nearly Gorenstein環
概要
nearly Gorenstein環（nearly Gorenstein ring）とは、Cohen–Macaulay局所環の標準加群から環へのすべての準同型の像を足し合わせたcanonical traceが、極大イデアルを含む環である。canonical traceは非Gorenstein locusを切り出し、非Gorensteinのnearly Gorenstein環では極大イデアルそのものになる。Gorenstein環は常にこの条件を満たし、一次元ではalmost Gorenstein環から従うが、高次元や冪級数拡大では両概念を区別する必要がある。
前提知識: 局所環, Cohen–Macaulay環, Gorenstein環
定義：標準加群から環へ戻る写像をすべて集める
$(R,\mathfrak m,k)$ をCohen–Macaulay局所環とし、$R$ は標準加群 $\omega_R$ をもつとする。
有限生成 $R$-加群 $M$ の traceイデアルを
$$
\operatorname{tr}_R(M)
=\sum_{\varphi\in\operatorname{Hom}_R(M,R)}\varphi(M)
$$
で定める。つまり、$M$ から $R$ へのすべての $R$-線形写像の像を足し合わせたイデアルである。
$M\cong N$ なら $\operatorname{tr}_R(M)=\operatorname{tr}_R(N)$ である。従って、同型を除いて定まる標準加群のtrace
$$
\operatorname{tr}_R(\omega_R)
$$
は $R$ に固有のイデアルであり、canonical trace と呼ばれる。
$R$ が nearly Gorenstein環（nearly Gorenstein ring）であるとは、canonical traceが極大イデアルを含むこと、すなわち
$$
\mathfrak m\subseteq\operatorname{tr}_R(\omega_R)
$$
が成り立つことをいう。
定義の出典：canonical traceとnearly Gorenstein性の定義はHerzog–Hibi–Stamate, Definition 2.2 HerzogHibiStamate2019。同論文では局所環版と、斉次極大イデアルを用いる正次数付き版を並行して扱う。
直感：非Gorenstein locusを一つのイデアルで測る
$\operatorname{tr}_R(\omega_R)$ が大きいほど、標準加群から環へ多くの元を戻せる。極端な場合
$$
\operatorname{tr}_R(\omega_R)=R
$$
なら $R$ はGorensteinである。nearly Gorenstein性は、単元までtraceに入ることは要求せず、少なくともすべての非単元を生成する $\mathfrak m$ が入ることを要求する。
上の仮定のもとで次が成り立つ。
- $R$ がGorensteinであることと $\operatorname{tr}_R(\omega_R)=R$ は同値である。
- $R$ がnearly GorensteinだがGorensteinでないことと
$$ \operatorname{tr}_R(\omega_R)=\mathfrak m $$
は同値である。
2は局所環で $\mathfrak m$ が唯一の極大イデアルであることによる。従って非Gorensteinのnearly Gorenstein環では、canonical traceは「真のイデアルとして可能な最大値」になる。
非Gorenstein locusと局所化
任意の $\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R$ に対して
$$
R_{\mathfrak p}\text{ がGorensteinでない}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\operatorname{tr}_R(\omega_R)\subseteq\mathfrak p
$$
が成り立つ。従って非Gorenstein locusは閉集合
$$
V\!\left(\operatorname{tr}_R(\omega_R)\right)
$$
である。
有限生成加群のtraceは局所化と可換するので、左辺は
$\operatorname{tr}_{R_{\mathfrak p}}((\omega_R)_{\mathfrak p})\neq R_{\mathfrak p}$
と言い換えられる。特に $R$ がnearly Gorensteinなら、$\mathfrak p\neq\mathfrak m$ ではcanonical traceが $\mathfrak p$ に含まれないため、$R_{\mathfrak p}$ はGorensteinである。
幾何的意味の出典：非Gorenstein locusの記述はHerzog–Hibi–Stamate, Lemma 2.1、punctured spectrum上のGorenstein性はProposition 2.3(a) HerzogHibiStamate2019。
例と反例
| 環 | canonical trace | 判定と区別 |
|---|---|---|
| Gorenstein局所環 | $R$ | nearly Gorenstein |
| $A=k[\![x,y]\!]/(x,y)^2$ | $\mathfrak m_A$ | nearly Gorensteinだが非Gorenstein |
| $k[\![t^5,t^6,t^7]\!]$ | $\mathfrak m$ を含む | nearly Gorensteinだがalmost Gorensteinでない |
| $A[\![z]\!]$ | $\mathfrak m_AA[\![z]\!]$ | Cohen–Macaulayだがnearly Gorensteinでない |
$R$ がGorensteinなら $\omega_R\cong R$ である。恒等写像の像が $R$ 全体なので
$\operatorname{tr}_R(\omega_R)=R\supseteq\mathfrak m$ となる。
$A=k[\![x,y]\!]/(x,y)^2$、$\mathfrak m=(x,y)$ とする。$A$ は0次元Cohen–Macaulayで、
$$
\operatorname{Soc}(A)=\mathfrak m,
\qquad
\dim_k\operatorname{Soc}(A)=2
$$
だからGorensteinでない。
$\omega_A=\operatorname{Hom}_k(A,k)$ とし、$1,x,y$ の双対基底を $\varepsilon,x^*,y^*$ と書く。$A$ の作用は
$$
x x^*=\varepsilon,
\qquad
y y^*=\varepsilon,
\qquad
x\varepsilon=y\varepsilon=x y^*=y x^*=0
$$
を満たす。$x^*\mapsto x$、他の双対基底を0へ送る写像と、$y^*\mapsto y$、他を0へ送る写像は $A$-線形である。従って
$$
(x,y)\subseteq\operatorname{tr}_A(\omega_A).
