Dirichletの算術級数定理

1．指標の直交関係（Dirichlet指標 の記事の定理「指標の個数と直交関係」の 3 で $\psi=\chi_0$）により、連続する $m$ 個の整数にわたる $\chi(n)$ の和は $0$ である。よって $A_\chi(x)$ は、長さ $m$ 未満の区間にわたる和に等しく、その中で $\chi(n)\neq0$ となる $n$ は $\varphi(m)$ 個以下で、各項の絶対値は $1$ である。
2．$A=A_\chi$ と書き、$a=\lfloor\alpha\rfloor$、$b=\lfloor\beta\rfloor$ とおく。$\chi(n)=A(n)-A(n-1)$ を代入して和を並べ替えると（Abelの級数変形法とその応用 の定理「級数変形法の等式」）
$$ \sum_{a< n\le b}\frac{\chi(n)}{n^\sigma}=\frac{A(b)}{b^\sigma}-\frac{A(a)}{(a+1)^\sigma}+\sum_{a< n< b}A(n)\Bigl(\frac1{n^\sigma}-\frac1{(n+1)^\sigma}\Bigr) $$
である。括弧の中は正で、その和は $(a+1)^{-\sigma}-b^{-\sigma}$ なので、1 により絶対値は $\varphi(m)\bigl(b^{-\sigma}+(a+1)^{-\sigma}+(a+1)^{-\sigma}-b^{-\sigma}\bigr)=2\varphi(m)(a+1)^{-\sigma}\le2\varphi(m)\alpha^{-\sigma}$ 以下である。$\alpha\to\infty$ でこれは $0$ に近づくので、Cauchy の判定法により級数は収束する。さらに $a=0$ として $b\to\infty$ とすると $A(b)b^{-\sigma}\to0$ なので
$$ L(\sigma,\chi)=\sum_{n=1}^\infty A(n)h_n(\sigma),\qquad h_n(\sigma):=\frac1{n^\sigma}-\frac1{(n+1)^\sigma}\ge0 $$
を得る。$\sum_nh_n(\sigma)=1$ なので $|L(\sigma,\chi)|\le\varphi(m)$ である（$\sigma\ge1$ の範囲で使う）。
3．$1\le\sigma\le2$ のとき
$$ h_n'(\sigma)=-\frac{\log n}{n^\sigma}+\frac{\log(n+1)}{(n+1)^\sigma}=\int_n^{n+1}\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{\log x}{x^\sigma}\Bigr)dx=\int_n^{n+1}\frac{1-\sigma\log x}{x^{\sigma+1}}dx $$
で、$x\ge1$ では $\bigl|\frac{1-\sigma\log x}{x^{\sigma+1}}\bigr|\le\frac{1+2\log x}{x^2}$ なので、$|h_n'(\sigma)|\le\int_n^{n+1}\frac{1+2\log x}{x^2}dx=:c_n$ である。$\sum_nc_n=\int_1^\infty\frac{1+2\log x}{x^2}dx=1+2=3$ である。平均値の定理により $|h_n(s)-h_n(1)|\le c_n(s-1)$ なので
$$ |L(s,\chi)-L(1,\chi)|\le\sum_{n=1}^\infty|A(n)|\,|h_n(s)-h_n(1)|\le\varphi(m)\cdot3(s-1) $$
である。$\square$

$|z|<1$ で $e^{\lambda(z)}=1/(1-z)$ を確かめ、$p\le x$ の有限積を展開して $x\to\infty$ とする。

$\zeta(s)$ の Euler 積と比べて $L(s,\chi_0)=\zeta(s)\prod_{p\mid m}(1-p^{-s})$ とし、$\zeta(s)$ の評価を使う。

prop-dap-euler により積は $\exp\bigl(\sum_\chi\ell(s,\chi)\bigr)$ に等しい。絶対収束するので和の順序を入れ替えてよく、
$$ \sum_{\chi\in X_m}\ell(s,\chi)=\sum_p\sum_{k\ge1}\frac1{kp^{ks}}\sum_{\chi\in X_m}\chi(p^k)=\varphi(m)\sum_{p^k\equiv1\ (\mathrm{mod}\ m)}\frac1{kp^{ks}}\ge0 $$
である。ここで、Dirichlet指標 の記事の定理「指標の個数と直交関係」の 4 で $b=1$ とした $\sum_\chi\chi(n)=\varphi(m)\cdot\mathbf 1[n\equiv1]$ を使った（$\gcd(n,m)>1$ ならすべての $\chi(n)$ が $0$ である）。$0$ 以上の実数の $\exp$ は $1$ 以上である。$\square$

