stretched Cohen–Macaulay局所環

同義語：stretched Cohen–Macaulay local ringstretched CM local ring

概要

前提知識：ネーター局所環、Cohen–Macaulay環、極大イデアルの最小還元、Hilbert関数。後半ではCohen–Macaulay型、自由分解、Tor、Extを用いる。

定義：Artin還元の二次以上が一本の列になる

$(A,\mathfrak n,k)$ をArtin局所環とし、有限生成 $A$-加群 $L$ の最小生成元数を
$$ \mu_A(L)=\dim_k L/\mathfrak nL $$
と書く。

stretched Artin局所環

$A$ が stretched Artin局所環 であるとは、$A$ が体ではなく、
$$ \mathfrak n^2=(a) $$
となる $a\in A$ が存在すること、すなわち $\mathfrak n^2$ が単項イデアルであることをいう。

零イデアルも $(0)$ で生成される単項イデアルなので、平方零の非体Artin局所環もstretchedに含む。従ってHilbert関数は
$$ 1,h,1,\ldots,1 $$
の形になるが、$\mathfrak n^2=0$ のときは後ろの1の列が空で、$(1,h)$ で止まる。体は除外する。
$(R,\mathfrak m,k)$ を $d$ 次元Cohen–Macaulay局所環とする。$Q=(x_1,\ldots,x_d)$ が $\mathfrak m$ の最小還元であるとは、$Q$ がパラメーターイデアルで、ある $N\geq0$ に対して
$$ \mathfrak m^{N+1}=Q\mathfrak m^N $$
を満たすことをいう。

stretched Cohen–Macaulay局所環

$R$ が stretched Cohen–Macaulay局所環（stretched Cohen–Macaulay local ring）であるとは、ある最小還元 $Q=(x_1,\ldots,x_d)$ が存在して、Artin局所環
$$ A=R/Q, \qquad \mathfrak n=\mathfrak m/Q $$
がstretchedになることをいう。

定義の量化は「ある最小還元」である。「任意の最小還元」に置き換えるには別の仮定や定理が必要であり、定義だけから強めてはならない。

定義の出典：Sallyは長さとembedding dimensionによる数値条件からstretched環を導入し、非体Artin局所環では $\mathfrak n^2$ が単項であることと同値になる Sal79 Sal80。CM局所環を「ある最小還元によるArtin商」で定義する形はGupta, Definition 3.11 Gup20 に従う。

Hilbert関数が記録するもの

$A=R/Q$ を定義に現れるArtin還元とし、$h=\operatorname{edim}A$ とする。$s$ を $\mathfrak n^s\neq0$ かつ $\mathfrak n^{s+1}=0$ となる最大の整数とする。

stretched Artin還元のHilbert関数

$A$ のHilbert関数は
$$ \dim_k\mathfrak n^i/\mathfrak n^{i+1} = \begin{cases} 1 & (i=0),\\ h & (i=1),\\ 1 & (2\leq i\leq s),\\ 0 & (i>s) \end{cases} $$
の形である。従って
$$ e(R)=\operatorname{length}_A(A)=h+s. $$

Hilbert関数の形から長さを数える

$\mathfrak n^2=0$ なら $s=1$ で、二次以降の列は空である。$\mathfrak n^2\neq0$ なら、MacaulayのHilbert関数の増大条件により、二次以降の非零な各次数成分は1次元になる Sal80。どちらの場合も各成分の次元を足すと
$$ 1+h+\underbrace{1+\cdots+1}_{s-1\text{ 個}}=h+s $$
を得る。$Q$ はパラメーターイデアルなので、Cohen–Macaulay性から $e(R)=\operatorname{length}(R/Q)$ である。

この数列は、平方零の場合には一次部分で止まり、平方零でない場合には極大イデアルを二回掛けた後の各非零次数で新しい方向が一つだけ残ることを表す。Artin還元のembedding dimension $h$ は一次部分の広さを測り、$s$ は細い尾が何段続くかを測る。

