局所Picard群
概要
局所Picard群（local Picard group）とは、ネーター局所環 $A$ のスペクトルから閉点を除いた穴あきスペクトル $U$ の Picard 群 $\operatorname{Pic}(U)$ のことである。$A$ が次元 $2$ の正規局所環（正規曲面特異点）なら $U$ は正則で、$\operatorname{Pic}(U)$ は $A$ の因子類群と一致し、$A$ が一意分解整域であるときに限り $0$ になる。$A$ が Hensel 的で剰余体が分離閉なら、可逆な $n$ について $n$ 捩れは $H^1(U,\mu_n)$ と一致する。解消の例外曲線の交叉行列 $M$ を使うと、局所 Picard スキームの成分群は位数 $|\det M|$ の有限群で、判別式形式により自己双対になる。$A_n$ 型の特異点では $\mathbb Z/(n+1)$ である。
前提知識: Picard群, 因子類群, 正規環, 局所環, エタールコホモロジー
局所Picard群とは
ネーター局所環 $A$ のスペクトル $X=\operatorname{Spec}A$ から閉点を除いた開集合 $U$ を、$A$ の穴あきスペクトルという。$U$ の Picard 群 $\operatorname{Pic}(U)$ を $A$ の局所Picard群と呼ぶ。局所環のスペクトルそのものの Picard 群は常に $0$ なので、特異点のまわりの可逆層の情報は、閉点を除いた $U$ の上に現れる。
本記事では主に、次元 $2$ の正規局所環、すなわち正規曲面特異点の場合を扱う。このとき局所 Picard 群は $A$ の因子類群と一致し、$A$ が一意分解整域からどれだけ離れているかを測る。さらに剰余体が代数閉で $A$ が Hensel 的なら、その $n$ 捩れ部分は $U$ の $\mathbb Z/n$ 被覆を分類し、特異点の解消の例外曲線の交叉行列と結びつく。
なお、ここでいう局所 Picard 群は、スキームの族に対する相対 Picard 関手（Picard スキーム）とは別のものである。
定義
$(A,\mathfrak m,k)$ をネーター局所環、$X=\operatorname{Spec}A$、$x=\{\mathfrak m\}$ を閉点とし、$U:=X\setminus\{x\}$ とおく。$U$ 上の可逆層の同型類がテンソル積についてなす群
$$
\operatorname{Pic}(U)
$$
を $A$ の局所Picard群という。$\dim A=2$ で $A$ が正規であるとき、$A$ を（抽象的な）正規曲面特異点と呼ぶ。
$\operatorname{Pic}(X)=0$ である（局所環上の有限生成射影加群は自由）。したがって $\operatorname{Pic}(X)\to\operatorname{Pic}(U)$ は零写像であり、$\operatorname{Pic}(U)$ の非零元は、$U$ 上の可逆層で $X$ 全体の可逆層に延びないものを表す。
因子類群との一致
以下この節では、$A$ を次元 $2$ の正規ネーター局所整域とする。
$U$ は正則スキームであり、$\Gamma(U,\mathcal O_U)=A$ である。
$U$ の点は $\mathfrak m$ 以外の素イデアル $\mathfrak p$ であり、$\dim A=2$ なので $\operatorname{ht}\mathfrak p\leq1$ である。$\mathfrak p=0$ なら $A_{\mathfrak p}$ は体、$\operatorname{ht}\mathfrak p=1$ なら、正規ネーター整域の高さ $1$ の素イデアルでの局所化は離散付値環である。どちらも正則局所環なので、$U$ は正則である。
次に、正規ネーター整域 $A$ は、高さ $1$ の素イデアル全体での局所化の共通部分 $A=\bigcap_{\operatorname{ht}\mathfrak p=1}A_{\mathfrak p}$ に等しい（Mat86、Krull 環の性質）。$U$ はこれらの $\mathfrak p$ をすべて含むので、$A\subseteq\Gamma(U,\mathcal O_U)\subseteq\bigcap_{\operatorname{ht}\mathfrak p=1}A_{\mathfrak p}=A$ となる（$U$ は整なので、切断は関数体の元として比べられる）。
