三角形分割予想とManolescuの定理

要点：$Y\#(-Y)$ は、$Y$ から開円板を除いた $Y_\circ$ を変形レトラクトにもつ $4$ 次元多様体 $B$ の境界になり、$Y_\circ$ はホモロジーが点と同じなので $B$ はホモロジー $4$ 球体である。$B$ から小さな開円板を除けば $S^3$ からのホモロジー同境になる。

ホモロジー同境で不変であること。 $W$ を $Y_0$ から $Y_1$ へのホモロジー同境とし、$W_0$ を $\partial W_0=Y_0$ となる滑らかでコンパクトな spin $4$ 次元多様体とする。$W_0$ と $W$ を $Y_0$ に沿って貼り合わせた $V:=W_0\cup_{Y_0}W$ は、$\partial V=Y_1$ となる滑らかでコンパクトな向き付けられた $4$ 次元多様体である（境界に沿った貼り合わせと連結和）。
切除により $H_*(V,W_0;\mathbb{Z})\cong H_*(W,Y_0;\mathbb{Z})=0$ なので、包含 $W_0\to V$ は整数係数のホモロジーの同型を引き起こす。普遍係数定理により $\mathbb{Z}/2$ 係数のコホモロジーでも同型で、とくに制限 $H^2(V;\mathbb{Z}/2)\to H^2(W_0;\mathbb{Z}/2)$ は同型である。$w_2(V)$ の $W_0$ への制限は $w_2(W_0)=0$ なので $w_2(V)=0$ で、$V$ は spin である。
符号数を比べる。$\partial W_0$ と $\partial V$ はホモロジー球面なので、$H_2(W_0)\to H_2(W_0,\partial W_0)$、$H_2(V)\to H_2(V,\partial V)$ は同型で（対の完全列）、交叉形式は $H_2$ の上のユニモジュラ形式として、横断的に交わる曲面の交点の符号付き個数で与えられる（Kir89 Ch. II §5、p. 28）。包含 $H_2(W_0)\to H_2(V)$ は同型なので、$H_2(V)$ の元は $W_0$ の中の曲面で表され、その交点の個数は $W_0$ の中で数えても $V$ の中で数えても同じである。よって交叉形式は同型で、$\sigma(V)=\sigma(W_0)$ である。したがって $\mu(Y_1)=\sigma(V)/8=\sigma(W_0)/8=\mu(Y_0)\pmod2$ である。
準同型であること。 $W_0$、$W_1$ を $\partial W_i=Y_i$ となる連結で滑らかでコンパクトな spin $4$ 次元多様体とし、境界の $3$ 次元円板に沿って貼った境界連結和 $W_0\natural W_1$ をとる。これは滑らかでコンパクトな向き付けられた連結多様体で、$\partial(W_0\natural W_1)=Y_0\#Y_1$ である（Kos93 Ch. VI Theorem 3.1、p. 97）。$W_0\natural W_1$ は $W_0$ と $W_1$ を可縮な集合（円板）で貼ったものなので、$\mathbb{Z}/2$ 係数の Mayer–Vietoris 完全列から制限の組 $H^2(W_0\natural W_1;\mathbb{Z}/2)\to H^2(W_0;\mathbb{Z}/2)\oplus H^2(W_1;\mathbb{Z}/2)$ は同型である。$w_2$ の各成分への制限は $0$ なので $W_0\natural W_1$ は spin である。境界連結和の符号数は和である（Kir89 Ch. II §5、p. 28）。よって
$$ \mu(Y_0\#Y_1)=\frac{\sigma(W_0)+\sigma(W_1)}{8}=\mu(Y_0)+\mu(Y_1)\pmod2 $$
である。$\Theta^3_{\mathbb{Z}}$ の和は連結和なので、$\mu$ は準同型である。
全射であること。 Poincaré ホモロジー球面 $P$ について $\mu(P)=1$ である（Rokhlinの定理 の例「Rokhlin 不変量の値」）。$\square$

要点：分裂は $\mathbb{Z}/2$ の生成元の、位数 $2$ の持ち上げの存在と同じで、持ち上げ $g$ は $A$ の元だけずらせる。

1. が分裂すると仮定する。lem-tc-split の 2 により、$\mu([Y])=1$ かつ $2[Y]=0$ となるホモロジー $3$ 球面 $Y$ がある。lem-tc-inverse により $-[Y]=[-Y]$ なので、$2[Y]=0$ は $[Y]=[-Y]$、すなわち $Y$ と $-Y$ がホモロジー同境であることを意味する。
   thm-tc-beta の 3 により $\beta(Y)=\beta(-Y)$ で、1 により $\beta(-Y)=-\beta(Y)$ なので、$\beta(Y)=-\beta(Y)$、すなわち $\beta(Y)=0$ である。2 により $\mu(Y)\equiv\beta(Y)=0\pmod2$ となり、$\mu(Y)=1$ に矛盾する。
   $2[Y]=[Y\#Y]$ なので、「$\mu(Y)=1$ かつ $Y\#Y$ が $S^3$ とホモロジー同境」という $Y$ がないことも示された。$\square$

