写像類群

$F$ を $f$ から $g$ へのイソトピー、$h\in\operatorname{Diff}^+(S,\partial S)$ とすると、$t\mapsto h\circ F_t$ と $t\mapsto F_t\circ h$ はそれぞれ $hf$ から $hg$、$fh$ から $gh$ へのイソトピーである（各時刻で $\operatorname{Diff}^+(S,\partial S)$ に属し、$(t,x)$ について滑らかである）。とくに $f\sim g$ なら $g^{-1}f\sim g^{-1}g=\mathrm{id}$、逆に $g^{-1}f\sim\mathrm{id}$ なら左から $g$ を合成して $f\sim g$ である。$F$ が $\mathrm{id}$ から $f$、$G$ が $\mathrm{id}$ から $f'$ へのイソトピーなら、$t\mapsto F_t\circ f'$ と $t\mapsto G_t$ をつなぐと $\mathrm{id}$ から $ff'$ へ至る（つなぎ目を滑らかにするには イソトピー の補題「イソトピックは同値関係」と同じく時刻を付け替える）。また $t\mapsto f^{-1}\circ F_t$ は $f^{-1}$ から $\mathrm{id}$ へのイソトピーである。よって $\operatorname{Diff}_0(S,\partial S)$ は部分群で、$t\mapsto hF_th^{-1}$ により共役で閉じている。$\square$

1：$\psi$ を $a$ に対する埋め込みとすると、$f\circ\psi$ は向きを保つ埋め込みで $f\psi(S^1\times\{1/2\})=f(a)$ である。$fT_af^{-1}$ は $f\psi(A)$ の上で $(f\psi)T(f\psi)^{-1}$、その外で恒等写像なので、$f\psi$ を使って作った $T_{f(a)}$ の代表そのものである。2：$a,c$ は交わらないコンパクト集合なので、交わらない開近傍をもち、その中に $\psi_a(A)$、$\psi_c(A)$ をとれる。台が交わらない 2 つの写像は可換である。$\square$

1：$\Psi(s,x):=(s,\psi_s(x))$ は $[0,1]\times A$ からの単射なはめ込みで、定義域がコンパクトなので像の上への微分同相写像である。よって $(s,y)\mapsto\psi_s^{-1}(y)$ は像の上で滑らかで、$T_{\rho_s}$ は $t\in[0,\varepsilon]\cup[1-\varepsilon,1]$ で恒等写像だから、像の上で $\psi_sT_{\rho_s}\psi_s^{-1}$、外で恒等写像とおいた写像は $(s,y)$ について滑らかであり、各 $s$ で $\operatorname{Diff}^+(S,\partial S)$ に属する。

2：まず次の (a)〜(d) を示す。(a) $\rho_s:=(1-s)\rho_0+s\rho_1$ は 1 の条件を満たすので $T(\psi,\rho_0)\sim T(\psi,\rho_1)$。(b) $0<\delta\le1$ について $\psi^\delta(\theta,t):=\psi(\theta,1/2+\delta(t-1/2))$ とおくと、$\psi^{\delta'}$（$\delta\le\delta'\le1$）は 1 の族なので $T(\psi^\delta,\rho)\sim T(\psi,\rho)$（細い円環に縮めてよい）。(c) $\phi(\theta,t):=(-\theta,1-t)$ は $A$ の向きを保ち、$\phi T_\rho\phi^{-1}=T_{\tilde\rho}$（$\tilde\rho(t):=1-\rho(1-t)$）なので、(a) から $T(\psi\phi,\rho)\sim T(\psi,\rho)$。(d) $h\in\operatorname{Diff}_0(S,\partial S)$ について $T(h\psi,\rho)=hT(\psi,\rho)h^{-1}\sim T(\psi,\rho)$（prop-mcg-group）。

