リーマン面上の微分形式

同義語：differential forms on Riemann surfaces

概要

前提知識: リーマン面, 微分形式, 正則関数, 有理型関数, 複素積分

複素構造が1形式を二つの型に分ける

リーマン面 $X$ は実2次元の向き付けられた滑らかな多様体である。しかし、単に実曲面として見るだけでは、正則関数の微分とその複素共役を区別できない。Riemann面の複素構造を使うと、複素数値1形式は $(1,0)$ 型と $(0,1)$ 型に一意に分かれる。この分解が、正則1形式、有理型1形式、調和1形式、留数を一つの枠組みで扱う出発点になる。
正則座標を $z=x+iy$ とする。実1形式 $dx,dy$ から
$$ dz=dx+i\,dy, \qquad d\bar z=dx-i\,dy $$
を作る。また、滑らかな関数に作用する微分作用素を
$$ \frac{\partial}{\partial z} =\frac12\left(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y}\right), \qquad \frac{\partial}{\partial\bar z} =\frac12\left(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}\right) $$
と定める。

Riemann面上の複素微分形式

$X$ 上の複素数値 $k$ 形式とは、複素化した余接束
$$ \bigwedge^kT^*X\otimes_{\mathbb R}\mathbb C $$
の滑らかな切断である。正則座標 $z$ 上では、複素数値1形式は一意に
$$ \omega=a\,dz+b\,d\bar z $$
と書ける。$b=0$ のものを $(1,0)$ 形式、$a=0$ のものを $(0,1)$ 形式と呼ぶ。

実座標で $\omega=f\,dx+g\,dy$ と書いたとき
$$ a=\frac{f-ig}{2}, \qquad b=\frac{f+ig}{2} $$
である。したがって、旧稿の $f\,dx+g\,dy=u\,dz+v\,d\bar z$ という表示は、この型分解そのものである。

座標変換と型の不変性

$(1,0)$ 型や $(0,1)$ 型という条件は座標の選び方に依存してはならない。その根拠は、Riemann面の座標変換が正則であることにある。

型分解は正則座標に依らない

$z$ と $w$ を重なり合う二つの正則座標とする。このとき
$$ dw=\frac{dw}{dz}\,dz, \qquad d\bar w=\overline{\frac{dw}{dz}}\,d\bar z $$
である。したがって $(1,0)$ 形式は座標を変えても $(1,0)$ 型であり、$(0,1)$ 形式は座標を変えても $(0,1)$ 型である。

$w=h(z)$ と書く。$h$ は正則なのでCauchy–Riemann方程式により $\partial h/\partial\bar z=0$ である。全微分を $dz,d\bar z$ で表示すると
$$ dw=dh=\frac{\partial h}{\partial z}\,dz +\frac{\partial h}{\partial\bar z}\,d\bar z =h'(z)\,dz. $$
複素共役をとれば $d\bar w=\overline{h'(z)}\,d\bar z$ を得る。ゆえに $a\,dz$ は
$$ a\frac{dz}{dw}\,dw $$
と書かれ、$d\bar w$ 成分を生じない。$(0,1)$ 形式についても共役な議論で同様である。

この命題では、反正則座標変換を許していない。たとえば $w=\bar z$ なら $dw=d\bar z$ となり、$(1,0)$ 型と $(0,1)$ 型が交換される。Riemann面の複素構造には正則座標系の指定が含まれるので、向きだけを保つ任意の実座標変換で型が保存されるわけではない。

外微分とDolbeault分解

滑らかな複素数値関数 $f$ に対し
$$ df=\frac{\partial f}{\partial z}\,dz +\frac{\partial f}{\partial\bar z}\,d\bar z $$
である。この二成分をそれぞれ $\partial f$ と $\bar\partial f$ と書く。

