正則埋め込みの持上げ

前提知識: 正則埋め込み、正則列、平坦加群、準連接層、Čechコホモロジー

方程式の係数を無限小に動かすと、同じ閉ファイバーをもつ部分スキームが得られる。しかし、方程式を持ち上げただけで商が平坦になるとは限らず、局所で得た部分スキームが大域で貼り合うとも限らない。正則列で切られた平坦な部分族では、最初の問題は閉ファイバーの正則性で解決できる。残る問題は、二つの持上げの差を法層の切断として測り、その差が貼り合うかを調べることである。
この記事では、環境となるスキームを固定して、そこに含まれる閉部分スキームだけを動かす。局所の自由度は余法加群から平方零の核への準同型、大域の障害はその準同型の層の一次コホモロジーに現れる。一次変形を分類する Hilbertスキーム の定理「1 次の埋め込まれた変形と法層」を、小さい拡大に沿う持上げの問題へ進めた形である。

固定するデータと持上げ

ここでの「等しい」は、固定した $X'$ の中のイデアル層が等しいという意味である。商スキームの抽象的な同型だけで同一視せず、$X'$ の自己同型によって一方を他方へ動かすこともしない。この区別を忘れると、持上げの差を測る空間が変わる。
持上げの条件は次の図式で表せる。
$$ \xymatrix{ Z \ar[r] \ar[d] & Z' \ar[r] \ar[d] & X' \ar[d]\\ \operatorname{Spec}R \ar[r] & \operatorname{Spec}R' \ar@{=}[r] & \operatorname{Spec}R' } $$
左の四角形がCartesianであり、$Z'\to X'$ は閉埋め込みである。指定した還元との一致は
$$ Z'\times_{\operatorname{Spec}R'}\operatorname{Spec}R \simeq Z'\times_{X'}X=Z $$
と表される。最初の同型は $X=X'\times_{\operatorname{Spec}R'}\operatorname{Spec}R$ による自然な同型であり、最後の等号は $X$ の閉部分スキームとしての同一視を表す。平方零の厚みでは $X'$ と $X$、また $Z'$ と $Z$ の位相空間はそれぞれ同じであるが、構造層は異なる。
仮定 (R1)–(R3) の下では $Z\hookrightarrow X$ 自身も正則埋め込みであり、余法層
$$ \mathcal E=\mathcal I/\mathcal I^2 $$
は有限階数局所自由である。これは 正則埋め込み の「ファイバーによる判定」を使う。実際、局所環で $Z$ の平坦性からファイバー上のイデアルを同定し、閉ファイバーの正則列の生成元を持ち上げると、中山の補題によりもとのイデアルを生成する。正則列 の定理「閉ファイバーの正則列の持上げ」により、持ち上げた列は正則で、各初期商も基礎環上平坦となる。
以下で使うのはこのNoether・Artin基礎の形である。一般の基礎環での分離性や完備化を、この議論から付け加えることはしない。閉ファイバーと平坦性を結ぶ一般の局所的な言明は Mat89 Theorem 22.5直後の系（p.177）を参照。

局所では方程式を持ち上げられる

局所計算では $X'=\operatorname{Spec}S'$、$S=S'/JS'$、$Z=\operatorname{Spec}B$、$B=S/I$ と書く。必要に応じて点の近傍を小さくし、
$$ I=(f_1,\ldots,f_r) $$
とする。各 $f_i$ の閉ファイバーへの像が正則列であり、$S'$ は $R'$ 上平坦とする。このような近傍は上のファイバー判定から選べる。$f_i$ の $S'$ への持上げを $F_i$ と書く。

この命題だけでは、持上げが一意とはいえない。例えば $F_i$ に $JS'$ の元を加えても同じ還元になる。何が同じ持上げを与え、何が本当に異なる持上げを与えるのかを、イデアルの交わりで判定する。

差が値を取る加群

以下、この共通の部分加群を $K=J\widetilde I$ と書き、
$$ M=JS'/K=J\otimes_R B,\qquad N=I/I^2,\qquad T=\operatorname{Hom}_B(N,M) $$
とおく。$M$ は単なる抽象的な同型類ではなく、固定した環境と核 $J$ の掛算から自然に与えられる加群である。各持上げの商にある $JB_L$ も、この同じ $M$ と同定する。
この準備は、平坦性が何を保証しているかも示している。還元のイデアルが $I$ と同じでも、$L\cap JS'$ が $JL$ より大きければ、平方零の方向に余分な関係式がある。そのときは $M$ を核として保つ持上げにはならず、以下の差の分類もそのまま使えない。