同じ芯 $a$ をもつ $\psi_0,\psi_1$ をとる。$\lambda\colon\mathbb{R}\to(-1,1)$ を $\lvert x\rvert\le1/2$ で $\lambda(x)=x$ となる増加する微分同相写像とし、$f_i(\theta,x):=\psi_i(\theta,1/2+\lambda(x)/2)$（$x\in\mathbb{R}$）とおくと、$f_i$ は自明な直線束 $a\times\mathbb{R}$（点 $\psi_i(\theta,1/2)$ の上の繊維の座標を $x$ とする）による $a$ の管状近傍なので、管状近傍の一意性（Hir76 Theorem 5.3、p. 112）により、$f_0$ から始まり、終わりが $f_1$ と直線束の同型の合成になる埋め込みのイソトピーがある。これを $\lvert x\rvert\le1/2$ の部分に制限し、イソトピー の定理「イソトピー拡張定理」で $\operatorname{int}S$ のコンパクト台のアンビエントイソトピーに延ばす（境界の近くで恒等写像なので $S$ に延びる）。その時刻 $1$ の写像 $h\in\operatorname{Diff}_0(S,\partial S)$ について、十分小さい $\delta$ で $h\psi_0^\delta(\theta,t)=\psi_1(\sigma(\theta),1/2+\delta\mu(\theta)(t-1/2))$ となる。ここで $\sigma$ は $S^1$ の微分同相写像、$\mu$ は $0$ にならない関数で、$h\psi_0^\delta$ と $\psi_1$ が向きを保つので $\sigma'$ と $\mu$ の符号は等しい。負なら $\psi_0$ を $\psi_0\phi$ に替えると正になる（(c)）。$\sigma$ の持ち上げ $\tilde\sigma$ は単調増加で $\tilde\sigma(\theta+2\pi)=\tilde\sigma(\theta)+2\pi$ を満たすので、$(1-s)\tilde\sigma+s\,\mathrm{id}$ が誘導する $S^1$ の微分同相写像を $\sigma_s$、$\mu_s:=(1-s)\mu+s$ とおくと、$(\theta,t)\mapsto\psi_1(\sigma_s(\theta),1/2+\delta\mu_s(\theta)(t-1/2))$ は向きを保つ埋め込みの 1 の族で、$s=0$ で $h\psi_0^\delta$、$s=1$ で $\psi_1^\delta$ である。よって (b)・(d)・1・(b) の順に $T(\psi_0,\rho)\sim T(h\psi_0^\delta,\rho)\sim T(\psi_1^\delta,\rho)\sim T(\psi_1,\rho)$ であり、(a) と合わせて $\psi$・$\rho$ によらない。

最後に $a$ と $a'$ がイソトピックなら、イソトピー拡張定理により $h\in\operatorname{Diff}_0(S,\partial S)$ で $h(a)=a'$ となるものがあり、$h\psi$ は $a'$ に対する埋め込みなので、(d) から $T_{a'}=T_a$ である。$\square$

$\psi(\theta,t):=e\bigl((3/4-t/2)e^{i\theta}\bigr)$ とおく。半径 $r=3/4-t/2$ と偏角 $\theta$ について $dx\wedge dy=r\,dr\wedge d\theta=(r/2)\,d\theta\wedge dt$ なので、$\psi$ は向きを保ち、$\psi(S^1\times\{1/2\})=a$ である。$\sigma(r):=\rho(3/2-2r)$（$1/4\le r\le3/4$）とおき、$r\le1/4$ で $\sigma=1$、$r\ge3/4$ で $\sigma=0$ と延ばすと、$\sigma$ は滑らかで、この $\psi$ で作った $T_a$ は $e(\bar D)$ の上で $e\circ R_1\circ e^{-1}$ に等しい。ここで $R_s(re^{i\varphi}):=re^{i(\varphi+2\pi s\sigma(r))}$ である（$r\le1/4$ では $2\pi$ 回転、すなわち恒等写像）。$s\in[0,1]$ について $R_s$ は各円 $\lvert z\rvert=r$ をそれ自身に回転させる微分同相写像で、$r\le1/4$ では線形な回転、$r\ge3/4$ では恒等写像であり、$(s,z)$ について滑らかである。$e(\bar D)$ の上で $e\circ R_s\circ e^{-1}$、外で恒等写像とおけば、$\mathrm{id}=R_0$ から $T_a$ へのイソトピーになる。lem-mcg-twist-well-defined により $T_a$ の写像類は $\psi$ によらないので、$T_a=1$ である。$\square$

