楕円曲面

1．束の 2 つの相異なる元 $C_s,C_t$ は $C_0$ と $C_\infty$ の 1 次結合を取り替えたものなので、スキームとしての交わり $C_s\cap C_t$ は $C_0\cap C_\infty$ に等しく、被約な $9$ 点 $p_1,\dots,p_9$ である。とくに $\mathbb{P}^2\setminus\{p_1,\dots,p_9\}$ の各点はちょうど 1 つの $C_t$ に乗り、そこでは $[G_0:G_\infty]$ は射である。
点 $p_i$ を固定し、$p_i$ で $0$ にならない 1 次形式 $\ell$ をとって $u:=G_0/\ell^3$、$v:=G_\infty/\ell^3$ とおく。$C_0$ と $C_\infty$ が $p_i$ で横断的に交わるので、$du,dv$ は $p_i$ で 1 次独立であり、$u,v$ は $p_i$ の局所座標である。$p_i$ のブローアップは、この座標で $v=us$ の座標近傍と $u=vs'$ の座標近傍で覆われ、それぞれの上で $[G_0:G_\infty]=[u:v]=[1:s]=[s':1]$ は射である。よって $[G_0:G_\infty]$ は射 $f\colon X\to\mathbb{P}^1$ に延び、$E_i$ の上では $f$ は傾き $s$ を与える同型 $E_i\to\mathbb{P}^1$ である。
$\mu G_0-\lambda G_\infty$ は $p_i$ で微分 $\mu\,du-\lambda\,dv\ne0$ をもつので、束のどの元 $C_t$ も $p_i$ で滑らかで、その重複度は $1$ である。したがって $\pi^*C_t=\tilde C_t+\sum_iE_i$（$\tilde C_t$ は固有変換）であり、$\tilde C_t\to C_t$ は同型である（滑らかな点での爆発は曲線の固有変換を変えない）。一方 $f^{-1}(t)$ は $\tilde C_t$ に等しいから、$f^*(t)=\tilde C_t$ である（$f^*(t)$ の局所方程式は $p_i$ の外で $\mu G_0-\lambda G_\infty$ の比、$E_i$ の近くで $s-s_0$ の形で、どちらも被約な $\tilde C_t$ を定める）。
$C_0$ が滑らかなので、$t$ が $\mathbb{P}^1$ の空でない開集合を動くとき $C_t$ は滑らかな平面 3 次曲線、すなわち種数 $1$ の曲線である（曲面の交点形式とRiemann–Rochの定理 の系「随伴公式」から $2g-2=9-9=0$）。$f$ は全射である。$f_*\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}$ を示す。$f$ の Stein分解 を $X\xrightarrow{f'}C'\xrightarrow{q}\mathbb{P}^1$ とすると、$C'$ は正規な整曲線で $q$ は有限である。$E_1$ が与える切断 $\sigma\colon\mathbb{P}^1\to X$（$f\circ\sigma=\mathrm{id}$）から $q\circ(f'\circ\sigma)=\mathrm{id}$ なので、$q$ は次数 $1$ の有限射で、正規な曲線の間の双有理な有限射だから同型である。よって $f_*\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}$ で、$f$ は楕円ファイブレーションである。
2．$f^*(t)=\tilde C_t=\pi^*C_t-\sum_iE_i$ で $C_t\sim3H$ だから $F=3\pi^*H-\sum_iE_i$ である。爆発の標準因子の公式（Har77 V.3.3）により $K_X=\pi^*K_{\mathbb{P}^2}+\sum_iE_i=-3\pi^*H+\sum_iE_i=-F$ である。
3．垂直な既約曲線 $Z$ について $K_X\cdot Z=-F\cdot Z=0$ である。$(-1)$ 曲線 $Z$ は随伴公式により $K_X\cdot Z=-2-Z^2=-1$ をみたすので、ファイバーに $(-1)$ 曲線はない。$E_i$ が切断の像であることは 1 で示した。
4．爆発で $H^i(\mathcal{O})$ は変わらない（Har77 V.3.4）ので $\chi(\mathcal{O}_X)=\chi(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2})=1$ である。$K_X^2=F^2=0$ である。$\square$