局所の持上げは法加群のトーサーになる

「トーサー」は、差を取れるが、原点は指定されていない集合を表す。$L_0$ を選ぶと $T$ と同一視できるが、基準を $L_1$ に替えると座標が平行移動する。初めから自明な持上げが指定される分裂一次変形とは異なり、小さい拡大の問題には自然な基準の持上げがないことがある。
生成元による別の見方も有用である。二つの補正 $(h_i)$、$(h_i')$ の差が $K=JL_0$ に入るなら、その差は、係数が $JS'$ に入る行列 $H$ を用いて $H(F_i)$ と書ける。$H^2=0$ なので $\operatorname{Id}-H$ は逆行列 $\operatorname{Id}+H$ をもち、生成列を変えるだけで同じイデアルになる。差の判定は、方程式そのものが等しいことを要求しているのではない。

三次の厚みでの計算

この例の $x^2-t$ は、$R$ 上で零になっている関係式であり、その $R'$ への持上げを比較している。閉ファイバー $k[x]/(x^2)$ の任意の変形を改めて分類しているのではない。先に与えた二次までの族を固定したうえで、三次の厚みに進める自由度が二つある、という計算である。
同じ自由度は、補正項を任意の多項式にした場合にも得られる。$t^2q(x)$ は $M$ の中では $q(x)$ を $x^2$ で割った余りだけを覚えている。例えば $t^2x^2$ を方程式に加えても
$$ t^2x^2=t^2(x^2-t) $$
であり、$t^3=0$ だから基準イデアルの $J$ 倍に入る。これは零差であって、新しい持上げ方向ではない。

局所の差を貼り合わせる

以下では $X'$ がさらに分離的であるとする。閉部分スキーム $Z$ もNoetherかつ分離的である。$Z$ 上に
$$ \mathcal M=J\otimes_R\mathcal O_Z,\qquad \mathcal F=\mathcal H om_{\mathcal O_Z}(\mathcal I/\mathcal I^2,\mathcal M) $$
を置く。$\mathcal E=\mathcal I/\mathcal I^2$ は有限階数局所自由なので、$\mathcal F=\mathcal E^\vee\otimes_{\mathcal O_Z}\mathcal M$ は準連接層である。$J$ が $k$ ベクトル空間であることから $\mathcal M$ は閉ファイバーに台をもち、$\mathcal F$ も同様である。
局所の定理は、各アフィン近傍での持上げの差を $\mathcal F$ の切断と同定している。局所化との両立により、この差はさらに小さい開集合に制限しても変わらず、近傍を重ねて使うことができる。$X'$ のアフィン開被覆 $(V_\alpha')$ を、$Z$ の近くで上述の方程式が選べるように取り、$U_\alpha=Z\cap V_\alpha'$ とする。$Z$ と交わらないところでは空な閉部分スキームが唯一の持上げであるから、その部分も含めて考える。
各 $V_\alpha'$ に局所持上げ $Z_\alpha'$ を一つ選ぶ。$U_{\alpha\beta}=U_\alpha\cap U_\beta$ 上で
$$ c_{\alpha\beta}=d(Z_\alpha',Z_\beta') \in\mathcal F(U_{\alpha\beta}) $$
とおく。ここで差を取るのは、固定した $V_\alpha'\cap V_\beta'$ における二つのイデアル層である。局所定理をさらに小さいアフィン開集合で適用し、その自然性を使って一つの切断に貼り合わせる。

この証明で貼り合わせたのは、同型を選んだ抽象的なスキームではなく、同じ $X'$ の中のイデアル層である。差を消すとイデアル層そのものが等しくなるため、その後の貼合せには新たな三重共通部分の同型の選択は要らない。このことが、ここでの障害が一次のČechコホモロジーに現れる理由である。

