Mongeの定理

円 $C_1$：中心 $O_1(0,0)$、半径 $r_1=1$、円 $C_2$：中心 $O_2(6,0)$、半径 $r_2=2$、円 $C_3$：中心 $O_3(2,5)$、半径 $r_3=3$ をとる。中心間の距離は $O_1O_2=6$、$O_2O_3=\sqrt{41}$、$O_3O_1=\sqrt{29}$ で、どれも半径の和（$3$、$5$、$4$）より大きいので、3 つの円はどの 2 つも互いの外部にある。
(1) $C_1$ と $C_2$ の共通外接線。対称性から、2 本の共通外接線は $x$ 軸上の点 $(p,0)$ で交わる（後の prop-monge-tangent で一般に示す）。点 $(-6,0)$ を通る直線 $y=m(x+6)$、つまり $mx-y+6m=0$ を考える。$O_1$ からの距離は $\dfrac{\lvert6m\rvert}{\sqrt{m^2+1}}$ で、これが $1$ になるのは $36m^2=m^2+1$、つまり $m=\pm\dfrac1{\sqrt{35}}$ のときである（直線の方程式と点と直線の距離）。このとき $O_2$ からの距離は $\dfrac{\lvert6m+6m\rvert}{\sqrt{m^2+1}}=2\cdot\dfrac{\lvert6m\rvert}{\sqrt{m^2+1}}=2=r_2$ なので、この 2 本は $C_2$ にも接する。$O_1$、$O_2$ を代入した $mx-y+6m$ の値は $6m$、$12m$ で同じ符号なので、2 つの円は直線の同じ側にある。よって共通外接線の交点は $X_{12}(-6,0)$ である。
(2) 同じように計算すると、$C_2$ と $C_3$ の共通外接線の交点は $X_{23}(14,-10)$、$C_3$ と $C_1$ の共通外接線の交点は $X_{31}\left(-1,-\dfrac52\right)$ である（下の ex-monge-centers で公式から求める）。
(3) 3 点を直線 $x+2y+6=0$ に代入すると、$-6+0+6=0$、$14-20+6=0$、$-1-5+6=0$ で、3 点はこの直線の上にある。

ex-monge-start の 3 つの円で計算する。
(1) 外相似の中心。
$$ X_{12}=\frac{1\cdot(6,0)-2\cdot(0,0)}{1-2}=(-6,0),\qquad X_{23}=\frac{2\cdot(2,5)-3\cdot(6,0)}{2-3}=\frac{(-14,10)}{-1}=(14,-10), $$
$$ X_{31}=\frac{3\cdot(0,0)-1\cdot(2,5)}{3-1}=\left(-1,-\frac52\right) $$
である。
(2) 内相似の中心。
$$ Y_{12}=\frac{2\cdot(0,0)+1\cdot(6,0)}{3}=(2,0),\qquad Y_{23}=\frac{3\cdot(6,0)+2\cdot(2,5)}{5}=\left(\frac{22}5,2\right),\qquad Y_{31}=\frac{1\cdot(2,5)+3\cdot(0,0)}{4}=\left(\frac12,\frac54\right) $$
である（$Y_{31}$ は $O_3O_1$ を $r_3:r_1=3:1$ に内分する点）。

ex-monge-centers の点で確かめる。
(1) $\overrightarrow{O_1X_{12}}=(-6,0)$、$\overrightarrow{X_{12}O_2}=(12,0)$ なので比は $-\dfrac12=-\dfrac{r_1}{r_2}$ である。$\overrightarrow{O_2X_{23}}=(8,-10)$、$\overrightarrow{X_{23}O_3}=(-12,15)$ なので比は $-\dfrac23=-\dfrac{r_2}{r_3}$ である。$\overrightarrow{O_3X_{31}}=\left(-3,-\dfrac{15}2\right)$、$\overrightarrow{X_{31}O_1}=\left(1,\dfrac52\right)$ なので比は $-3=-\dfrac{r_3}{r_1}$ である。積は $\left(-\dfrac23\right)(-3)\left(-\dfrac12\right)=-1$ である。
(2) $X_{12}(-6,0)$、$Y_{23}\left(\dfrac{22}5,2\right)$、$Y_{31}\left(\dfrac12,\dfrac54\right)$ は、どれも直線 $5x-26y+30=0$ の上にある：$-30+0+30=0$、$22-52+30=0$、$\dfrac52-\dfrac{65}2+30=0$。同じように、$X_{23}$、$Y_{31}$、$Y_{12}$ は直線 $5x+6y-10=0$ の上に、$X_{31}$、$Y_{12}$、$Y_{23}$ は直線 $5x-6y-10=0$ の上にある。