1． 準同型 $s\colon\mathbb{Z}/2\to\Theta^3_{\mathbb{Z}}$ で $\mu\circ s=\mathrm{id}$ となるものをとる。$x\in H^4(X;\mathbb{Z}/2)$ について $x=(\mu\circ s)_*x=\mu_*(s_*x)$ は $\mu_*$ の像に入る。長完全列の完全性により $\delta\circ\mu_*=0$ なので、$\delta x=0$ である。
2． $\mu(Y)=1$ となるホモロジー $3$ 球面 $Y$ をとり（prop-tc-rokhlin）、$g:=[Y]$ とおく。次の可換図式を考える。上の行は $\mathbb{Z}$ の $2$ 倍写像による短完全列、縦の写像は $f'(n):=2ng$、$f(n):=ng$ と恒等写像である。
$$ \xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathbb{Z} \ar[r]^{2} \ar[d]_{f'} & \mathbb{Z} \ar[r] \ar[d]^{f} & \mathbb{Z}/2 \ar[r] \ar@{=}[d] & 0\\ 0 \ar[r] & K \ar[r] & \Theta^3_{\mathbb{Z}} \ar[r]_{\mu} & \mathbb{Z}/2 \ar[r] & 0 } $$
$\mu(2g)=0$ なので $f'$ の値は $K$ に入り、$f(2n)=2ng=f'(n)$、$\mu(f(n))=n\,\mu(g)=n\bmod2$ なので図式は可換である。連結準同型の自然性により、上の行の Bockstein 準同型を $\tilde\beta\colon H^4(M;\mathbb{Z}/2)\to H^5(M;\mathbb{Z})$ とすると
$$ \delta\kappa(M)=f'_*\bigl(\tilde\beta\kappa(M)\bigr)\qquad(2) $$
である。
$H^5(M;-)$ の計算。 アーベル群 $A$ について、係数 $A$ について自然な同型 $H^5(M;A)\cong A/2A$ がある。とくに $H^5(M;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/2$、$H^5(M;K)\cong K/2K$ で、$f'_*$ は $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to K/2K$、$1\mapsto[f'(1)]=[2g]$ に対応する。

1． thm-tc-main の 1 により (1) は分裂しないので、prop-tc-split-delta の 2 により $\delta\kappa(M)\ne0$ である。thm-tc-gs の 1 の対偶により $M$ は三角形分割をもたない。
2． $\mathrm{pr}\colon M\times\mathbb{R}^k\to M$ を射影とする。$\kappa(M\times\mathbb{R}^k)=\mathrm{pr}^*\kappa(M)$ である（Kirby–Siebenmann不変量 の命題「κ の基本性質」の 3）。Bockstein 準同型の自然性により $\delta\kappa(M\times\mathbb{R}^k)=\mathrm{pr}^*\delta\kappa(M)$ である。零切断 $s(x)=(x,0)$ について $\mathrm{pr}\circ s=\mathrm{id}_M$ なので $s^*\circ\mathrm{pr}^*$ は恒等写像で、$\mathrm{pr}^*$ は単射である。1 の証明より $\delta\kappa(M)\ne0$ なので $\delta\kappa(M\times\mathbb{R}^k)\ne0$ で、$\dim(M\times\mathbb{R}^k)\ge5$ だから thm-tc-gs の 1 により三角形分割をもたない。$\square$

1 ⇒ 2：(1) が分裂すれば、prop-tc-split-delta の 1 により、どの $n\ge5$ 次元多様体 $M$ でも $\delta\kappa(M)=0$ で、thm-tc-gs の 2 により $M$ は三角形分割をもつ。
2 ⇒ 3 は明らかである。
3 ⇒ 1：対偶を示す。(1) が分裂しないとすると、ex-tc-kronheimer の $M$ について prop-tc-split-delta の 2 により $\delta\kappa(M)\ne0$ である。すると cor-tc-nontri の証明と同じく、すべての $k\ge0$ で $M\times\mathbb{R}^k$ は三角形分割をもたない。$n=5+k$ はすべての $n\ge5$ を動くので、どの $n\ge5$ でも $n$ 次元の三角形分割予想は成り立たない。$\square$