通常の一次コホモロジーとの比較

定理の貼合せ判定は、まず指定した被覆の $\check H^1(\mathfrak U,\mathcal F)$ で成立する。これを通常の 層コホモロジー $H^1(Z,\mathcal F)$ と同一視する際には、比較定理の仮定も確認する必要がある。
いま $X'$ はNoetherかつ分離的であり、$U_\alpha$ は閉部分スキームとアフィン開集合の共通部分なのでアフィンである。分離性により有限共通部分 $U_{\alpha_0\cdots\alpha_q}$ もアフィンである。$\mathcal F$ は準連接なので、各有限共通部分上でその高次コホモロジーは消える。このアフィン被覆の状況では、Har77 III, Theorem 4.5（p.222）により
$$ \check H^1(\mathfrak U,\mathcal F) \simeq H^1(Z,\mathcal F) $$
が自然に成り立つ。したがってこの同型で移した
$$ o(Z,X')\in H^1(Z,\mathcal F) $$
を持上げの障害類と呼べる。選択した二つの被覆は共通細分で比較でき、同じ層コホモロジー類を与える。
ここでは、アフィン上の準連接層の非輪状性とČech・層コホモロジーの比較定理を基盤として使っている。これらの一般定理を、イデアルの差の計算から証明したとはしていない。Čech解像 の「項ごとの非輪状性による比較」も、層としての解像の完全性だけで大域切断後の高次コホモロジーが消えるとは述べていない。あちらの一般比較を直接適用する場合には解像の各項の $\Gamma$-非輪状性が必要であり、ここでは上記のNoether・分離的・準連接・アフィン被覆という具体的な比較定理で必要な条件を確保している。
特に $Z$ 自身がアフィンなら $H^1(Z,\mathcal F)=0$ なので、大域的な持上げが存在する。ただし、この結論は局所の持上げが存在するという本記事の仮定をすべて保ったうえでのものである。「任意のアフィン閉部分スキームは任意の方程式の持上げで平坦になる」という意味ではない。
また $H^1(Z,\mathcal F)\ne0$ であっても、指定した $Z$ と $X'$ に対して得た類が零なら持上げは存在する。障害を入れる群が非零であることと、障害類が非零であることは別である。コホモロジー群の次元だけから、持ち上がらない族の存在を結論してはいけない。

仮定を外すと何が変わるか

この反例は、$I$ に平坦な持上げが一つもないという例ではない。自明な持上げ $IR'[x,y]$ の商は $R'\otimes_k k[x,y]/I$ なので平坦である。破れているのは、任意に持ち上げた生成元の商まで平坦になるという含意であり、大域障害類の非零例とは区別する。

一次変形と抽象的変形との位置関係

局所の分類では、方程式が変わっても余法加群 $I/I^2$ はもとの $Z$ に属する固定データである。補正は核 $J$ にしか値を取らないため、二つの補正の積は消え、差は加法的になる。この二つの性質が、局所の分類を線形なHomにし、大域の貼合せを可換群のČechコホモロジーにしている。
分裂一次拡大 $k[\varepsilon]\to k$ と自明な環境 $X'=X_0\times_k\operatorname{Spec}k[\varepsilon]$ を使う場合は、基準として自明な閉部分族を選べる。$J=\varepsilon k$ を $k$ と同定すると、本記事の差を測る層は通常の法層
$$ \mathcal N_{Z_0/X_0} =\mathcal H om_{\mathcal O_{Z_0}} (\mathcal I_0/\mathcal I_0^2,\mathcal O_{Z_0}) $$
となる。一次変形の分類そのものは Hilbertスキーム の定理「1 次の埋め込まれた変形と法層」に譲る。ここでは、先にある $R$ 上の部分族と、分裂するとは限らない固定環境 $X'$ を保って次の厚みに進める点が加わっている。
他方、無限小変形 の「小さい拡大に沿った持上げの障害類」は、滑らかなスキームの抽象的変形を扱い、障害を接層の二次コホモロジーに置く。そこで貼るのは局所持上げの間の同型であり、その同型の三重共通部分でのずれを調べる。本記事では固定環境内のイデアルを貼るので、重なりでの差を一次コサイクルにまとめる。二つの障害群を条件なしに同じものとはしない。

また、正則埋め込みの仮定から局所で法加群が自由になっても、大域で一組の方程式を選べるとは限らない。局所の基底が重なりで変わることは、余法層というベクトル束の遷移関数に記録される。本記事で使った差は基底によらない写像として定義されているので、その変化を許したまま大域化できる。大域で一つの正則列を先に固定することは要求していない。

関連項目

• 前提: 正則列、正則埋め込み、平坦加群、準連接層
• 比較: Hilbertスキーム、無限小変形、法束
• 大域化: Čechコホモロジー、Čech解像、層コホモロジー、トーサー