$\partial$ と $\bar\partial$

局所的に
$$ \partial f=\frac{\partial f}{\partial z}\,dz, \qquad \bar\partial f=\frac{\partial f}{\partial\bar z}\,d\bar z $$
と定める。1形式 $\omega=a\,dz+b\,d\bar z$ に対しては
$$ \partial\omega=\frac{\partial b}{\partial z}\,dz\wedge d\bar z, \qquad \bar\partial\omega=-\frac{\partial a}{\partial\bar z}\,dz\wedge d\bar z. $$
Riemann面上では $d=\partial+\bar\partial$ であり、$\partial^2=\bar\partial^2=0$、$\partial\bar\partial+\bar\partial\partial=0$ が成り立つ。

外微分の局所式

$\omega=a\,dz+b\,d\bar z$ ならば
$$ d\omega= \left(\frac{\partial b}{\partial z} -\frac{\partial a}{\partial\bar z}\right) dz\wedge d\bar z. $$
とくに、$(1,0)$ 形式 $a\,dz$ が閉じていることと $a$ が正則であることは同値である。

$d(dz)=d(d\bar z)=0$ とLeibniz則から
$$ d(a\,dz)=da\wedge dz =\left(a_z\,dz+a_{\bar z}\,d\bar z\right)\wedge dz =-a_{\bar z}\,dz\wedge d\bar z, $$
$$ d(b\,d\bar z)=db\wedge d\bar z =b_z\,dz\wedge d\bar z $$
を得る。二式を足せば主張の局所式になる。$a\,dz$ の場合は $d(a\,dz)=0$ と $a_{\bar z}=0$ が同値であり、後者は $a$ の正則性を表す。

$X$ の複素次元は1なので、$dz\wedge dz=d\bar z\wedge d\bar z=0$ である。したがって複素2形式は局所的に $c\,dz\wedge d\bar z$ と書ける。実座標との関係は
$$ dz\wedge d\bar z=-2i\,dx\wedge dy $$
であり、複素構造は $dx\wedge dy$ が正となる標準向きを定める。

Hodge starと共形構造

正則座標 $z=x+iy$ において、1形式へのHodge starを
$$ \star dx=dy, \qquad \star dy=-dx $$
で定める。この規約では
$$ \star dz=-i\,dz, \qquad \star d\bar z=i\,d\bar z, \qquad \star^2=-1 $$
である。

Hodge starは正則座標に依らない

正則座標 $z$ における
$$ \star(a\,dz+b\,d\bar z)=-ia\,dz+ib\,d\bar z $$
という作用素は、正則座標の選び方に依らない。また、Riemann面の複素構造と整合する計量を共形倍しても、1形式上の $\star$ は変わらない。

正則座標変換 $w=h(z)$ に対して $dw=h'(z)dz$、$d\bar w=\overline{h'(z)}d\bar z$ である。したがって
$$ \star dw=h'(z)\star dz=-i\,dw, \qquad \star d\bar w=\overline{h'(z)}\star d\bar z=i\,d\bar w. $$
よって定義はどの正則座標でも同じ作用素を与える。さらに2次元では、計量を $g$ から $e^{2u}g$ へ共形変換すると、1形式の内積の倍率 $e^{-2u}$ と面積形式の倍率 $e^{2u}$ が相殺する。Hodge starを特徴づける
$$ \alpha\wedge\star\beta=\langle\alpha,\beta\rangle_g\,dV_g $$
の右辺が不変なので、1形式上の $\star$ も不変である。

実1形式 $\omega=f\,dx+g\,dy$ に対しては
$$ \star\omega=-g\,dx+f\,dy. $$
これは旧稿の局所式を閉じ括弧まで補ったものである。

調和1形式

閉形式・余閉形式・調和1形式

実1形式 $\alpha$ が $d\alpha=0$ を満たすとき閉形式、$d(\star\alpha)=0$ を満たすとき余閉形式という。両方を満たすものを調和1形式という。大域的に $\alpha=du$ と書けるものを完全形式、$\alpha=\star du$ と書けるものを余完全形式という。

