Mac Laneのコヒーレンス定理

以下 $U=u(X)$ などと書き、$X$ の添字は省く。

テンソル積．$\varphi\colon u\to u'$、$\psi\colon v\to v'$ が両立するとする。$\alpha^{-1}$ の自然性から $((\varphi\otimes\psi)\otimes1_Y)\circ\alpha^{-1}_{U,V,Y}=\alpha^{-1}_{U',V',Y}\circ(\varphi\otimes(\psi\otimes1_Y))$ である。双関手性と $\psi$ の両立から $(\varphi\otimes(\psi\otimes1_Y))\circ(1_U\otimes J_v(Y))=\varphi\otimes J_{v'}(Y)=(1_{U'}\otimes J_{v'}(Y))\circ(\varphi\otimes1_{R_v(Y)})$ である。最後に $\varphi$ の両立を対象 $R_v(Y)$ に使うと $(\varphi\otimes1_{R_v(Y)})\circ J_u(R_v(Y))=J_{u'}(R_v(Y))$ である。$R_v=R_{v'}$ なので、合わせて

$$((\varphi\otimes\psi)\otimes1_Y)\circ J_{u\otimes v}(Y)=\alpha^{-1}_{U',V',Y}\circ(1_{U'}\otimes J_{v'}(Y))\circ J_{u'}(R_{v'}(Y))=J_{u'\otimes v'}(Y)$$

を得る。

$\alpha_{u,v,w}$．定義から

$$J_{(u\otimes v)\otimes w}(Y)=\alpha^{-1}_{U\otimes V,W,Y}\circ(1_{U\otimes V}\otimes J_w(Y))\circ\alpha^{-1}_{U,V,R_w(Y)}\circ(1_U\otimes J_v(R_w(Y)))\circ J_u(R_vR_w(Y)),$$

$$J_{u\otimes(v\otimes w)}(Y)=\alpha^{-1}_{U,V\otimes W,Y}\circ\bigl(1_U\otimes\alpha^{-1}_{V,W,Y}\bigr)\circ\bigl(1_U\otimes(1_V\otimes J_w(Y))\bigr)\circ(1_U\otimes J_v(R_w(Y)))\circ J_u(R_vR_w(Y))$$

である。$\alpha^{-1}$ の第 3 変数についての自然性で $(1_{U\otimes V}\otimes J_w(Y))\circ\alpha^{-1}_{U,V,R_w(Y)}=\alpha^{-1}_{U,V,W\otimes Y}\circ(1_U\otimes(1_V\otimes J_w(Y)))$ と書きかえ、両式に共通な右側の同型 $(1_U\otimes(1_V\otimes J_w(Y)))\circ(1_U\otimes J_v(R_w(Y)))\circ J_u(R_vR_w(Y))$ を除くと、示すべき式は

$$(\alpha_{U,V,W}\otimes1_Y)\circ\alpha^{-1}_{U\otimes V,W,Y}\circ\alpha^{-1}_{U,V,W\otimes Y}=\alpha^{-1}_{U,V\otimes W,Y}\circ(1_U\otimes\alpha^{-1}_{V,W,Y})$$

になる。両辺の逆射をとり、右から $\alpha_{U,V,W}\otimes1_Y$ を合成すると $\alpha_{U,V,W\otimes Y}\circ\alpha_{U\otimes V,W,Y}=(1_U\otimes\alpha_{V,W,Y})\circ\alpha_{U,V\otimes W,Y}\circ(\alpha_{U,V,W}\otimes1_Y)$ となり、これは対象 $(U,V,W,Y)$ の五角形公理である。$\alpha^{-1}$ の両立は、上で示した逆の場合から従う。

$\lambda_u$．$J_{e\otimes u}(Y)=\alpha^{-1}_{I,U,Y}\circ(1_I\otimes J_u(Y))\circ\lambda^{-1}_{R_u(Y)}$ であり、$\lambda^{-1}$ の自然性から $(1_I\otimes J_u(Y))\circ\lambda^{-1}_{R_u(Y)}=\lambda^{-1}_{U\otimes Y}\circ J_u(Y)$ である。モノイダル圏 の命題「Kelly の等式」の第 1 式 $\lambda_{U\otimes Y}\circ\alpha_{I,U,Y}=\lambda_U\otimes1_Y$ から $(\lambda_U\otimes1_Y)\circ\alpha^{-1}_{I,U,Y}=\lambda_{U\otimes Y}$ なので、$(\lambda_U\otimes1_Y)\circ J_{e\otimes u}(Y)=\lambda_{U\otimes Y}\circ\lambda^{-1}_{U\otimes Y}\circ J_u(Y)=J_u(Y)$ である。

