nearly Gorenstein環

同義語：nearly Gorenstein ring

概要

前提知識：ネーター局所環、Cohen–Macaulay加群、標準加群、加群準同型、局所化。後半では正則列、自由分解、Ext、全商環を用いる。

定義：標準加群から環へ戻る写像をすべて集める

$(R,\mathfrak m,k)$ をCohen–Macaulay局所環とし、$R$ は標準加群 $\omega_R$ をもつとする。

加群のtrace

有限生成 $R$-加群 $M$ の traceイデアルを
$$ \operatorname{tr}_R(M) =\sum_{\varphi\in\operatorname{Hom}_R(M,R)}\varphi(M) $$
で定める。つまり、$M$ から $R$ へのすべての $R$-線形写像の像を足し合わせたイデアルである。

$M\cong N$ なら $\operatorname{tr}_R(M)=\operatorname{tr}_R(N)$ である。従って、同型を除いて定まる標準加群のtrace
$$ \operatorname{tr}_R(\omega_R) $$
は $R$ に固有のイデアルであり、canonical trace と呼ばれる。

nearly Gorenstein環

$R$ が nearly Gorenstein環（nearly Gorenstein ring）であるとは、canonical traceが極大イデアルを含むこと、すなわち
$$ \mathfrak m\subseteq\operatorname{tr}_R(\omega_R) $$
が成り立つことをいう。

定義の出典：canonical traceとnearly Gorenstein性の定義はHerzog–Hibi–Stamate, Definition 2.2（論文・DOI ）。同論文では局所環版と、斉次極大イデアルを用いる正次数付き版を並行して扱う。

直感：非Gorenstein locusを一つのイデアルで測る

$\operatorname{tr}_R(\omega_R)$ が大きいほど、標準加群から環へ多くの元を戻せる。極端な場合
$$ \operatorname{tr}_R(\omega_R)=R $$
なら $R$ はGorensteinである。nearly Gorenstein性は、単元までtraceに入ることは要求せず、少なくともすべての非単元を生成する $\mathfrak m$ が入ることを要求する。

Gorenstein性との差

上の仮定のもとで次が成り立つ。

$R$ がGorensteinであることと $\operatorname{tr}_R(\omega_R)=R$ は同値である。
$R$ がnearly GorensteinだがGorensteinでないことと
$$ \operatorname{tr}_R(\omega_R)=\mathfrak m $$
は同値である。

2は局所環で $\mathfrak m$ が唯一の極大イデアルであることによる。従って非Gorensteinのnearly Gorenstein環では、canonical traceは「真のイデアルとして可能な最大値」になる。

非Gorenstein locusと局所化

canonical traceが切り出す集合

任意の $\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R$ に対して
$$ R_{\mathfrak p}\text{ がGorensteinでない} \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{tr}_R(\omega_R)\subseteq\mathfrak p $$
が成り立つ。従って非Gorenstein locusは閉集合
$$ V\!\left(\operatorname{tr}_R(\omega_R)\right) $$
である。

有限生成加群のtraceは局所化と可換するので、左辺は
$\operatorname{tr}_{R_{\mathfrak p}}((\omega_R)_{\mathfrak p})\neq R_{\mathfrak p}$
と言い換えられる。特に $R$ がnearly Gorensteinなら、$\mathfrak p\neq\mathfrak m$ ではcanonical traceが $\mathfrak p$ に含まれないため、$R_{\mathfrak p}$ はGorensteinである。

幾何的意味の出典：非Gorenstein locusの記述はHerzog–Hibi–Stamate, Lemma 2.1、punctured spectrum上のGorenstein性はProposition 2.3(a)（論文・DOI ）。

例と反例

環	canonical trace	判定と区別
Gorenstein局所環	$R$	nearly Gorenstein
$A=k[\![ x,y]\!]/(x,y)^2$	$\mathfrak m_A$	nearly Gorensteinだが非Gorenstein
$k[\![ t^5,t^6,t^7]\!]$	$\mathfrak m$ を含む	nearly Gorensteinだがalmost Gorensteinでない
$A[\![ z]\!]$	$\mathfrak m_AA[\![ z]\!]$	Cohen–Macaulayだがnearly Gorensteinでない