$a$ の法束に、$S$ と $a$ の向きから定まる向き（$a'$ の後に並べると $T_pS$ の正の基底になる法ベクトルを正とする）を入れる。$q_p\circ dc_s$ が向きを保つことは、$c'(s)$ の法成分が正であること、すなわち $(a'(p),c'(s))$ が正の基底であることと同じなので、$\hat\imath(a,c)$ は 交点数(微分位相幾何) の定義「局所符号と交点数」の $I(c,a)$ に等しい。1：同記事の定理「局所符号の和と Thom 類」により $I(c,a)=\langle c^*\tau_a,[S^1]\rangle=\langle\tau_a,c_*[S^1]\rangle$ であり、右辺は $[c]=c_*[S^1]$ について加法的である。$x\mapsto\langle\tau_a,x\rangle$ が求める準同型である。2：同記事の命題「交換の符号」で $m=n=1$ とすれば $I(a,c)=-I(c,a)$ である。3：$df_p$ は正の基底を正の基底に写し、$f$ は交点を交点に 1 対 1 に写すので、各局所符号は変わらない。$\square$

$\psi$ を、$\theta$ が増える向きに $\psi(\theta,1/2)$ が $a$ を正の向きに進むようにとる（必要なら $(\theta,t)\mapsto(-\theta,1-t)$ を先に合成する。これは $A$ の向きを保つ）。交点の近くで $c$ をホモトピーで少し動かし、$\psi(A)$ を $a$ の十分細い近傍にとり直すと（lem-mcg-twist-well-defined により $T_a$ の写像類は変わらない）、$c$ と $\psi(A)$ の共通部分は、交点ごとの弧 $\gamma_k(t)=\psi(\theta_k,t)$ を $t$ について単調に進むものからなるようにできる。このホモトピーは交点と符号を変えず、$T_a$ との合成もホモトピーなので $[c]$ と $[T_a\circ c]$ も変えない。$\gamma_k$ を $t$ の増える向きに進む交点では、$(a',c')=(\psi_*\partial_\theta,\psi_*\partial_t)$ は正の基底なので $\varepsilon=+1$、逆向きなら $\varepsilon=-1$ である。

$T_a\circ c$ は $c$ の弧 $\gamma_k$ を $T\circ\gamma_k\colon t\mapsto\psi(\theta_k+2\pi\rho(t),t)$ に取り替えたものである。$\alpha_k(s):=\psi(\theta_k+2\pi s,1)$ とおくと、帯 $\mathbb{R}\times[0,1]$（$A$ の普遍被覆）への持ち上げで、$T\circ\gamma_k$ と「$\gamma_k$ の後に $\alpha_k$」はどちらも $(\theta_k,0)$ から $(\theta_k+2\pi,1)$ へ至る。帯は凸なので両者は端点を止めてホモトピックであり、その像も $A$ の中で端点を止めてホモトピックである。よって $T_a\circ c$ は、$c$ の正の交点ごとに閉曲線 $\alpha_k$ を、負の交点ごとに逆向きの $\alpha_k$ を挿入した閉曲線とホモトピックである。閉曲線をつなぐことはホモロジーでは和になる（Hurewiczの定理 の Hurewicz 準同型は準同型である）。$\alpha_k$ は $\psi(S^1\times\{s\})$（$1/2\le s\le1$）を通じて $a$ とホモトピックで向きも同じなので $[\alpha_k]=[a]$ であり、$[T_a\circ c]=[c]+\sum_k\varepsilon_k[a]=[c]+\hat\imath(a,c)[a]$ を得る。$\square$