$A$ を次元 $2$ の正規ネーター局所整域とすると、自然な同型
$$
\operatorname{Pic}(U)\cong\operatorname{Cl}(U)\cong\operatorname{Cl}(A)
$$
がある。ここで $\operatorname{Cl}$ は Weil 因子の類群である。とくに $\operatorname{Pic}(U)=0$ であることと、$A$ が一意分解整域であることは同値である。
$X=\operatorname{Spec}A$ はネーター・整・分離的で、余次元 $1$ で正則（$A$ は正規）なので、Weil 因子の類群 $\operatorname{Cl}(X)=\operatorname{Cl}(A)$ が定まる。閉集合 $\{x\}$ は余次元 $2$ なので、$X$ の素因子と $U$ の素因子は制限によって一対一に対応し、主因子も対応するから $\operatorname{Cl}(X)\cong\operatorname{Cl}(U)$ である（Har77 第 II 章 §6）。$U$ は正則（前の補題）なので各局所環は一意分解整域であり、ネーター・整・分離的で局所分解的なスキームでは Cartier 因子と Weil 因子が一致して $\operatorname{Cl}(U)\cong\operatorname{Pic}(U)$ となる（Har77 第 II 章 §6）。最後の主張は、ネーター整域が一意分解整域であることと類群が $0$ であることの同値性（Har77 第 II 章 §6）による。
$A$ が次元 $2$ の正則局所環（たとえば体 $k$ 上の $k[\![x,y]\!]$ や $k[x,y]_{(x,y)}$）なら、正則局所環は一意分解整域である（Auslander–Buchsbaum の定理。Mat86）ので、$\operatorname{Pic}(U)=0$ である。局所 Picard 群が $0$ でないことは、特異点がある（あるいは少なくとも一意分解性が壊れている）ことの表れである。
被覆との関係
$U$ の $\mathbb Z/n$ 被覆（位数 $n$ の巡回群を構造群とするエタール捩子）は、局所 Picard 群の $n$ 捩れと結びつく。
$A$ を次元 $2$ の正規ネーター局所整域で、Hensel 的かつ剰余体 $k$ が分離閉なもの（たとえば剰余体が代数閉な完備局所環）とし、$n$ を $A$ で可逆な正の整数とする。このとき
$$
H^1(U,\mu_n)\cong\operatorname{Pic}(U)[n]
$$
であり、Kummer 完全列から完全列
$$
0\to\operatorname{Pic}(U)/n\to H^2(U,\mu_n)\to\operatorname{Br}'(U)[n]\to0
$$
も得られる。ここで $\operatorname{Br}'(U)=H^2(U_{\mathrm{et}},\mathbb G_m)$ である。さらに $A$ は $1$ の原始 $n$ 乗根を含むので $\mu_n\cong\mathbb Z/n$ であり、$\operatorname{Pic}(U)[n]$ は（$1$ の冪根の選び方に依存する同型を通じて）$H^1(U,\mathbb Z/n)=\operatorname{Hom}(\pi_1(U),\mathbb Z/n)$ と同型である。
$n$ は $U$ 上で可逆なので、Kummer完全列 $1\to\mu_n\to\mathbb G_m\xrightarrow{n}\mathbb G_m\to1$ は $U_{\mathrm{et}}$ 上完全であり、$H^1(U_{\mathrm{et}},\mathbb G_m)=\operatorname{Pic}(U)$ を使うと、長完全列から
$$
0\to\Gamma(U,\mathcal O_U)^\times/n\to H^1(U,\mu_n)\to\operatorname{Pic}(U)[n]\to0,\qquad
0\to\operatorname{Pic}(U)/n\to H^2(U,\mu_n)\to\operatorname{Br}'(U)[n]\to0
$$
が得られる。補題「穴あきスペクトルの正則性」により $\Gamma(U,\mathcal O_U)^\times=A^\times$ である。