ex-monge-start では $L_1=(0,0,1)$、$L_2=(6,0,2)$、$L_3=(2,5,3)$ である。$\overrightarrow{L_1L_2}=(6,0,1)$、$\overrightarrow{L_1L_3}=(2,5,2)$ の両方に垂直なベクトルとして $(1,2,-6)$ がとれる（$6-6=0$、$2+10-12=0$）。平面 $\Pi$ は $x+2y-6z=d$ で、$L_1$ を代入して $d=-6$ である。$L_2$：$6-12=-6$、$L_3$：$2+10-18=-6$ で、3 点とも乗る。$z=0$ とすると $x+2y+6=0$ で、ex-monge-start の直線と一致する。
たとえば直線 $L_1L_2$ の点 $(0,0,1)+t(6,0,1)$ は、$t=-1$ で $(-6,0,0)$ となり、$X_{12}$ を通る。

ex-monge-start の 3 つの円で、球の上側から接する平面を $z=\alpha x+\beta y+\gamma$ の形で探す。点 $(p,q,0)$ からこの平面までの距離は $\dfrac{\lvert\alpha p+\beta q+\gamma\rvert}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2+1}}$ なので、$s=\sqrt{\alpha^2+\beta^2+1}$ とおいて、条件は
$$ \gamma=s,\qquad 6\alpha+\gamma=2s,\qquad 2\alpha+5\beta+\gamma=3s $$
である（3 つの中心がすべて平面の下にあるように符号を選んだ）。解くと $\gamma=s$、$\alpha=\dfrac s6$、$\beta=\dfrac s3$ で、$s^2=\alpha^2+\beta^2+1=\dfrac{5s^2}{36}+1$ から $s^2=\dfrac{36}{31}$、$s=\dfrac6{\sqrt{31}}$ である。平面は
$$ z=\frac{x+2y+6}{\sqrt{31}} $$
で、$z=0$ との交線は $x+2y+6=0$ となり、ex-monge-start の直線と一致する。

ex-monge-start では $\left(\dfrac1{r_1}:\dfrac1{r_2}:\dfrac1{r_3}\right)=(6:3:2)$ なので、交点は $\dfrac{6(0,0)+3(6,0)+2(2,5)}{11}=\left(2,\dfrac{10}{11}\right)$ である。直線 $O_3Y_{12}$ は $O_3(2,5)$ と $Y_{12}(2,0)$ を通る直線 $x=2$ で、この点を通る。直線 $O_1Y_{23}$ は $y=\dfrac{2}{22/5}x=\dfrac5{11}x$ で、$x=2$ のとき $y=\dfrac{10}{11}$ である。

$C_1$：中心 $(0,0)$、半径 $1$、$C_2$：中心 $(4,0)$、半径 $1$ とする。共通外接線は $y=1$ と $y=-1$ で、平行なので交わらない。外分の比 $1:1$ の外分点もないので、$X_{12}$ はない。
ここに $C_3$：中心 $(0,4)$、半径 $2$ を加えると、$X_{23}=\dfrac{1\cdot(0,4)-2\cdot(4,0)}{1-2}=(8,-4)$、$X_{31}=\dfrac{2\cdot(0,0)-1\cdot(0,4)}{2-1}=(0,-4)$ で、2 点を通る直線は $y=-4$ である。これは $O_1O_2$ と、2 本の共通外接線 $y=\pm1$ に平行である。射影平面 では、平行な直線は「無限遠点」で交わると考える。そう考えると、$X_{12}$ は $x$ 軸の方向の無限遠点で、3 点は「直線 $y=-4$ とその無限遠点」として一直線上に並ぶ。