Gorenstein環はnearly Gorenstein

$R$ がGorensteinなら $\omega_R\cong R$ である。恒等写像の像が $R$ 全体なので
$\operatorname{tr}_R(\omega_R)=R\supseteq\mathfrak m$ となる。

非Gorensteinの例：平方零極大イデアル

$A=k[\![ x,y]\!]/(x,y)^2$、$\mathfrak m=(x,y)$ とする。$A$ は0次元Cohen–Macaulayで、
$$ \operatorname{Soc}(A)=\mathfrak m, \qquad \dim_k\operatorname{Soc}(A)=2 $$
だからGorensteinでない。
$\omega_A=\operatorname{Hom}_k(A,k)$ とし、$1,x,y$ の双対基底を $\varepsilon,x^*,y^*$ と書く。$A$ の作用は
$$ x x^*=\varepsilon, \qquad y y^*=\varepsilon, \qquad x\varepsilon=y\varepsilon=x y^*=y x^*=0 $$
を満たす。$x^*\mapsto x$、他の双対基底を0へ送る写像と、$y^*\mapsto y$、他を0へ送る写像は $A$-線形である。従って
$$ (x,y)\subseteq\operatorname{tr}_A(\omega_A). $$
$A$ は非Gorensteinなのでtraceは $A$ 全体ではなく、結局
$\operatorname{tr}_A(\omega_A)=\mathfrak m$ である。

nearly Gorensteinでもalmost Gorensteinとは限らない

$R=k[\![ t^5,t^6,t^7]\!]$ とする。$S=k[\![ X,Y,Z]\!]$ から
$X\mapsto t^5$、$Y\mapsto t^6$、$Z\mapsto t^7$ と送ると、核は
$$ (X^4-YZ^2,\;Y^2-XZ,\;Z^3-X^3Y) $$
である。その関係行列を
$$ \begin{pmatrix} X&Y&Z^2\\ Y&Z&X^3 \end{pmatrix} $$
と取れ、全成分が生成するイデアルは $(X,Y,Z)$ である。後述の関係行列判定により $R$ はnearly Gorensteinである。一方、この環はalmost Gorensteinではない。

半群環の出典：この表示、関係行列、nearly Gorensteinだがalmost Gorensteinでないという判定はHerzog–Hibi–Stamate, Remark 6.2とProposition 6.3（論文・DOI ）。

反例：正則元による商からは一般に持ち上がらない

上の非Gorenstein nearly Gorenstein環 $A$ に対し $T=A[\![ z]\!]$ と置く。$z$ は $T$-正則で
$$ T/zT\cong A $$
はnearly Gorensteinである。しかし
$$ \operatorname{tr}_T(\omega_T) =\operatorname{tr}_A(\omega_A)T =\mathfrak m_AT \subsetneq \mathfrak m_AT+(z)=\mathfrak m_T. $$
従って $T$ はCohen–Macaulayだがnearly Gorensteinでない。商がnearly Gorensteinというだけでは元の環へ持ち上げられない。

canonical traceの計算法

標準イデアルと反標準イデアル

$R$ がgenerically Gorensteinで非Gorensteinとし、$\omega_R$ を正gradeのイデアル $I\subset R$ と同一視する。このとき全商環 $Q(R)$ の中で
$$ I^{-1}=R:_{Q(R)}I =\{q\in Q(R)\mid qI\subseteq R\} $$
と置けば
$$ \operatorname{tr}_R(\omega_R)=II^{-1} $$
である。