$A^\times$ が $n$ 可除であることを示す。$a\in A^\times$ の剰余類 $\bar a\in k^\times$ について、$n$ は $k$ で可逆なので多項式 $T^n-\bar a$ は分離的であり、$k$ は分離閉なので $k$ に根 $\bar b$ をもつ。$\bar b$ は $T^n-\bar a$ の単根なので、Hensel 性により $T^n-a$ の根 $b\in A$ で $\bar b$ に持ち上がるものがあり、$b$ は単元である。よって $a=b^n$ で、$A^\times/n=0$ となり、最初の同型を得る。
同様に、$T^n-1$ の単根として $k$ の $1$ の原始 $n$ 乗根が $A$ に持ち上がるので、$A$ は $1$ の原始 $n$ 乗根を含み、$\mu_n$ は $U$ 上の定数層 $\mathbb Z/n$ と同型である。$U$ は整なので連結であり、$H^1(U,\mathbb Z/n)=\operatorname{Hom}_{\mathrm{cont}}(\pi_1(U),\mathbb Z/n)$ である（エタール基本群）。
仮定のうち「剰余体が分離閉」と「Hensel 的」はどちらも外せない（反例の節）。
$k$ を標数 $2$ でない代数閉体、$B=k[\![s,t]\!]$ とし、$\sigma(s,t)=(-s,-t)$ で位数 $2$ の群 $\{1,\sigma\}$ を作用させる。不変環は
$$
A=B^{\sigma}=k[\![s^2,st,t^2]\!]\cong k[\![x,y,z]\!]/(xz-y^2)
$$
であり、これは次元 $2$ の正規な完備局所環である（有限群の不変環は正規環の正規性を受け継ぐ）。$\sigma$ の固定点のなす閉部分スキームは $B$ のイデアル $(2s,2t)=(s,t)$ で定まるので、$\sigma$ は $B$ の穴あきスペクトル $U_B$ に自由に作用し、商写像 $U_B\to U$ は $\mathbb Z/2$ を構造群とするエタール捩子になる（自由な有限群作用の商がエタール捩子を与えることは標準的な事実として用いる）。$U_B$ は整スキームの開集合なので連結であり、連結な $\mathbb Z/2$ 捩子は自明でない。よって $H^1(U,\mathbb Z/2)\neq0$ であり、命題「Kummer列による記述」により $\operatorname{Pic}(U)[2]\neq0$、したがって $\operatorname{Cl}(A)\neq0$ である。
実際には $\operatorname{Cl}(A)\cong\mathbb Z/2$ であることが知られている（下の「$A_n$ 型の特異点」の $n=1$ の場合）。
特異点解消による構造
この節では次を仮定する。$A$ は次元 $2$ の正規な完備局所環で、剰余体 $k$ は代数閉、$k$ は $A$ の部分体に持ち上がっているとする（Cohen の構造定理により、剰余体と同じ標数の完備局所環ではこれは自動的に成り立つ）。さらに、正則なスキーム $\tilde X$ と固有双有理射 $\pi:\tilde X\to X$ で、$U$ の上で同型なもの（解消）が存在するとし、$\pi^{-1}(x)_{\mathrm{red}}$ の既約成分を $C_1,\dots,C_r$ とする。交叉行列を
$$
M:=(C_i\cdot C_j)_{1\leq i,j\leq r}
$$
とおく。$M$ は整数を成分とする対称行列である。以下の三つの事実を、証明せずに引用として用いる（本記事では証明しない）。
- (E1) $M$ は負定値である（Mumford。Mum61）。
- (E2) $k$ 上滑らかで有限型な可換群スキーム $\operatorname{Pic}_U$ が標準的に存在し、$\operatorname{Pic}(U)\cong\operatorname{Pic}_U(k)$ となる（局所 Picard スキーム。Grothendieck の SGA 2 第 XIII 章、および Bou78 による）。
- (E3) $\operatorname{Pic}_U$ の単位元の連結成分を $\operatorname{Pic}^0_U$、$NS_U:=\operatorname{Pic}_U/\operatorname{Pic}^0_U$ とおくと、$NS_U(k)$ は $M$ が定める写像 $\mathbb Z^r\to\mathbb Z^r$ の余核と標準的に同型である（Grothendieck の「Brauer 群 III」が SGA 2 第 XIII 章を引いて述べる形）。