$$
$A$ は非Gorensteinなのでtraceは $A$ 全体ではなく、結局
$\operatorname{tr}_A(\omega_A)=\mathfrak m$ である。
$R=k[\![t^5,t^6,t^7]\!]$ とする。$S=k[\![X,Y,Z]\!]$ から
$X\mapsto t^5$、$Y\mapsto t^6$、$Z\mapsto t^7$ と送ると、核は
$$
(X^4-YZ^2,\;Y^2-XZ,\;Z^3-X^3Y)
$$
である。その関係行列を
$$
\begin{pmatrix}
X&Y&Z^2\\
Y&Z&X^3
\end{pmatrix}
$$
と取れ、全成分が生成するイデアルは $(X,Y,Z)$ である。後述の関係行列判定により $R$ はnearly Gorensteinである。一方、この環はalmost Gorensteinではない。
半群環の出典：この表示、関係行列、nearly Gorensteinだがalmost Gorensteinでないという判定はHerzog–Hibi–Stamate, Remark 6.2とProposition 6.3 HerzogHibiStamate2019。
上の非Gorenstein nearly Gorenstein環 $A$ に対し $T=A[\![z]\!]$ と置く。$z$ は $T$-正則で
$$
T/zT\cong A
$$
はnearly Gorensteinである。しかし
$$
\operatorname{tr}_T(\omega_T)
=\operatorname{tr}_A(\omega_A)T
=\mathfrak m_AT
\subsetneq
\mathfrak m_AT+(z)=\mathfrak m_T.
$$
従って $T$ はCohen–Macaulayだがnearly Gorensteinでない。商がnearly Gorensteinというだけでは元の環へ持ち上げられない。
canonical traceの計算法
$R$ がgenerically Gorensteinで非Gorensteinとし、$\omega_R$ を正gradeのイデアル $I\subset R$ と同一視する。このとき全商環 $Q(R)$ の中で
$$
I^{-1}=R:_{Q(R)}I
=\{q\in Q(R)\mid qI\subseteq R\}
$$
と置けば
$$
\operatorname{tr}_R(\omega_R)=II^{-1}
$$
である。
この式は選んだ標準イデアルの見かけに依存しない。$I\cong\omega_R$ の同型類だけでtraceが決まるからである。
$(S,\mathfrak n)$ を3次元正則局所環、$I\subseteq\mathfrak n^2$ を3元生成イデアルとし、$R=S/I$ は1次元Cohen–Macaulayとする。$I$ の関係行列を $B$ とすると
$$
R\text{ がnearly Gorenstein}
\quad\Longleftrightarrow\quad
I_1(B)=\mathfrak n,
$$
ここで $I_1(B)$ は $B$ の全成分が生成するイデアルである。
一般には、正則局所環 $S$ 上の $R=S/J$ の最小自由分解の最後の写像から $\omega_R$ の表示を作り、その双対表示のsyzygyの全成分を集めることでcanonical traceを計算できる。nearly Gorenstein性は抽象的な存在条件だけでなく、自由分解の行列から検査できる。
計算法の出典：$\operatorname{tr}(I)=II^{-1}$ はHerzog–Hibi–Stamate, Lemma 1.1、自由分解からの計算はCorollary 3.2、上の関係行列判定はProposition 6.3 HerzogHibiStamate2019。
ホモロジー的特徴づけ
$\operatorname{CM}(R)$ を有限生成最大Cohen–Macaulay $R$-加群の圏、$\operatorname{mod}R$ を有限生成 $R$-加群の圏とする。
$R$ がnearly Gorensteinであることと、任意の $M\in\operatorname{CM}(R)$ に対して
$$
\mathfrak m\operatorname{Ext}^1_R(M,R)=0
$$
が成り立つことは同値である。
より精密には
$$
\operatorname{tr}_R(\omega_R)
=\operatorname{ann}_R\operatorname{Ext}^{>0}_R
(\omega_R,\operatorname{mod}R)
=\operatorname{ann}_R\operatorname{Ext}^1_R
(\operatorname{CM}(R),R)
$$
である。
最後の式で $\operatorname{ann}_R\operatorname{Ext}^1_R(\operatorname{CM}(R),R)$ は、すべての最大Cohen–Macaulay加群 $M$ に対する $\operatorname{Ext}^1_R(M,R)$ を同時に消す元のイデアルを表す。従ってcanonical traceは、標準加群の像を集める操作と、拡張類を一斉に消すホモロジー的操作を結び付ける。
ホモロジー的特徴づけの出典：traceとExt消滅因子の等式はDao–Kobayashi–Takahashi, Theorem 2.3、nearly Gorenstein性との同値はCorollary 2.7 DaoKobayashiTakahashi2021。
正則列、完備化、冪級数拡大
$x_1,\ldots,x_r$ を $R$-正則列とする。$R$ がnearly Gorensteinなら