例と反例

Artin局所環	Hilbert関数	型	判定
$k[\![t]\!]/(t^q)$（$q\geq2$）	$(1,1,\ldots,1)$	1	stretched、Gorenstein
$k[\![x,y]\!]/(x^2,xy,y^q)$（$q\geq3$）	$(1,2,1,\ldots,1)$	2	stretched、非Gorenstein
$k[\![x,y]\!]/(x^2,y^2)$	$(1,2,1)$	1	stretched、Gorenstein
$k[\![x,y]\!]/(x,y)^3$	$(1,2,3)$	3	stretchedでない反例

一変数のstretched環

$$ A_q=k[\![t]\!]/(t^q), \qquad q\geq2 $$
では $\mathfrak n=(t)$ で、$\mathfrak n^2=(t^2)$ は単項だからstretchedである。$q=2$ では $\mathfrak n^2=0$ だが、$A_q$ は体でないため定義に含まれる。socleは $(t^{q-1})$ で1次元だからGorensteinでもある。

型2のstretched環

$$ B_q=k[\![x,y]\!]/(x^2,xy,y^q), \qquad q\geq3 $$
とする。極大イデアル $\mathfrak n=(x,y)$ に対して
$$ \mathfrak n^2=(y^2)\neq0 $$
なのでstretchedである。一方、$x\mathfrak n=0$ かつ $y^{q-1}\mathfrak n=0$ であり、
$$ \operatorname{Soc}(B_q)=(x,y^{q-1}) $$
は2次元である。従って $B_q$ は型2で、Gorensteinではない。

完全交叉のstretched環

$$ C=k[\![x,y]\!]/(x^2,y^2) $$
では $\mathfrak n^2=(xy)$、$\mathfrak n^3=0$ である。従ってHilbert関数は $(1,2,1)$ でstretchedである。また0次元完全交叉環なのでGorensteinである。

反例：二次部分に三方向が残る

$$ D=k[\![x,y]\!]/(x,y)^3 $$
では $\mathfrak n^3=0$ であり、$\mathfrak n^2$ は $x^2,xy,y^2$ の像で生成される。これらは $k$ 上一次独立なので
$$ \mu_D(\mathfrak n^2)=\dim_k\mathfrak n^2=3. $$
従って $D$ はstretchedではない。この反例は「Artin局所環のHilbert関数が有限なら二次以降は自動的に1次元になる」という誤った含意を破る。

Gorenstein性と最小重複度との違い

Artin還元 $A=R/Q$ のsocle
$$ \operatorname{Soc}(A)=(0:_A\mathfrak n) $$
の $k$-次元は $R$ のCohen–Macaulay型
$$ r=\operatorname{type}(R)=\dim_k\operatorname{Ext}_R^d(k,R) $$
に等しい。

Gorenstein性は別の条件である

stretched Cohen–Macaulay局所環 $R$ がGorensteinであることと $r=1$ は同値である。stretched性だけから $r=1$ は従わない。

例 $B_q$ はstretchedだが型2、例 $C$ はstretchedで型1である。この比較により、stretched性は極大イデアルの冪の細さ、Gorenstein性はsocleまたは双対性の大きさを測る別の条件だと分かる。
残差体が無限な最小重複度Cohen–Macaulay局所環では、$\mathfrak m^2=Q\mathfrak m$ を満たす最小還元 $Q$ を選べる。このArtin還元は平方零で、Hilbert関数は $(1,h)$ で止まる。環が非正則、すなわち $h>0$ ならArtin還元は体ではないのでstretchedである。正則局所環ではArtin還元が体になるため、本稿の規約ではstretchedから除く。