この式は選んだ標準イデアルの見かけに依存しない。$I\cong\omega_R$ の同型類だけでtraceが決まるからである。

余次元2・型2の関係行列判定

$(S,\mathfrak n)$ を3次元正則局所環、$I\subseteq\mathfrak n^2$ を3元生成イデアルとし、$R=S/I$ は1次元Cohen–Macaulayとする。$I$ の関係行列を $B$ とすると
$$ R\text{ がnearly Gorenstein} \quad\Longleftrightarrow\quad I_1(B)=\mathfrak n, $$
ここで $I_1(B)$ は $B$ の全成分が生成するイデアルである。

一般には、正則局所環 $S$ 上の $R=S/J$ の最小自由分解の最後の写像から $\omega_R$ の表示を作り、その双対表示のsyzygyの全成分を集めることでcanonical traceを計算できる。nearly Gorenstein性は抽象的な存在条件だけでなく、自由分解の行列から検査できる。

計算法の出典：$\operatorname{tr}(I)=II^{-1}$ はHerzog–Hibi–Stamate, Lemma 1.1、自由分解からの計算はCorollary 3.2、上の関係行列判定はProposition 6.3（論文・DOI ）。

ホモロジー的特徴づけ

$\operatorname{CM}(R)$ を有限生成最大Cohen–Macaulay $R$-加群の圏、$\operatorname{mod}R$ を有限生成 $R$-加群の圏とする。

Extの消滅因子による特徴づけ

$R$ がnearly Gorensteinであることと、任意の $M\in\operatorname{CM}(R)$ に対して
$$ \mathfrak m\operatorname{Ext}^1_R(M,R)=0 $$
が成り立つことは同値である。
より精密には
$$ \operatorname{tr}_R(\omega_R) =\operatorname{ann}_R\operatorname{Ext}^{>0}_R (\omega_R,\operatorname{mod}R) =\operatorname{ann}_R\operatorname{Ext}^1_R (\operatorname{CM}(R),R) $$
である。

最後の式で $\operatorname{ann}_R\operatorname{Ext}^1_R(\operatorname{CM}(R),R)$ は、すべての最大Cohen–Macaulay加群 $M$ に対する $\operatorname{Ext}^1_R(M,R)$ を同時に消す元のイデアルを表す。従ってcanonical traceは、標準加群の像を集める操作と、拡張類を一斉に消すホモロジー的操作を結び付ける。

ホモロジー的特徴づけの出典：traceとExt消滅因子の等式はDao–Kobayashi–Takahashi, Theorem 2.3、nearly Gorenstein性との同値はCorollary 2.7（論文・DOI ）。

正則列、完備化、冪級数拡大

正則列による商

$x_1,\ldots,x_r$ を $R$-正則列とする。$R$ がnearly Gorensteinなら
$$ R/(x_1,\ldots,x_r) $$
もnearly Gorensteinである。
以下の存在条件では、長さ0の空列も正則列とみなす。さらに、次は $R$ がnearly Gorensteinであることと同値である。

ある $R$-正則列 $\mathbf x\subseteq\mathfrak m^2$ が存在し、$R/(\mathbf x)$ がnearly Gorensteinである。
ある $R$-正則列 $\mathbf x\subseteq\operatorname{tr}_R(\omega_R)$ が存在し、$R/(\mathbf x)$ がnearly Gorensteinである。

単に「ある正則元による商がnearly Gorenstein」とした場合、反例の $A[\![ z]\!]\to A$ のように持ち上げは失敗する。持ち上げ側では $\mathfrak m^2$ またはcanonical traceに入る正則列という条件が効いている。

完備化と冪級数拡大を区別する

$\widehat R$ を $\mathfrak m$-進完備化とすると
$$ R\text{ がnearly Gorenstein} \quad\Longleftrightarrow\quad \widehat R\text{ がnearly Gorenstein} $$
である。
一方、1変数以上の冪級数環
$S=R[\![ z_1,\ldots,z_n]\!]$ については
$$ S\text{ がnearly Gorenstein} \quad\Longleftrightarrow\quad R\text{ がGorenstein} $$
である。