「閉」と「完全」は同じではない。完全形式は常に閉じているが、逆は大域的には位相に依存する。一方、十分小さい単連結座標円板上ではPoincaréの補題により閉形式は完全である。

調和関数の微分による局所表示

実1形式 $\alpha$ が調和1形式であることと、各点の十分小さい近傍で実調和関数 $u$ を用いて $\alpha=du$ と書けることは同値である。

$\alpha$ が調和なら $d\alpha=0$ なので、座標円板を小さくとればPoincaréの補題から $\alpha=du$ と書ける。$z=x+iy$ に対し
$$ du=u_x\,dx+u_y\,dy, \qquad \star du=-u_y\,dx+u_x\,dy $$
だから
$$ d(\star du)=(u_{xx}+u_{yy})\,dx\wedge dy. $$
$d(\star\alpha)=0$ より $u_{xx}+u_{yy}=0$、すなわち $u$ は調和関数である。逆に $\alpha=du$ で $u$ が調和なら、$d\alpha=d^2u=0$ かつ上式から $d(\star\alpha)=0$ なので $\alpha$ は調和である。

複素数値1形式について「調和」という語を使うときは、実部と虚部がともに調和1形式であるという意味にする。正則1形式の実部と虚部は調和1形式になるが、実調和1形式そのものと正則1形式は同じ型の対象ではない。

正則1形式と有理型1形式

正則1形式

複素数値1形式 $\omega$ が正則1形式であるとは、各正則座標 $z$ 上で
$$ \omega=f(z)\,dz $$
と書け、係数 $f$ が正則であることをいう。同値に、$\omega$ は滑らかな $(1,0)$ 形式で $\bar\partial\omega=0$ を満たす。

座標変換 $w=h(z)$ では係数は
$$ \widetilde f(w)=f(z(w))\frac{dz}{dw} $$
と変換する。したがって「係数関数そのもの」ではなく、$f(z)dz$ の全体が幾何学的対象である。

有理型1形式・位数・留数

$X$ の離散集合を除いて正則で、各例外点 $p$ の座標 $z$（$z(p)=0$）において
$$ \omega=f(z)\,dz, \qquad f(z)=\sum_{n=-m}^{\infty}a_nz^n $$
と有限主要部をもつLaurent展開で書ける1形式を有理型1形式という。$f$ の零点・極の位数を $\operatorname{ord}_p(\omega)$ とし、係数
$$ \operatorname{Res}_p(\omega):=a_{-1} $$
を $p$ における留数という。

位数と留数の座標不変性

有理型1形式の位数と留数は、$p$ を中心とする正則座標の選び方に依らない。

別の座標を $w=h(z)$、$h(0)=0$、$h'(0)\neq0$ とする。$z=k(w)$ と逆変換を書けば
$$ f(z)\,dz=f(k(w))k'(w)\,dw. $$
$k(w)=cw+O(w^2)$、$c\neq0$ だから、$f$ の先頭項が $a_rz^r$ なら右辺の先頭項は $a_rc^{r+1}w^r\,dw$ であり、指数 $r$ は変わらない。よって位数は不変である。
留数について、十分小さい正向き円周 $\gamma$ をとるとLaurent展開の項別積分から
$$ \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma\omega=a_{-1} $$
である。1形式の線積分は座標変換で不変であり、正則座標変換は向きを保つので、右辺はどの正則座標でも同じである。

留数を「係数関数 $f$ の性質」とだけ述べるのは危険である。$f$ は座標変換で $dz/dw$ を掛けられるからである。座標不変なのは有理型1形式 $f(z)dz$ の $z^{-1}dz$ 係数である。

標準文献

Riemann面上の微分形式と積分については For81 §7–8を、有理型1形式・因子・Riemann–Roch理論との関係については For81 §16–17および Mir95 Chapter IIを参照。

留数0と局所原始関数

点 $p$ の穿孔近傍における有理型1形式 $\omega$ が一価有理型関数 $F$ の微分 $dF$ と書けることと、$\operatorname{Res}_p(\omega)=0$ は同値である。