$$
R/(x_1,\ldots,x_r)
$$
もnearly Gorensteinである。
以下の存在条件では、長さ0の空列も正則列とみなす。さらに、次は $R$ がnearly Gorensteinであることと同値である。
- ある $R$-正則列 $\mathbf x\subseteq\mathfrak m^2$ が存在し、$R/(\mathbf x)$ がnearly Gorensteinである。
- ある $R$-正則列 $\mathbf x\subseteq\operatorname{tr}_R(\omega_R)$ が存在し、$R/(\mathbf x)$ がnearly Gorensteinである。
単に「ある正則元による商がnearly Gorenstein」とした場合、反例の $A[\![z]\!]\to A$ のように持ち上げは失敗する。持ち上げ側では $\mathfrak m^2$ またはcanonical traceに入る正則列という条件が効いている。
$\widehat R$ を $\mathfrak m$-進完備化とすると
$$
R\text{ がnearly Gorenstein}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\widehat R\text{ がnearly Gorenstein}
$$
である。
一方、1変数以上の冪級数環
$S=R[\![z_1,\ldots,z_n]\!]$ については
$$
S\text{ がnearly Gorenstein}
\quad\Longleftrightarrow\quad
R\text{ がGorenstein}
$$
である。
完備化では極大イデアルが $\mathfrak m\widehat R$ のままであり、平坦基底変換によってcanonical traceも延長される。冪級数拡大では新しい変数 $z_i$ が極大イデアルへ加わる一方、非Gorensteinな基礎環のcanonical traceの延長には $z_i$ が入らない。この違いを混同してはいけない。
保存則の出典：正則列による商はHerzog–Hibi–Stamate, Proposition 2.3(b) HerzogHibiStamate2019、条件付きの逆向きはDao–Kobayashi–Takahashi, Theorem 1.2 DaoKobayashiTakahashi2021、冪級数環の同値はHerzog–Hibi–Stamate, Proposition 4.5。完備化はcanonical moduleの平坦基底変換とtraceの平坦基底変換（同論文Lemma 1.5(iii)）を用いる。
almost Gorenstein環との関係
| 条件 | 成り立つ関係 |
|---|---|
| 1次元almost Gorenstein局所環 | nearly Gorenstein |
| 1次元一般 | nearlyでもalmostとは限らない |
| 正の次元・無限残差体・最小重複度 | nearlyならalmost |
| 高次元一般 | 名称だけから相互の含意を仮定できない |
- 1次元almost Gorenstein局所環はnearly Gorensteinである。
- $R$ が正の次元をもち、残差体が無限で、最小重複度のCohen–Macaulay局所環なら、nearly Gorenstein性からalmost Gorenstein性が従う。
- $B=k[\![t^3,t^4,t^5]\!]$ は非Gorensteinのalmost Gorenstein局所環だが、$B[\![z]\!]$ はalmost Gorensteinであってnearly Gorensteinでない。
3では、正則元による持ち上げで $B[\![z]\!]$ はalmost Gorensteinであり、冪級数拡大の判定により非Gorensteinな $B$ から作った $B[\![z]\!]$ はnearly Gorensteinではない。従って一次元の含意を高次元へそのまま延長できない。
比較の出典：almost Gorenstein性の定義はGoto–Takahashi–Taniguchi GotoTakahashiTaniguchi2015。一次元の含意はHerzog–Hibi–Stamate, Proposition 6.1、nearlyだがnot almostの半群環はRemark 6.2、最小重複度の場合はTheorem 6.6、高次元の反例構成はRemark 6.5 HerzogHibiStamate2019。
判定に用いる仮定
nearly Gorenstein性を判定するときは、ネーター局所環がCohen–Macaulayで標準加群をもつという仮定を先に確認する。canonical traceは一つの写像の像ではなく、$\omega_R\to R$ のすべての準同型の像の和である。nearly Gorenstein性からCohen–Macaulay性を導くことはできない。また、punctured spectrum上でGorensteinになっても、環自身がGorensteinとは限らない。
正則列による商には保存則があるが、商から元の環へ戻すには正則列が $\mathfrak m^2$ またはcanonical traceに入る条件を要する。完備化と冪級数変数の追加も区別する。前者はnearly Gorenstein性を保ち、後者は基礎環がGorensteinでない限り保たない。almost Gorenstein性やquasi-Gorenstein性との関係は上の比較に従う。
関連項目
参考文献
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