完備化では極大イデアルが $\mathfrak m\widehat R$ のままであり、平坦基底変換によってcanonical traceも延長される。冪級数拡大では新しい変数 $z_i$ が極大イデアルへ加わる一方、非Gorensteinな基礎環のcanonical traceの延長には $z_i$ が入らない。この違いを混同してはいけない。

保存則の出典：正則列による商はHerzog–Hibi–Stamate, Proposition 2.3(b)、条件付きの逆向きはDao–Kobayashi–Takahashi, Theorem 1.2、冪級数環の同値はHerzog–Hibi–Stamate, Proposition 4.5。完備化はcanonical moduleの平坦基底変換とtraceの平坦基底変換（同論文Lemma 1.5(iii)）を用いる。

almost Gorenstein環との関係

条件	成り立つ関係
1次元almost Gorenstein局所環	nearly Gorenstein
1次元一般	nearlyでもalmostとは限らない
正の次元・無限残差体・最小重複度	nearlyならalmost
高次元一般	名称だけから相互の含意を仮定できない

次元と最小重複度を付けた比較

1次元almost Gorenstein局所環はnearly Gorensteinである。
$R$ が正の次元をもち、残差体が無限で、最小重複度のCohen–Macaulay局所環なら、nearly Gorenstein性からalmost Gorenstein性が従う。
$B=k[\![ t^3,t^4,t^5]\!]$ は非Gorensteinのalmost Gorenstein局所環だが、$B[\![ z]\!]$ はalmost Gorensteinであってnearly Gorensteinでない。

3では、正則元による持ち上げで $B[\![ z]\!]$ はalmost Gorensteinであり、冪級数拡大の判定により非Gorensteinな $B$ から作った $B[\![ z]\!]$ はnearly Gorensteinではない。従って一次元の含意を高次元へそのまま延長できない。

比較の出典：一次元の含意はHerzog–Hibi–Stamate, Proposition 6.1、nearlyだがnot almostの半群環はRemark 6.2、最小重複度の場合はTheorem 6.6、高次元の反例構成はRemark 6.5（論文・DOI ）。

条件を確認して使う

定義にはネーター局所性、Cohen–Macaulay性、標準加群の存在を含める。一般の局所環へ無条件に拡張しない。
canonical traceは一つの写像の像ではなく、$\omega_R\to R$ のすべての準同型の像の和である。
nearly Gorenstein性はCohen–Macaulay性を仮定した概念であり、Cohen–Macaulay性の結論として使わない。
punctured spectrum上でGorensteinになるが、環自身がGorensteinとは限らない。
正則列で割る向きは保存される。逆向きには正則列が $\mathfrak m^2$ またはcanonical traceに入るなどの条件が必要である。
完備化と冪級数変数の追加は異なる。前者はnearly Gorenstein性を保つが、後者は基礎環がGorensteinでない限り保たない。
almost Gorenstein、nearly Gorenstein、quasi-Gorensteinを名称だけで同一視しない。

参考文献と証明の範囲

Gorensteinからの含意、平方零極大イデアルの例、冪級数拡大による反例は本文中で計算した。非Gorenstein locus、自由分解によるtrace計算、Ext消滅因子、正則列、almost Gorenstein性との比較には外部定理を用いる。

Jürgen Herzog, Takayuki Hibi and Dumitru I. Stamate, “The trace of the canonical module,” Israel Journal of Mathematics 233 (2019), 133–165（ DOI:10.1007/s11856-019-1898-y ）。
Hailong Dao, Toshinori Kobayashi and Ryo Takahashi, “Trace ideals of canonical modules, annihilators of Ext modules, and classes of rings close to being Gorenstein,” Journal of Pure and Applied Algebra 225 (2021), no. 9, Article 106655（ DOI:10.1016/j.jpaa.2020.106655 ）。
Shiro Goto, Ryo Takahashi and Naoki Taniguchi, “Almost Gorenstein rings—towards a theory of higher dimension,” Journal of Pure and Applied Algebra 219 (2015), 2666–2712（ DOI:10.1016/j.jpaa.2014.09.022 ）。