\,dx$ から $\omega=dy/f'(x)$ で、$dy$ も $f'(x)$ も $P$ で零点も極ももたないから $\operatorname{ord}_P(\omega)=0$ である。
無限遠点 $O$ では、$Y=1$ の座標で方程式は $Z=X^3+AXZ^2+BZ^3$ であり $O=(0,0)$ における $Z$ についての偏微分が $1\ne0$ なので、$t:=X/Y=x/y$ が $O$ の一意化元で、方程式から $Z/Y=t^3\cdot(\text{単元})$ である。よって $\operatorname{ord}_O(y)=\operatorname{ord}_O(Y/Z)=-3$、$\operatorname{ord}_O(x)=\operatorname{ord}_O\bigl((X/Y)(Y/Z)\bigr)=1-3=-2$ である。$x=t^{-2}u$（$u$ は $O$ で単元）と書くと $dx=(-2t^{-3}u+t^{-2}u')\,dt$ で、標数が $2$ でないから $\operatorname{ord}_O(dx)=-3$（Sil09 II.4.3）、よって $\operatorname{ord}_O(\omega)=-3-(-3)=0$ である。以上で $\operatorname{div}(\omega)=0$ が示された。
$\operatorname{div}(\omega)=0$ は標準因子なので、$H^0(E,\Omega^1_E)=L(\operatorname{div}\omega)\cdot\omega=L(0)\cdot\omega=k\omega$ である。$\square$