$\chi$ が実数値でないとし、$L(1,\chi)=0$ と仮定して矛盾を導く。複素共役 $\bar\chi$ も法 $m$ の指標で、$\bar\chi\neq\chi$ である。$s$ が実数なので $L(s,\bar\chi)=\overline{L(s,\chi)}$ で、$L(1,\bar\chi)=0$ でもある。$1< s\le2$ で、lem-dap-partial-sum の 3 から
$$ |L(s,\chi)|\le3\varphi(m)(s-1),\qquad|L(s,\bar\chi)|\le3\varphi(m)(s-1) $$
であり、prop-dap-principal から $L(s,\chi_0)\le2/(s-1)$、残りの $\varphi(m)-3$ 個の指標 $\psi$ については lem-dap-partial-sum の 2 から $|L(s,\psi)|\le\varphi(m)$ である（$\chi_0,\chi,\bar\chi$ は相異なる）。よって
$$ \Bigl|\prod_{\psi\in X_m}L(s,\psi)\Bigr|\le\frac2{s-1}\cdot9\varphi(m)^2(s-1)^2\cdot\varphi(m)^{\varphi(m)}\xrightarrow[s\to1+0]{}0 $$
となり、prop-dap-product の「$1$ 以上」に反する。$\square$

$r$ は乗法的で、素数冪では $r(p^e)=\sum_{i=0}^e\chi(p)^i$ を $\chi(p)\in\{0,1,-1\}$ ごとに調べる。

$a_N=\sum_{k\le N}k^{-1/2}-2\sqrt N$ が減少し、隣り合う差が $N^{-1/2}-(N-1)^{-1/2}$ 以上であることから極限 $C$ の存在と誤差を得る。

$\chi\neq\chi_0$ を実数値とし、$x\ge1$ について
$$ F(x):=\sum_{1\le n\le x}\frac{r(n)}{\sqrt n}=\sum_{dk\le x}\frac{\chi(d)}{\sqrt{dk}} $$
とおく（$d,k$ は正の整数）。$F(x)$ を 2 通りに評価する。
下から。 lem-dap-divisor-sum により各項は $0$ 以上で、$n=k^2$ の項は $1/k$ 以上なので
$$ F(x)\ge\sum_{1\le k\le\sqrt x}\frac1k\ge\log\lfloor\sqrt x\rfloor\xrightarrow[x\to\infty]{}\infty $$
である。
上から。 $y=\sqrt x$ とおく。$dk\le x$ を満たす組を、$d\le y$ のものと、$d>y$（このとき $k< y$）のものに分ける。
$$ F(x)=\underbrace{\sum_{d\le y}\frac{\chi(d)}{\sqrt d}\sum_{k\le x/d}\frac1{\sqrt k}}_{F_1}+\underbrace{\sum_{k< y}\frac1{\sqrt k}\sum_{y< d\le x/k}\frac{\chi(d)}{\sqrt d}}_{F_2} $$
$F_2$ の内側の和は lem-dap-partial-sum の 2 で $2\varphi(m)y^{-1/2}$ 以下で、$\sum_{k< y}k^{-1/2}\le2\sqrt y$ なので $|F_2|\le4\varphi(m)$ である。$F_1$ には $x/d\ge y\ge1$ なので lem-dap-sqrt-sum が使えて
$$ F_1=2\sqrt x\sum_{d\le y}\frac{\chi(d)}d+C\sum_{d\le y}\frac{\chi(d)}{\sqrt d}+\sum_{d\le y}\frac{\chi(d)}{\sqrt d}E\Bigl(\frac xd\Bigr) $$
となる。第 1 項は、lem-dap-partial-sum の 2 による $\bigl|\sum_{d>y}\chi(d)/d\bigr|\le2\varphi(m)/y$ を使うと $2\sqrt xL(1,\chi)$ との差が $2\sqrt x\cdot2\varphi(m)/y=4\varphi(m)$ 以下である。第 2 項の和は $|\chi(1)|+2\varphi(m)\le1+2\varphi(m)$ 以下である。第 3 項は $|E(x/d)|\le3\sqrt{d/x}$ より $\sum_{d\le y}3/\sqrt x\le3$ 以下である。まとめると、$x$ によらない定数 $K$ で
$$ |F(x)-2\sqrt x\,L(1,\chi)|\le K $$
となる。もし $L(1,\chi)=0$ なら $F(x)$ は有界になり、下からの評価に反する。よって $L(1,\chi)\neq0$ である。$\square$