$\rho_u$．$R_e(Y)=Y$ なので $J_{u\otimes e}(Y)=\alpha^{-1}_{U,I,Y}\circ(1_U\otimes\lambda^{-1}_Y)\circ J_u(Y)$ である。三角形公理 $(1_U\otimes\lambda_Y)\circ\alpha_{U,I,Y}=\rho_U\otimes1_Y$ から $(\rho_U\otimes1_Y)\circ\alpha^{-1}_{U,I,Y}\circ(1_U\otimes\lambda^{-1}_Y)=1_{U\otimes Y}$ なので、$(\rho_U\otimes1_Y)\circ J_{u\otimes e}(Y)=J_u(Y)$ である。$\square$

双関手．$(f'\cdot g')\circ(f\cdot g)=c\circ(f'\otimes g')\circ c^{-1}\circ c\circ(f\otimes g)\circ c^{-1}=c\circ((f'f)\otimes(g'g))\circ c^{-1}=(f'f)\cdot(g'g)$ であり、$1\cdot1=1$ である。

結合が等式．対象については列の連結なので $(su)w=s(uw)$ である。射 $f\colon s\to t$、$g\colon u\to v$、$h\colon w\to y$ について、$\alpha$ の自然性 $f\otimes(g\otimes h)=\alpha\circ((f\otimes g)\otimes h)\circ\alpha^{-1}$ を使うと

$$(f\cdot g)\cdot h=A_{t,v,y}\circ((f\otimes g)\otimes h)\circ A_{s,u,w}^{-1},\qquad f\cdot(g\cdot h)=B_{t,v,y}\circ((f\otimes g)\otimes h)\circ B_{s,u,w}^{-1}$$

となる。ここで $A_{t,v,y}=c_{tv,y}\circ(c_{t,v}\otimes1)$、$B_{t,v,y}=c_{t,vy}\circ(1\otimes c_{v,y})\circ\alpha_{N(t),N(v),N(y)}$ はどちらも語 $(n(t)\otimes n(v))\otimes n(y)$ から $n(tvy)$ への形式的な標準射の解釈なので、thm-mlc-main の 1 により $A=B$ である。よって $(f\cdot g)\cdot h=f\cdot(g\cdot h)$ である。

単位が等式．空の列 $\emptyset$ を単位とする。$c_{\emptyset,s}$ と $\lambda_{N(s)}$ はどちらも語 $e\otimes n(s)$ から $n(s)$ への標準射の解釈なので等しく、$\lambda$ の自然性から $1_\emptyset\cdot f=\lambda\circ(1_I\otimes f)\circ\lambda^{-1}=f$ である。同様に $c_{s,\emptyset}=\rho_{N(s)}$ から $f\cdot1_\emptyset=f$ である。こうして $\mathcal S$ は、結合同型・単位同型を恒等射とする厳格モノイダル圏になる（五角形・三角形公理は自明に成り立ち、恒等射が自然であることは上の 2 つの等式そのものである）。

強モノイダル関手．$G\colon\mathcal C\to\mathcal S$ を $G(b)=(b)$、$G(f)=f$ で定める。$G(b)\cdot G(b')=(b,b')$ と $G(b\otimes b')=(b\otimes b')$ はどちらも $N$ が $b\otimes b'$ なので、$\mu_{b,b'}\colon(b,b')\to(b\otimes b')$ を恒等射 $1_{b\otimes b'}$、$u_0\colon\emptyset\to(I)$ を $1_I$ とする。1 文字の列 $(b),(b')$ について $c_{(b),(b')}$ は語 $x_1\otimes x_2$ の恒等射なので、$G(f)\cdot G(g)=f\otimes g$ であり、$\mu$ は自然である。結合の公理：$c_{(b\otimes b'),(b'')}$ は恒等射、$c_{(b,b'),(b'')}=\alpha_{b,b',b''}$ なので $\mu_{b,b'}\cdot1_{(b'')}=\alpha^{-1}_{b,b',b''}$ であり、$1_{(b)}\cdot\mu_{b',b''}=1$ なので、公理の両辺は $\alpha\circ1\circ\alpha^{-1}=1$ と $1$ になって一致する。単位の公理：$u_0\cdot1_{(b)}=c_{(I),(b)}\circ1\circ c^{-1}_{\emptyset,(b)}=\lambda_b^{-1}$ なので $G(\lambda_b)\circ\mu_{I,b}\circ(u_0\cdot1)=\lambda_b\circ\lambda_b^{-1}=1$ であり、右の単位も $\rho$ で同様である。

圏同値．$\mathcal S((b),(b'))=\mathcal C(b,b')$ で $G$ は射の上で恒等なので、充満忠実である。どの列 $s$ も、恒等射 $1_{N(s)}\colon N(s)\to N((N(s)))$ を通して $G(N(s))$ と同型なので、$G$ は本質的全射である。よって $G$ は圏同値であり、モノイダル関手 の定理「強モノイダルな圏同値の擬逆」によりモノイダル同値である。$\square$