Hilbert–Mumfordの判定法

1. $\mathbb{G}_m$ が $k^2$ に $t\cdot(a,b)=(ta,t^{-1}b)$ と作用するとする。$x=(1,0)$ の重みは $\{1\}$ なので、$\lambda=\mathrm{id}$ について $\mu>0$ であり不安定である（実際 $t\to0$ で $(t,0)\to0$）。$x=(1,1)$ の重みは $\{1,-1\}$ で、$\lambda(t)=t^n$（$n\ne0$）に関する重みは $\{n,-n\}$ なので安定である。実際、軌道は閉曲線 $\{ab=1\}$ で、固定部分群は自明である。
2. $\mathbb{G}_m$ が $k^n$ にスカラー倍で作用すると、$x\ne0$ の重みは $\{1\}$ だけなので、すべての点が不安定であり、$\mathbb{P}^{n-1}$ には半安定点がない。

$f\in V_d\setminus\{0\}$（$d\ge1$）とする。thm-hm-main により次が成り立つ（Mum77 1.7, p. 45）。

• $f$ が半安定 $\iff$ $f$ のどの根（$\mathbb{P}^1$ の点）の重複度も $d/2$ 以下。
• $f$ が安定 $\iff$ $f$ のどの根の重複度も $d/2$ 未満。
  実際、$f=\sum_ia_ix^{d-i}y^i$ の $\lambda_m$（$m>0$）に関する重みは $\{m(2i-d)\mid a_i\ne0\}$ であり、すべて正であることは $i\le d/2$ で $a_i=0$、すなわち $f$ が $y^{\lfloor d/2\rfloor+1}$ で割り切れて点 $[1:0]$ が重複度 $>d/2$ の根であることと同値である。同様に、すべて $0$ 以上であることは $[1:0]$ が重複度 $\ge d/2$ の根であることと同値である。lem-hm-sl2 により任意の自明でない 1 径数部分群は $g\lambda_mg^{-1}$（$m>0$）の形で、その重みは $g^{-1}f$ の $\lambda_m$ に関する重みに等しく、$g^{-1}f$ の根は $f$ の根を $g^{-1}$ で写したものである。$\mathrm{SL}_2$ は $\mathbb{P}^1$ に推移的に作用するので、主張が従う。
  とくに $d=2$ では、相異なる 2 根をもつ $xy$ も重複度 $1=d/2$ の根をもつので安定でなく、$d=3$ では相異なる 3 根をもつことと安定が同値である。$d=4$ では、3 重根をもたないことと半安定が同値である。

$n\ge2$ とし、$\mathrm{SL}_n$ が $n$ 次正方行列の空間 $M_n(k)$ に共役 $g\cdot A=gAg^{-1}$ で作用するとする。

1. $A\ne0$ が不安定 $\iff$ $A$ は冪零行列。
2. 安定な点はない。
   1：特性多項式 $\det(sI-A)=s^n+c_1(A)s^{n-1}+\dots+c_n(A)$ の係数 $c_i$ は次数 $i$ の不変な斉次多項式である。$A$ が冪零でなければある $c_i(A)\ne0$ であり、$c_i$ は $\overline{G\cdot A}$ の上で $c_i(A)$ に等しく $c_i(0)=0$ なので、$A$ は半安定である。$A$ が冪零なら、$g$ で狭義上三角行列 $N=gAg^{-1}$ に共役できる。$\lambda(t):=\operatorname{diag}(t^{n-1},t^{n-3},\dots,t^{-(n-1)})$（指数は $a_i=n+1-2i$、和は $0$）とすると、$\lambda(t)N\lambda(t)^{-1}$ の $(i,j)$ 成分は $t^{a_i-a_j}N_{ij}$ で、$i< j$ なら $a_i-a_j=2(j-i)>0$ である。よって 1 径数部分群 $g^{-1}\lambda g$ について $\mu(A,g^{-1}\lambda g)>0$ であり、prop-hm-easy の 1 により不安定である。
   2：任意の $A$ は上三角行列 $U=gAg^{-1}$ に共役できる。上の $\lambda$ について $U$ の成分 $(i,j)$（$i\le j$）の重みは $a_i-a_j\ge0$ なので、$\mu(A,g^{-1}\lambda g)\ge0$ であり、prop-hm-easy の 2 により $A$ は安定でない。

$\mathrm{SL}_3$ が 3 変数の 3 次形式の空間に $(g\cdot F)(v)=F(g^{-1}v)$ で作用するとする。$\lambda(t)=\operatorname{diag}(t^a,t^b,t^c)$（$a+b+c=0$）は単項式 $x^iy^jz^l$ を $t^{-(ai+bj+cl)}$ 倍する。

1. 尖点をもつ $F=y^2z-x^3$ は不安定である。$(a,b,c)=(-1,-2,3)$ とすると、$y^2z$ と $x^3$ の重みは $1$ と $3$ でともに正なので、prop-hm-easy の 1 による。
2. 結節点をもつ $F=xyz+x^3+y^3$（$z=1$ での最低次の項 $xy$ が相異なる 2 本の接線を与える）は安定でない。$(a,b,c)=(-1,-1,2)$ とすると、$xyz$・$x^3$・$y^3$ の重みは $0$・$3$・$3$ で負のものがないので、prop-hm-easy の 2 による。
   Mum77 1.11（p. 48）は、thm-hm-main の判定から、非特異な 3 次曲線は安定、結節点だけをもつ 3 次曲線は半安定だが安定でなく、尖点や 3 重点をもつ 3 次曲線は不安定であることを導いている。安定な曲線の $\mathrm{SL}_3$ 軌道は j不変量 で区別される。

1 行目：準同型 $\mathbb{G}_m\to\mathbb{G}_a$ は $\varphi(t)=\sum_nc_nt^n\in k[t,t^{-1}]$ で $\varphi(st)=\varphi(s)+\varphi(t)$ をみたすものである。$n\ne0$ の項 $c_ns^nt^n$ は右辺に現れないので $c_n=0$、残る $c_0=2c_0$ から $\varphi=0$ である。$x$ の軌道は 1 点 $\{x\}$ で閉、$G_x=\mathbb{G}_a$ である。$\mathbb{G}_a$ は簡約群でない（それ自身が連結な冪単正規部分群）。
2 行目：対角トーラスの $\lambda_m$ に関する $f=x^2+2xy+y^2$ の重みは $\{-2m,0,2m\}$ である。一方、$g:=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$（$g^{-1}(x,y)=(x,y-x)$）について $(g\cdot f)(x,y)=f(x,y-x)=y^2$ で、$y^2$ の $\lambda_1$ に関する重みは $2>0$ なので、$\mu(f,g^{-1}\lambda_1g)>0$ であり $f$ は不安定である。
3 行目：$q=\alpha x^2+\beta xy+\gamma y^2$ の判別式 $\beta^2-4\alpha\gamma$ は $\mathrm{SL}_2$ 不変である。判別式が $1$ の $q$ は、相異なる 1 次式の積 $\ell_1\ell_2$ に分解し、$\ell_1,\ell_2$ の係数を行とする行列 $M$ について判別式は $(\det M)^2$ に等しい。$\ell_1,\ell_2$ を入れ替えて $\det M=1$ とすると $q(v)=(xy)(Mv)$、すなわち $q=M^{-1}\cdot(xy)$ である。よって $xy$ の軌道は閉集合 $\{\beta^2-4\alpha\gamma=1\}$ である。$xy$ は $\lambda_m$ に関して重み $0$ だけをもち、$G_{xy}\supset\lambda_1(\mathbb{G}_m)$ は無限群なので $xy$ は安定でない。