$T(\theta,1)=(\theta+2\pi,1)=(\theta,1)$ なので $T_a$ は $a$ と平行な曲線 $\psi(S^1\times\{1\})$ を点ごとに固定し、$(T_a)_*[a]=[a]$ である。prop-mcg-twist-homology と $(T_a)_*$ の加法性から、$n\ge0$ について帰納的に $(T_a^{n})_*[c]=[c]+n\,\hat\imath(a,c)[a]$ であり、$(T_a^{-1})_*[c]=[c]-\hat\imath(a,c)[a]$ から負の $n$ でも同じ式が成り立つ。次に $[a]$ の位数は無限である：$k[a]=0$ なら、lem-mcg-intersection の 1 の準同型 $x\mapsto\hat\imath(c,x)$ に当てて $k\,\hat\imath(c,a)=0$ であり、2 から $\hat\imath(c,a)=-\hat\imath(a,c)\neq0$ なので $k=0$ である。よって $n\neq0$ なら $(T_a^n)_*[c]\neq[c]$ で、$T_a^n$ は恒等写像とイソトピックでない。$\square$

基底の曲線を $\gamma_1,\dots,\gamma_{2g}$、その類を $x_1,\dots,x_{2g}$ と書く。異なる 2 本は 1 点で交わるか交わらないので、その $\hat\imath$ は $\langle x_i,x_j\rangle$ に等しい。同じ曲線どうしでは、$\gamma_i$ と交わらない平行な曲線 $\gamma_i'$ が同じ類をもつので、lem-mcg-intersection の 1 から $\hat\imath(\gamma_i,\cdot)$ の $x_i$ での値は $\hat\imath(\gamma_i,\gamma_i')=0=\langle x_i,x_i\rangle$ である。1：$[a]=\sum_i\alpha_ix_i$、$[c]=\sum_j\beta_jx_j$ とする。補題の 1 と 2 から（必要なら $a$ を少し動かして基底の曲線と横断的にしておく。$c$ は単純閉曲線なので、補題の 2 と 1 から $\hat\imath(a,c)=-\hat\imath(c,a)$ は $[a]$ だけで決まり、この取り替えで左辺は変わらない） $\hat\imath(a,c)=\sum_j\beta_j\,\hat\imath(a,\gamma_j)=-\sum_j\beta_j\,\hat\imath(\gamma_j,a)=-\sum_{i,j}\alpha_i\beta_j\,\hat\imath(\gamma_j,\gamma_i)=\sum_{i,j}\alpha_i\beta_j\langle x_i,x_j\rangle$ である（最後に $\langle x_j,x_i\rangle=-\langle x_i,x_j\rangle$ を使った）。2：$i\neq j$ なら、補題の 3 と 1 から $\langle f_*x_i,f_*x_j\rangle=\hat\imath(f(\gamma_i),f(\gamma_j))=\hat\imath(\gamma_i,\gamma_j)=\langle x_i,x_j\rangle$ であり、$i=j$ では両辺とも $0$ である（形式は交代的）。$f_*$ の行列を $M$ とすれば $M^{\mathsf T}JM=J$ で、$(fh)_*=f_*h_*$ から $\Psi$ は準同型である。$2\times2$ 行列では $M^{\mathsf T}JM=(\det M)J$ なので $\operatorname{Sp}_2(\mathbb{Z})=\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ である。$\square$