Poincaré級数と自由加群の判定

有限生成 $R$-加群 $M$ に対し
$$ P_M^R(t)=\sum_{i\geq0}\beta_i^R(M)t^i, \qquad \beta_i^R(M)=\dim_k\operatorname{Tor}_i^R(M,k) $$
をPoincaré級数とする。また $c=\operatorname{edim}R-d$、$r=\operatorname{type}(R)$ とおく。

stretched環上の共通分母

$R$ が $d$ 次元stretched Cohen–Macaulay局所環なら、次が成り立つ。

$r=c$ なら $R$ はGolod環で、
$$ P_k^R(t)=\frac{(1+t)^d}{1-ct}, \qquad (1-ct)P_M^R(t)\in\mathbb{Z}[t]. $$
$r\neq c$ なら
$$ P_k^R(t)=\frac{(1+t)^d}{1-ct+t^2}, $$
かつ
$$ (1+t)^{c-r+1}(1-ct+t^2)P_M^R(t)\in\mathbb{Z}[t]. $$

Poincaré級数の出典：上の二分岐と任意の有限生成加群に共通する分母はGupta, Corollary 3.12(1)–(2) Gup20。これはSallyによる残差体のPoincaré級数の計算 Sal80 を、加群全体へ拡張した形である。本稿では外部定理として用い、証明は原論文に委ねる。
具体例では式を直接照合できる。$B_q$ は $d=0,c=2,r=2$ なので
$$ P_k^{B_q}(t)=\frac1{1-2t}. $$
$C$ は $d=0,c=2,r=1$ なので
$$ P_k^C(t)=\frac1{1-2t+t^2}=\frac1{(1-t)^2}, $$
となり、余次元2の完全交叉環に対する計算とも一致する。

Ext消滅による自由性

$R$ をstretched Cohen–Macaulay局所環、$M$ を有限生成 $R$-加群とする。すべての $i\geq1$ で
$$ \operatorname{Ext}_R^i(M,M\oplus R)=0 $$
なら、$M$ は自由 $R$-加群である。

自由性判定の出典：Gupta, Corollary 3.12(3) Gup20。この命題は、stretchedという冪の条件がPoincaré級数の有理性だけでなく、加群の自己Ext消滅にも強い制約を与えることを示す。

基本構成で保たれる範囲

選んだ還元に沿う構成

$R$ が最小還元 $Q=(x_1,\ldots,x_d)$ によってstretchedであるとする。

$0\leq j\leq d$ に対し $R/(x_1,\ldots,x_j)$ は、残る $x_{j+1},\ldots,x_d$ を最小還元としてstretchedである。
$\mathfrak m$-進完備化 $\widehat R$ は $Q\widehat R$ によってstretchedである。
任意の $u\geq0$ に対し $R[\![z_1,\ldots,z_u]\!]$ は $(Q,z_1,\ldots,z_u)$ によってstretchedである。

Artin還元を変えない

いずれの場合も、指定した最小還元でさらに割ったArtin環は $R/Q$ と同型である。1ではCohen–Macaulay正則列の一部で割り、2ではArtin環の完備化が自分自身に一致し、3では新しい変数も還元へ入れる。従って「非体で、極大イデアルの二乗が単項」という条件が保たれる。

任意の商によってstretched Cohen–Macaulay性が保たれるとは限らない。1次元環
$$ T=k[\![\varepsilon,z]\!]/(\varepsilon^2) $$
は超曲面なのでCohen–Macaulayである。極大イデアルを $\mathfrak m_T=(\varepsilon,z)$ とすれば $\mathfrak m_T^2=z\mathfrak m_T$ なので $(z)$ は最小還元であり、そのArtin商 $k[\![\varepsilon]\!]/(\varepsilon^2)$ はstretchedである。従って $T$ もstretchedである。しかし $(\varepsilon z)$ で割った
$$ S=T/(\varepsilon z) \cong k[\![\varepsilon,z]\!]/(\varepsilon^2,\varepsilon z) $$
は1次元だが、$\varepsilon\neq0$ が極大イデアル $(\varepsilon,z)$ 全体で消されるため深さ0である。従って $S$ はCohen–Macaulayでなく、stretched Cohen–Macaulay局所環でもない。商を扱うときは「選んだ最小還元の正則列の一部」という条件を外してはならない。