lem-dap-partial-sum の 3 により $L(s,\chi)$ は閉区間 $[1,2]$ で連続で、$s>1$ では prop-dap-euler により、$s=1$ では thm-dap-nonvanishing により $0$ にならない。よって $\mu:=\min_{1\le s\le2}|L(s,\chi)|>0$ である。また $|L(s,\chi)|\le\varphi(m)$ なので、$\operatorname{Re}\ell(s,\chi)=\log|L(s,\chi)|$ は $[\log\mu,\log\varphi(m)]$ に入る。
虚部を調べる。$L$ は $[1,2]$ で一様連続なので、$\delta>0$ を、$|s-t|\le\delta$ なら $|L(s,\chi)-L(t,\chi)|<\mu$ となるようにとる。$t\in(1,2]$ を固定し、$I_t=\{s\in(1,2]:|s-t|\le\delta\}$ とおく。$s\in I_t$ では $w(s):=L(s,\chi)/L(t,\chi)$ が $|w(s)-1|<1$ を満たすので、その主値の対数 $\operatorname{Log}w(s)$（$|\operatorname{Im}\operatorname{Log}w(s)|<\pi/2$）が $s$ の連続関数として定まる。$\exp\bigl(\ell(s,\chi)-\ell(t,\chi)\bigr)=w(s)=\exp(\operatorname{Log}w(s))$ なので
$$ \ell(s,\chi)-\ell(t,\chi)-\operatorname{Log}w(s)\in2\pi i\mathbb Z $$
である。左辺は区間 $I_t$ 上の連続関数で、値は離散集合 $2\pi i\mathbb Z$ に入るので定数であり、$s=t$ で $0$ だから恒等的に $0$ である。よって $|\operatorname{Im}\ell(s,\chi)-\operatorname{Im}\ell(t,\chi)|<\pi/2$（$s\in I_t$）である。$t=2$ から始めて幅 $\delta$ ずつ $1$ に近づけば、$(1,2]$ のどの $s$ も $2$ から $1/\delta+1$ 歩以内で到達するので、$|\operatorname{Im}\ell(s,\chi)|\le|\operatorname{Im}\ell(2,\chi)|+(1/\delta+1)\pi/2$ である。$\square$

$\gcd(a,m)=1$、$1< s\le2$ とする。prop-dap-euler の級数は絶対収束するので、直交関係（Dirichlet指標 の記事の定理「指標の個数と直交関係」の 4 で $b=a$）を使うと
$$ \sum_{\chi\in X_m}\overline{\chi(a)}\,\ell(s,\chi)=\sum_p\sum_{k\ge1}\frac1{kp^{ks}}\sum_{\chi\in X_m}\chi(p^k)\overline{\chi(a)}=\varphi(m)\sum_{p^k\equiv a\ (\mathrm{mod}\ m)}\frac1{kp^{ks}} $$
である。右辺のうち $k=1$ の部分が求める和 $S(s):=\sum_{p\equiv a}p^{-s}$ で、$k\ge2$ の部分は
$$ 0\le\sum_p\sum_{k\ge2}\frac1{kp^{ks}}\le\sum_p\sum_{k\ge2}\frac1{p^k}=\sum_p\frac1{p(p-1)}\le\sum_{n\ge2}\frac1{n(n-1)}=1 $$
で抑えられる。よって
$$ S(s)=\frac1{\varphi(m)}\ell(s,\chi_0)+\frac1{\varphi(m)}\sum_{\chi\neq\chi_0}\overline{\chi(a)}\,\ell(s,\chi)+O(1) $$
である。
主指標の項：$\chi_0(p)p^{-s}$ は実数なので $\ell(s,\chi_0)$ は実数で、$e^{\ell(s,\chi_0)}=L(s,\chi_0)$ より $\ell(s,\chi_0)=\log L(s,\chi_0)$ である。prop-dap-principal により
$$ \log\frac1{s-1}+\log\frac{\varphi(m)}m\le\ell(s,\chi_0)\le\log\frac1{s-1}+\log2 $$
なので、$\ell(s,\chi_0)=\log\frac1{s-1}+O(1)$ である。
それ以外の指標の項：$|\overline{\chi(a)}|=1$ で、lem-dap-log-bounded により各 $\ell(s,\chi)$ は有界である。指標は有限個なので、和も有界である。
以上から $S(s)=\frac1{\varphi(m)}\log\frac1{s-1}+O(1)$ が成り立つ。右辺は $s\to1+0$ で $+\infty$ に発散する。もし $p\equiv a$ の素数が有限個なら $S(s)$ は有限和で、$s\to1+0$ で有限の値に近づくから矛盾する。よって $p\equiv a\pmod m$ の素数は無限に存在する。$\square$