ex-monge-centers の $Y_{12}(2,0)$、$Y_{23}\left(\dfrac{22}5,2\right)$、$Y_{31}\left(\dfrac12,\dfrac54\right)$ で、直線 $Y_{12}Y_{23}$ の傾きは $\dfrac{2}{12/5}=\dfrac56$、直線 $Y_{12}Y_{31}$ の傾きは $\dfrac{5/4}{-3/2}=-\dfrac56$ で異なる。よって 3 点は一直線上にない。
これはこの数値の例に限らない。中心 $O_1$、$O_2$、$O_3$ が一直線上にない限り、内相似の中心 3 つは決して一直線上にない。理由を段に分けて述べる。
段 1（符号つきの比）。三角形 $O_1O_2O_3$ で、$Y_{12}$、$Y_{23}$、$Y_{31}$ はどれも辺の内部の点（内分点）である。内分点では $\overrightarrow{O_iY_{ij}}$ と $\overrightarrow{Y_{ij}O_j}$ が同じ向きなので、符号つきの比は正で、$\dfrac{\overline{O_1Y_{12}}}{\overline{Y_{12}O_2}}=\dfrac{r_1}{r_2}$、$\dfrac{\overline{O_2Y_{23}}}{\overline{Y_{23}O_3}}=\dfrac{r_2}{r_3}$、$\dfrac{\overline{O_3Y_{31}}}{\overline{Y_{31}O_1}}=\dfrac{r_3}{r_1}$ である。
段 2（積）。3 つの符号つきの比の積は $\dfrac{r_1}{r_2}\cdot\dfrac{r_2}{r_3}\cdot\dfrac{r_3}{r_1}=+1$ である。
段 3（結論）。もし 3 点が 1 本の直線 $\ell$ の上にあったとする。$\ell$ は三角形の頂点を通らない（たとえば $O_1$ を通るなら、$\ell$ は $O_1$ と $Y_{12}$ を通るので直線 $O_1O_2$ になり、$Y_{23}$ が直線 $O_1O_2$ の上にあることになるが、$Y_{23}$ は辺 $O_2O_3$ の内部の点なのでそうならない。$O_2$、$O_3$ も同じ）。また $\ell$ は 3 辺のどれとも平行でない（たとえば直線 $O_1O_2$ と平行なら、それと共有点 $Y_{12}$ をもつので直線 $O_1O_2$ そのものになり、同じ矛盾が起こる）。よって $\ell$ は三角形 $O_1O_2O_3$ の横断線で、符号つきの比による Menelaus の定理（Menelausの定理（高校数学））により、段 2 の積は $-1$ のはずである。$+1\ne-1$ なので矛盾し、3 点は一直線上にない。
積が $+1$ になることは、prop-monge-ceva のとおり、Ceva の定理の条件になっている。

$C_1$：中心 $(0,0)$、半径 $5$、$C_2$：中心 $(1,0)$、半径 $1$ とする。中心間の距離 $1$ は半径の差 $4$ より小さいので、$C_2$ は $C_1$ の内部にあり、共通接線は 1 本もない。それでも外相似の中心 $X_{12}=\dfrac{5\cdot(1,0)-1\cdot(0,0)}{5-1}=\left(\dfrac54,0\right)$ は定まり、この点を中心とする比 $\dfrac15$ の相似拡大は $O_1$ を $\dfrac54+\dfrac15\left(0-\dfrac54\right)=1$、つまり $O_2(1,0)$ に移し、$C_1$ を $C_2$ に移す。thm-monge-main は相似の中心を内分点・外分点で定めているので、このような円を含んでも成り立つ。共通接線の交点として述べた形（Wei26 の述べ方）では、どの円も他の円の内部にないことを仮定する必要がある。

中心 $(0,0)$、$(20,0)$、$(10,1)$、半径 $1$、$2$、$4$ の 3 つの円を考える。中心間の距離は $20$、$\sqrt{101}$、$\sqrt{101}$（$\sqrt{101}\approx10.05$）で、どれも半径の和 $3$、$6$、$5$ より大きい。
(1) 平面 $z=\alpha x+\beta y+\gamma$ が 3 つの球に上から接する条件は、ex-monge-sphere と同じく $\gamma=s$、$20\alpha+\gamma=2s$、$10\alpha+\beta+\gamma=4s$（$s=\sqrt{\alpha^2+\beta^2+1}$）である。解くと $\alpha=\dfrac s{20}$、$\beta=4s-\dfrac s2-s=\dfrac{5s}2$ で、$s^2=\dfrac{s^2}{400}+\dfrac{25s^2}4+1$、つまり $s^2\left(1-\dfrac1{400}-\dfrac{25}4\right)=1$ となる。左辺の括弧は負なので、解はない。下から接する平面も、$z$ を $-z$ に替えた同じ計算になり、ない。$z$ 軸に平行な平面（$ax+by+c=0$ の形）が 3 つの球に同じ側から接するなら、中心までの符号つきの距離から同じように $(a,b)$ の長さが $\left(\dfrac1{20},\dfrac52\right)$ の長さ（$1$ より大きい）の定数倍でかつ $1$ になる必要があり、やはりない。
(2) それでも Monge の定理は成り立つ。外相似の中心は $X_{12}=(-20,0)$、$X_{23}=\dfrac{2(10,1)-4(20,0)}{2-4}=(30,-1)$、$X_{31}=\dfrac{4(0,0)-1(10,1)}{4-1}=\left(-\dfrac{10}3,-\dfrac13\right)$ で、どれも直線 $x+50y+20=0$ の上にある（$-20+20=0$、$30-50+20=0$、$-\dfrac{10}3-\dfrac{50}3+20=0$）。prf-monge-lift の平面 $\Pi$ は $z=1+\dfrac x{20}+\dfrac{5y}2$ で、傾きが大きすぎて球に接する平面にはならないが、$z=0$ との交線はこの直線である。