$\operatorname{Pic}(U)^0:=\operatorname{Pic}^0_U(k)$、$NS(U):=NS_U(k)$ と書く。
(E2) を認めると、完全列
$$
0\to\operatorname{Pic}(U)^0\to\operatorname{Pic}(U)\to NS(U)\to0
$$
がある。
群スキームの完全列 $1\to\operatorname{Pic}^0_U\to\operatorname{Pic}_U\to NS_U\to1$ の $k$ 点をとる。左側の完全性は $k$ 点をとる関手が左完全であることによる。右側の全射性：$NS_U$ は $\operatorname{Pic}_U$ の連結成分の集合を表すエタール群スキームで、$k$ は代数閉なので $NS_U(k)$ は連結成分の集合そのものである。有限型な $k$ スキームの各連結成分は空でなく、代数閉体 $k$ 上では $k$ 点をもつ（Hilbert の零点定理）。よって $\operatorname{Pic}_U(k)\to NS_U(k)$ は全射である。
(E1)(E3) を認めると、次が成り立つ。
- $NS(U)$ は位数 $|\det M|$ の有限アーベル群である。
- $\bar x,\bar y\in NS(U)\cong\mathbb Z^r/M\mathbb Z^r$ に対し
$$ b(\bar x,\bar y):=x^{\mathsf T}M^{-1}y\bmod\mathbb Z $$
は代表元によらずに定まり、$NS(U)\times NS(U)\to\mathbb Q/\mathbb Z$ の対称かつ非退化な双線形形式を与える。とくに $NS(U)$ は自己双対である。
- (E1) より $M$ は負定値なので $\det M\neq0$ であり、$M:\mathbb Z^r\to\mathbb Z^r$ は単射である。Smith 標準形により余核は有限で、位数は $|\det M|$ である。
- $x$ を $x+Mz$ に替えると、$M$ が対称なので $(x+Mz)^{\mathsf T}M^{-1}y=x^{\mathsf T}M^{-1}y+z^{\mathsf T}y$ で、差は整数である。$y$ を $y+Mw$ に替えると差は $x^{\mathsf T}w\in\mathbb Z$ である。$M^{-1}$ も対称なので $b$ は対称である。$b(\bar x,\cdot)=0$ なら、すべての $y\in\mathbb Z^r$ について $(M^{-1}x)^{\mathsf T}y\in\mathbb Z$ なので $M^{-1}x\in\mathbb Z^r$、すなわち $x\in M\mathbb Z^r$ で $\bar x=0$ である。これは 判別式形式 の一般論の特別な場合である。
この形式 $b$ が解消 $\tilde X$ の選び方によらないことは、本記事では扱わない（群 $NS(U)$ 自体は $U$ だけから定まるが、上の記述は解消を経由している）。
(E2) に加えて、次を認める。
- (E4) 代数閉体上の連結な可換代数群の $k$ 点のなす群は、標数と素な任意の整数 $n$ で割り切れる（可除である）（Chevalley の構造定理による）。
$n$ を標数と素な正の整数とすると、$\operatorname{Pic}(U)/n\cong NS(U)/n$ であり、
$$ 0\to\operatorname{Pic}(U)^0[n]\to\operatorname{Pic}(U)[n]\to NS(U)[n]\to0 $$
は完全である。
命題「局所Picard群の連結成分による分解」の完全列に $n$ 倍写像についての蛇の補題を当てると、完全列
$$
0\to\operatorname{Pic}(U)^0[n]\to\operatorname{Pic}(U)[n]\to NS(U)[n]\to\operatorname{Pic}(U)^0/n\to\operatorname{Pic}(U)/n\to NS(U)/n\to0
$$
を得る。(E4) により $\operatorname{Pic}(U)^0/n=0$ なので、二つの主張が従う。
これと命題「Kummer列による記述」を合わせると、$\operatorname{Pic}(U)^0$ が $0$ の場合には、$U$ の $\mathbb Z/n$ 被覆は有限群 $NS(U)\cong\mathbb Z^r/M\mathbb Z^r$ の $n$ 捩れで分類される。
