閉集合

定義

位相空間 $(X, \mathcal{O})$ の部分集合 $F$ が閉集合であるとは、その補集合 $X \setminus F$ （または $F^c$）が $X$ の開集合であることをいう。
つまり、位相空間論において閉集合は独立して定義されるものではなく、「開集合の裏返し」として定義される。

距離空間における直観：極限による閉性

距離空間において、閉集合は「極限」の概念を用いてより直観的に理解できる。
集合 $F$ が閉集合であることは、以下の条件と同値である。

$F$ 内の点からなる任意の収束する点列 $(a_n)$ について、その極限 $x = \lim_{n \to \infty} a_n$ もまた $F$ に含まれる。

すなわち、「極限操作を行っても集合の外にはみ出さない」という性質が「閉じている (closed)」という名称の由来である。
逆に、開集合（例えば開区間 $(0, 1)$）では、点列 $1/n$ が $0$ に収束するが、極限 $0$ は集合に含まれないため、閉じていない。

閉集合の性質（開集合との双対性）

閉集合系は、開集合の公理にド・モルガンの法則を適用することで得られる以下の性質を満たす。

1. 全体と空: 全体集合 $X$ と空集合 $\emptyset$ は閉集合である。
2. 共通部分: 任意個の閉集合の共通部分は閉集合である。
   （例：無限個の閉区間の共通部分もまた閉集合となる）
3. 有限和集合: 有限個の閉集合の和集合は閉集合である。

注意：無限個の和集合について

開集合の場合とは対照的に、無限個の閉集合の和集合は必ずしも閉集合にはならない。

• 例: 実数直線 $\mathbb{R}$ 上の閉区間 $F_n = [1/n, 1 - 1/n]$ （$n \ge 3$）を考える。
  これらの無限和をとると、
  $$\bigcup_{n=3}^{\infty} \left[ \frac{1}{n}, 1 - \frac{1}{n} \right] = (0, 1)$$
  となり、開区間 $(0, 1)$ が生成される。これは閉集合ではない。

閉集合の特徴づけ

閉集合は、補集合が開集合であること以外にも、以下のような位相的概念を用いて特徴づけられる。

• 閉包による定義: 集合 $A$ が閉集合であることと、その閉包と一致すること（$A = \bar{A}$）は同値である。
• 集積点による定義: 集合 $A$ が閉集合であることと、$A$ のすべての集積点（極限点）を含んでいることは同値である。
• 境界による定義: 集合 $A$ が閉集合であることと、$A$ の境界 $\partial A$ をすべて含んでいること（$\partial A \subset A$）は同値である。

具体例

• 閉区間: $\mathbb{R}$ 上の $[a, b]$ は閉集合である。
• 一点集合: 距離空間やハウスドルフ空間（より一般にはフレシェ空間）において、一点集合 $\{x\}$ は閉集合である。
• 離散空間: 離散空間においては、すべての部分集合が開集合であり、したがってすべての部分集合が閉集合でもある。
• ザリスキ位相: 代数幾何学において、多項式のゼロ点集合として定義される代数的集合は（ザリスキ位相における）閉集合である。

関連項目

• 開集合：閉集合の補集合。
• 閉包：その集合を含む最小の閉集合。
• 境界
• 集積点
• コンパクト空間：ハウスドルフ空間内のコンパクト集合は閉集合である。
• 連続写像：閉集合の逆像が閉集合となる写像。