$F=\sum b_nz^n$ なら
$$ dF=\sum n b_n z^{n-1}\,dz $$
であり、$z^{-1}dz$ の係数は現れない。ゆえに $dF$ の留数は0である。
逆に $\omega=\sum a_nz^n\,dz$ で $a_{-1}=0$ とする。このとき
$$ F(z)=\sum_{n\neq-1}\frac{a_n}{n+1}z^{n+1} $$
は同じ穿孔近傍で一価の有理型関数を定め、項別微分により $dF=\omega$ となる。$a_{-1}\neq0$ なら原始関数には $a_{-1}\log z$ が必要となり、一価にはならない。

積分と大域情報

区分的滑らかな道 $\gamma$ と1形式 $\omega$ に対する $\int_\gamma\omega$ は、局所座標表示を道に引き戻して積分することで定まる。閉形式の閉路積分はホモトピーやホモロジーの情報を運び、完全形式の閉路積分は0になる。
有理型1形式では極を囲む小円周の積分が $2\pi i$ 倍の留数になる。コンパクトRiemann面上では全留数の和が0になるが、この大域的な留数定理は複素積分とStokesの定理に依存する。本記事では局所的な留数と座標不変性までを所有する。

例

複素平面の基本形式

$\mathbb C$ 上の $dz$ は正則1形式である。$d\bar z$ は滑らかで閉じた $(0,1)$ 形式だが、$(1,0)$ 型でないので正則1形式ではない。また
$$ z\,d\bar z $$
は $(0,1)$ 形式であり、$d(z\,d\bar z)=dz\wedge d\bar z\neq0$ なので閉形式ですらない。

穿孔平面の $dz/z$

$\mathbb C^\times$ 上の
$$ \omega=\frac{dz}{z} $$
は正則1形式であり閉じている。しかし単位円周での積分が $2\pi i$ なので大域的には完全でない。Riemann球面上の有理型1形式と見ると、$0$ で留数 $1$、$\infty$ で留数 $-1$ をもつ。この例は「閉なら完全」という大域的含意を破る。

複素トーラス

格子 $\Lambda\subset\mathbb C$ による商 $X=\mathbb C/\Lambda$ では、$dz$ は平行移動で不変なので商へ降り、零点をもたない正則1形式を与える。その実部 $dx$ と虚部 $dy$ は調和1形式だが、格子の基本閉路上で非零の周期をもつため一般には完全でない。

反例と用語の境界

滑らかな実1形式と正則1形式は別物

実1形式 $x\,dy$ は完全に正当な滑らかな微分形式だが、複素化すると
$$ x\,dy=\frac{x}{2i}(dz-d\bar z) $$
となり両方の型を含む。したがって「Riemann面上の微分形式なら正則1形式である」という含意は偽である。

正則1形式と有理型関数

正則1形式 $f(z)dz$ の係数 $f$ は座標に依存し、正則関数のようにその値を点ごとに比較する対象ではない。正則1形式は標準束の切断であり、非零有理型1形式の因子が標準因子を定める。一方、二つの有理型1形式 $\omega,\eta$ の商 $\omega/\eta$ は座標変換因子が消えるので有理型関数になる。

調和・正則・有理型は同義語ではない

調和1形式は $d$ と $\star$ で定まる実微分幾何的条件、正則1形式は $(1,0)$ 型と正則性の条件、有理型1形式は極を許した正則1形式である。正則1形式の実部と虚部は調和するが、三つの語は同じ概念を言い換えたものではない。

学習の道筋

まず微分形式で外積、外微分、引き戻しを学び、リーマン面の正則座標によって $(1,0)$・$(0,1)$ 分解が生じることを確認する。次に正則1形式と有理型1形式の零点・極を零点の位数と因子で記録する。積分と留数は複素積分へ、大域的な正則1形式の次元は Riemann–Rochの定理へ、非零有理型1形式の因子類は標準因子へつながる。