$\operatorname{Pic}(U)^0=0$ となる特異点、したがって局所 Picard 群が有限群 $\mathbb Z^r/M\mathbb Z^r$ になる特異点は、有理特異点として特徴づけられることが Lipman により示されているとされる（Lip69。引用。本記事では証明しない）。
An型の特異点
$n\geq1$ とし、$A$ を剰余体が代数閉な $A_n$ 型の特異点（たとえば標数が $n+1$ を割らない代数閉体 $k$ 上の $k[\![x,y,z]\!]/(xz-y^{n+1})$）とする。次の幾何的な事実を引用として認める（本記事では証明しない）：最小解消の例外曲線は $n$ 本の非特異有理曲線 $C_1,\dots,C_n$ の鎖で、$C_i^2=-2$、隣り合う曲線は一点で横断的に交わり、それ以外は交わらない。また $A_n$ 型の特異点は有理特異点で、$\operatorname{Pic}(U)^0=0$ である。
このとき $M=-C$ であり、$C$ は対角成分 $2$、すぐ上下の成分 $-1$、ほかは $0$ の $n$ 次正方行列である。
$|\det M|=n+1$。$d_m$ を $m$ 次の同じ形の行列の行列式とすると、第 1 行で展開して $d_m=2d_{m-1}-d_{m-2}$、$d_1=2$、$d_2=3$ なので、帰納法により $d_m=m+1$ である。
余核は巡回群。$C$ から第 1 行と第 $n$ 列を除いた $n-1$ 次小行列は、対角成分がすべて $-1$ の上三角行列（対角より下は $0$）なので、行列式は $\pm1$ である。よって $n-1$ 次小行列式の最大公約数は $1$ であり、Smith 標準形は $\operatorname{diag}(1,\dots,1,n+1)$ になる。したがって
$$
NS(U)\cong\mathbb Z^n/M\mathbb Z^n\cong\mathbb Z/(n+1)
$$
であり、$\operatorname{Pic}(U)^0=0$ と合わせて $\operatorname{Pic}(U)\cong\operatorname{Cl}(A)\cong\mathbb Z/(n+1)$ となる。$n=1$ は例「A1型特異点の2次被覆」の特異点で、そこで直接見た位数 $2$ の元がこの群を生成する。
行列の計算の部分（行列式と余核）は純粋に代数的で、上で完全に示した。例外曲線の配置と $\operatorname{Pic}(U)^0=0$ は幾何の側の入力である。
反例
$A=\mathbb R[\![x,y]\!]$、$n=2$ とする。$A$ は次元 $2$ の正則な完備局所環（したがって Hensel 的）で、$2$ は可逆である。例「正則な場合」により $\operatorname{Pic}(U)=0$ である。一方、Kummer 完全列から単射 $A^\times/(A^\times)^2\hookrightarrow H^1(U,\mu_2)$ があり（命題「Kummer列による記述」の証明の最初の完全列）、$-1\in A^\times$ は平方でない（剰余体 $\mathbb R$ で $-1$ が平方でないため）。よって $H^1(U,\mu_2)\neq0=\operatorname{Pic}(U)[2]$ である。
満たさない条件は「剰余体が分離閉」であり、破られる含意は $H^1(U,\mu_n)\cong\operatorname{Pic}(U)[n]$ である。
$A=\mathbb C[x,y]_{(x,y)}$、$n=2$ とする。$A$ は次元 $2$ の正則局所環で剰余体 $\mathbb C$ は代数閉だが、Hensel 的でない。$\operatorname{Pic}(U)=0$ である。$1+x\in A^\times$ が $A$ で平方でないことを示す。$1+x=(f/g)^2$（$f,g\in\mathbb C[x,y]$、$g\neq0$）とすると $(1+x)g^2=f^2$ であり、一意分解整域 $\mathbb C[x,y]$ で既約元 $1+x$ の指数を両辺で比べると、左辺は奇数、右辺は偶数になって矛盾する。よって $A^\times/(A^\times)^2\neq0$ であり、前の反例と同じ理由で $H^1(U,\mu_2)\neq0=\operatorname{Pic}(U)[2]$ である。