$M_{ij}:=C_i\cdot C_j$ とおく。$i\ne j$ なら $C_i$ と $C_j$ は共通成分をもたないので $M_{ij}\ge0$ であり、$M_{ij}>0$ となるのは $C_i\cap C_j\ne\emptyset$ のときに限る（交わりの点ごとの局所交点数は正。Har77 V.1.4）。垂直な曲線との交点数は $0$ なので、各 $i$ について
$$ \sum_{j=1}^rM_{ij}a_j=f^*(p)\cdot C_i=0 $$
である。$y_i:=x_i/a_i$ とおく。上の式に $a_iy_i^2$ を掛けて $i$ について足すと $\sum_{i,j}a_ia_jM_{ij}y_i^2=0$ なので、
$$ D^2=\sum_{i,j}a_ia_jM_{ij}y_iy_j=\sum_{i,j}a_ia_jM_{ij}\Bigl(y_iy_j-\frac{y_i^2+y_j^2}{2}\Bigr)=-\frac12\sum_{i\ne j}a_ia_jM_{ij}(y_i-y_j)^2 $$
となる（2 つ目の等号では、引いた項 $\sum_{i,j}a_ia_jM_{ij}y_i^2$ が $0$ であることと $M_{ij}=M_{ji}$ を使った。$i=j$ の項は $y_i-y_j=0$ で消える）。$a_ia_jM_{ij}\ge0$ なので $D^2\le0$ である。
等号は、$M_{ij}>0$ となるすべての組で $y_i=y_j$ のときに成り立つ。成分を頂点とし、交わる成分の組を辺とするグラフを考える。このグラフが連結でなければ、成分を 2 つの空でない組に分けて、組をまたぐ成分が交わらないようにでき、ファイバーの台 $f^{-1}(p)$ が 2 つの空でない互いに素な閉集合の和になる。ファイバーは連結（重複ファイバー の命題「ファイバーの連結性と交点数」の 1）なので、グラフは連結である。したがって等号はすべての $y_i$ が等しいとき、すなわち $D=y_1\,f^*(p)$ のときに限る。逆に $f^*(p)^2=0$ である。
$r\ge2$ のとき、$D=C_i$ は $f^*(p)$ の有理数倍でない（$f^*(p)$ はほかの成分 $C_j$ を正の係数で含むが $C_i$ は含まない）ので、$C_i^2<0$ である。$\square$

一般のファイバー $F_0$ は滑らかな種数 $1$ の曲線で $F_0^2=0$ だから、随伴公式（曲面の交点形式とRiemann–Rochの定理 の系「随伴公式」）により $0=2\cdot1-2=F_0^2+K_X\cdot F_0=K_X\cdot F_0$ である。すべてのファイバーは数値的に同値なので、$K_X\cdot f^*(p)=0$ である。
各成分 $C_i$ について $K_X\cdot C_i\ge0$ を示す。随伴公式により
$$ K_X\cdot C_i=2p_a(C_i)-2-C_i^2 $$
であり、lem-es-zariski により $C_i^2\le-1$ である。$p_a(C_i)\ge1$ なら $K_X\cdot C_i\ge-C_i^2\ge1$ である。$p_a(C_i)=0$ なら、既約曲線の算術種数が $0$ であることから $C_i\cong\mathbb{P}^1$ である（曲面の交点形式とRiemann–Rochの定理 の命題「算術種数と正規化の種数」）。$C_i^2=-1$ なら $C_i$ はファイバーに含まれる $(-1)$ 曲線となり、相対極小に反するので、$C_i^2\le-2$ で $K_X\cdot C_i=-2-C_i^2\ge0$ である。いずれの場合も $K_X\cdot C_i\ge0$ であり、等号は $p_a(C_i)=0$ かつ $C_i^2=-2$ のときに限る。
一方
$$ 0=K_X\cdot f^*(p)=\sum_{i=1}^ra_i\,(K_X\cdot C_i) $$
で、$a_i\ge1$、各項は $0$ 以上だから、すべての $i$ で $K_X\cdot C_i=0$ である。したがって各 $C_i$ は射影直線で $C_i^2=-2$ である。$\square$

1．$C$ 上の因子 $D$ について、$f^*(D)$ は $\deg D$ 本のファイバーの和と数値的に同値なので $f^*(D)\equiv(\deg D)F$ である。$m_iF_i$ はファイバーなので $F_i\equiv\frac1{m_i}F$ である。標準束公式の両辺の数値的な類をとると、$\deg(K_C+L)=2g-2+\chi(\mathcal{O}_X)$ だから
$$ K_X\equiv\Bigl(2g-2+\chi(\mathcal{O}_X)+\sum_i\frac{m_i-1}{m_i}\Bigr)F=\delta(f)F $$
である。$F^2=0$ より $K_X^2=\delta(f)^2F^2=0$ である。
2．Noetherの公式 $12\chi(\mathcal{O}_X)=K_X^2+e(X)$ と 1 から $e(X)=12\chi(\mathcal{O}_X)$ である。一般のファイバー $X_{\mathrm{gen}}$ についてのファイブレーションの Euler 数の公式
$$ e(X)=e(X_{\mathrm{gen}})\,e(C)+\sum_{s\in C}\bigl(e(X_s)-e(X_{\mathrm{gen}})\bigr) $$
（BHPV04 III.11.4、p. 118。この記事では証明しない）に $e(X_{\mathrm{gen}})=0$（トーラス）を入れると $e(X)=\sum_se(X_s)$ を得る。
3．thm-es-kodaira の表で Euler 数はすべて $0$ 以上なので、2 から $\chi(\mathcal{O}_X)\ge0$ である。等号は、すべてのファイバーの Euler 数が $0$ のときに限り、表で Euler 数が $0$ の型は $\mathrm{I}_0$ と ${}_m\mathrm{I}_0$ だけである。
4．$X$ は射影的なので豊富な因子 $H$ がとれ、$F\cdot H>0$ である（$F$ は $0$ でない有効因子の類）。$\omega_X^{\otimes n}$ が $0$ でない切断をもてば $nK_X$ は有効因子に線形同値で、$nK_X\cdot H\ge0$ である。一方 1 から $nK_X\cdot H=n\,\delta(f)\,F\cdot H<0$ なので矛盾する。$\square$