prop-mcg-symplectic の $g=1$ の場合により、$\Phi$ は $\operatorname{Sp}_2(\mathbb{Z})=\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ への準同型である。$A\in\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ について $f_A$ は逆写像 $f_{A^{-1}}$ をもち、$\det A>0$ なので向きを保つ。閉曲線 $\pi(te_i)$（$0\le t\le1$）の $f_A$ による像の持ち上げ $t\mapsto tAe_i$ の差は $Ae_i$ なので、$(f_A)_*e_i=Ae_i$、すなわち $\Phi[f_A]=A$ である。よって $\Phi$ は全射で、$A\mapsto[f_A]$ は $\Phi$ の右逆写像である。単射性には次の事実を使う：任意の $f\in\operatorname{Diff}^+(T^2)$ はある $f_A$ とイソトピックである（Poé79a §V、p. 11、Ben21 §19.1、p. 310。この記事では証明しない）。$\Phi[f]=I$ なら $f\sim f_A$ となる $A$ について $A=\Phi[f_A]=\Phi[f]=I$ なので、$f\sim f_I=\mathrm{id}$ である。$\square$

cor-mcg-infinite-order の証明のとおり $(T_a)_*e_1=e_1$、$(T_b)_*e_2=e_2$ であり、prop-mcg-twist-homology から $(T_a)_*e_2=e_2+\hat\imath(a,b)e_1=e_1+e_2$、$(T_b)_*e_1=e_1+\hat\imath(b,a)e_2=e_1-e_2$ である（$\hat\imath(b,a)=-1$ は lem-mcg-intersection の 2）。これが行列の値である。$P:=\Phi(T_a)$、$Q:=\Phi(T_b)$ とおくと $PQ=\begin{pmatrix}0&1\\-1&1\end{pmatrix}$、$PQP=QPQ=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$、$(PQ)^3=-I$ である。$PQP$ は モジュラー群 の行列 $S$ の逆元で、$P$ はそこでの $T$ に等しい。同記事の系「$\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ の表示」により $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ は $S$ と $U=ST$ で、したがって $S,T$ で生成されるので、$P,Q$ で生成される。thm-mcg-torus の同型で写せば主張を得る。$\square$

1：$t=0$ なら $A^2=-I$。$t=1$ なら $A^2=A-I$ から $A^3=A^2-A=-I$。$t=-1$ なら $A^2=-A-I$ から $A^3=-A^2-A=I$ である。2：$t=2\varepsilon$（$\varepsilon=\pm1$）なら特性多項式は $(x-\varepsilon)^2$ で、固有値 $\varepsilon$ の固有ベクトルは有理数で取れるので、成分の最大公約数が $1$ の整数ベクトル $v$ にできる。Bézout の等式により $\det(v\ w)=1$ となる $w\in\mathbb{Z}^2$ があり、$P:=(v\ w)\in\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ で $P^{-1}AP=\begin{pmatrix}\varepsilon&m\\0&\varepsilon\end{pmatrix}=\varepsilon\begin{pmatrix}1&\varepsilon m\\0&1\end{pmatrix}$（対角成分の積が $1$）となる。$m=0$ なら $A=\varepsilon I$、そうでなければ $n:=\varepsilon m$ として主張の共役を得る。thm-mcg-torus と cor-mcg-torus-generators の $\Phi(T_a)$ から、$[f_A]=[f_P][f_{\varepsilon I}]T_a^n[f_P]^{-1}$ である。3：固有値は $x^2-tx+1$ の根で、判別式 $t^2-4>0$ は平方数でない（$t^2-4=k^2$、$k\ge0$ なら $(\lvert t\rvert-k)(\lvert t\rvert+k)=4$ で両因子の偶奇が等しいので $\lvert t\rvert=2$ となる）。よって固有値は相異なる無理数で積が $1$ である。$q=0$ なら $ps=1$ から $\lvert t\rvert=2$ となるので $q\neq0$ で、固有ベクトル $(q,\lambda-p)$ の傾き $(\lambda-p)/q$ は無理数である。最後の主張は線形写像 $x\mapsto Ax$ を $T^2$ に落としたことから従う。$\square$