満たさない条件は「$A$ が Hensel 的」である。$1+x$ は完備化 $\mathbb C[\![x,y]\!]$ では平方（二項級数）になるので、完備化すればこの類は消える。
命題「交叉行列による有限性と自己双対性」が有限性を与えるのは $NS(U)$ だけであり、$\operatorname{Pic}(U)$ 自体は有限とは限らない。たとえば、代数閉体上の楕円曲線 $E$ を平面 3 次曲線として埋め込んだときの錐の頂点の局所環では、$\operatorname{Pic}(U)^0$ が $E$ の $k$ 点の群に相当する無限群になり、局所 Picard 群は無限群になることが知られている（引用。本記事では証明しない）。
満たさない条件は「$\operatorname{Pic}(U)^0=0$」（有理特異点であること）であり、破られる含意は「正規曲面特異点の局所 Picard 群は有限」である。
Grothendieckの論文との関係
Grothendieck の「Brauer 群 III」（Gro68）の第 8 節の後半は、次元 $2$ の完備正規局所環で剰余体が代数閉なもの（解消が存在し、剰余体が $A$ に持ち上がると仮定する）について、穴あきスペクトル $U$ の Picard 群と Brauer 群を調べている。本記事の命題のうち、「局所Picard群の連結成分による分解」「交叉行列による有限性と自己双対性」「捩れと剰余」「Kummer列による記述」の $n=\ell^\nu$ の場合は、そこで述べられている主張を、引用 (E1)〜(E4) を明示して書き直したものである。
- $k$ が代数閉であることの効き方。原論文はこれらの完全列を結果として並べるだけで、$k$ 点をとる操作が全射性を保つ理由と、$A^\times$ が $n$ 可除である理由を書いていない。前者は代数閉体上の有限型スキームの連結成分が $k$ 点をもつことに、後者は Hensel の補題と剰余体の閉性に依っており、どちらも原論文が「幾何的」な場合（基礎体または剰余体が代数閉な場合）に話を限ったことが実際に効く箇所である。反例「剰余体が分離閉でない場合」は、後者の仮定が外せないことを示す。
- 正則性。原論文は $U$ が正則であることを明示していないが、Kummer 完全列の議論や $U$ 上の Brauer 群の扱いではこれが使われる。本記事の補題「穴あきスペクトルの正則性」がそれを与える。
- 自己双対性。原論文は、交叉行列が対称であることから $NS(U)$ が標準的に自己双対になると一行で述べる。対称性が実際に使われるのは、形式が代表元によらないことの確認である（命題「交叉行列による有限性と自己双対性」の証明の 2）。形式が解消の選び方によらないことについて、原論文は証明を書いておらず、本記事でも扱わない。
- Brauer 群の側。原論文はこれらを $U$ の Brauer 群と局所 Picard 群の関係の研究に用いているが、その部分は本記事では扱わない。
補足
- 一般の次元。局所 Picard 群は、次元 $2$ 以上の任意のネーター局所環について同じ定義で考えられ、Grothendieck の SGA 2 では Lefschetz 型の定理の文脈で扱われている（引用）。次元 $3$ 以上の正規局所環では、$\{x\}$ の余次元が $3$ 以上になるので、$U$ が正則とは限らず、$\operatorname{Pic}(U)$ と $\operatorname{Cl}(A)$ の比較には別の議論が要る。
- 局所基本群。命題「Kummer列による記述」により、剰余体が分離閉な Hensel 的正規曲面特異点では、局所 Picard 群の $n$ 捩れ（$n$ は可逆）は穴あきスペクトルの基本群のアーベル化の情報を与える。有理二重点のように基本群が有限になる特異点では、局所 Picard 群はその可換化と密接に関係する。
- 表記。本記事の $NS(U)$ は局所版の Néron–Severi 群にあたる記号であり、大域的な多様体の Néron–Severi群 と同じ記号を使うが、別の対象である。
関連項目
- 前提: Picard群, 因子類群, 正規環, 局所環, エタールコホモロジー
- 道具: Kummer完全列, 判別式形式, 特異点解消, Henselの補題
- 例: Du Val特異点, 有理特異点
- 比較: Néron–Severi群, Picardスキーム, 局所コホモロジー, コホモロジー的Brauer群
参考文献
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