トーラス分解(JSJ分解)
概要
トーラス分解(JSJ分解)（torus decomposition, JSJ decomposition）とは、向き付け可能で既約なコンパクト 3 次元多様体を、互いに交わらない非圧縮なトーラスに沿って、アトロイダルな部品と Seifert 多様体の部品に切り分ける分解である。切り口のトーラスの極小な集まりはイソトピーを除いて一意に決まる（Jaco–Shalen–Johannson）。アトロイダルな部品だけへの分割は一意でないが、その非一意性を生むのは Seifert 多様体だけで、これを切らない部品として残すと標準的な分解になる。素分解に続く 2 段目の分解で、幾何化定理の出発点である。
前提知識: Seifert多様体, 基本群, 写像トーラス, 素分解(3次元多様体)
トーラス分解（torus decomposition）または JSJ 分解（JSJ decomposition、Jaco–Shalen–Johannson decomposition）とは、向き付け可能で既約なコンパクト 3 次元多様体を、非圧縮なトーラスに沿って、アトロイダルな部品と Seifert多様体 の部品に切り分ける標準的な分解である。切り口のトーラスの極小な集まりはイソトピーを除いて一意に決まる。素分解(3次元多様体) が球面に沿った分解であるのに対し、トーラス分解はそのあとに続く 2 段目の分解である。
アトロイダルな部品だけに切る分割なら簡単に作れるが、一意ではない。一意性を壊すのは Seifert 多様体だけであり、Seifert 多様体を「これ以上切らない部品」として残すと標準的な分解が得られる。この発見は 1970 年代半ばの Jaco–Shalen と Johannson による（Hat3M p. 12）。
この記事では、定理の主張を述べ、次を証明する。
- アトロイダルな部品への分割の存在を、曲面の個数の上界から導く（thm-td-existence）。
- 圧縮できるトーラスは、ソリッドトーラスを囲むか球体の中にある（lem-td-compressible）。
- 両側の Seifert 部品のファイバーがそろうトーラスは取り除ける（prop-td-matching）。
- 例で、Seifert 部品を許さないと分割が一意でないことを示す（ex-td-nonunique）。
一意性の証明と、曲面の個数の上界は引用にとどめる。分解の部品に幾何を入れる話は 幾何化予想 に任せる。
定義
この記事の 3 次元多様体 $M$ は滑らかでコンパクト連結で向き付け可能とする。境界があってもよい。$M$ の内部のトーラスはどれも両側の曲面である。互いに交わらない閉曲面の和 $\mathcal{S}$ について、$\mathcal{S}$ の開管状近傍を除いた多様体を $M\|\mathcal{S}$ と書き、$M$ を $\mathcal{S}$ に沿って 切り開いた ものという。
$T\subset M$ を内部のトーラスとする。円板 $D\subset M$ で $D\cap T=\partial D$ となるものを $T$ の 圧縮円板 という。どの圧縮円板 $D$ についても $\partial D$ が $T$ の中の円板の境界であるとき、$T$ は 非圧縮 であるという（Hat3M p. 13）。
非圧縮であることは、包含の誘導する $\pi_1(T)\to\pi_1(M)$ が単射であることと同値である（Hat3M p. 13 の (1) と Corollary 3.3、p. 59）。この同値はこの記事では証明しない。$\pi_1$ の単射による形が 幾何化予想 で使う定義である。
- $M$ が 既約 であるとは、$M$ の中のどの 2 次元球面も 3 次元球体の境界であることをいう。
- 内部のトーラス $T$ が 境界平行 であるとは、$M$ から積 $T\times[0,1]$ が切り離され、$T=T\times\{0\}$、$T\times\{1\}\subset\partial M$ となることをいう。
- 既約な $M$ が アトロイダル であるとは、$M$ のどの非圧縮なトーラスも境界平行であることをいう（Hat3M p. 16）。
文献によっては、トーラスからの写像で基本群に単射を誘導するものがどれも境界へホモトープできることをアトロイダルとよぶ（AFW15 p. 9）。埋め込まれたトーラスだけを見る上の定義より強く、差が出るのは、底が種数 $0$ で境界成分と錐点が合わせて 3 個の Seifert 多様体の一部に限られる（同 p. 9）。この記事の定義は上の 3 である。
非圧縮の条件は、切り開いて簡単になることを保証するためにある。$S^3$ の結び目 $K$ の管状近傍の境界を $T$ とすると、$T$ に沿って切り開いた片方はソリッドトーラスだが、もう片方は結び目の外部で、$S^3$ より複雑になりうる（Hat3M p. 13）。このとき $T$ は圧縮できる。
$M$ を既約とし、$T\subset M$ を内部のトーラスとする。$T$ が非圧縮でないことと、$T$ が $M$ の中のソリッドトーラスの境界であるか、$M$ の中の 3 次元球体に含まれることは同値である。
要点：圧縮円板に沿った手術で $T$ は球面になる。$M$ が既約なのでこの球面は球体を囲み、手術を戻す。
証明を開く
$T$ がソリッドトーラスの境界なら、メリディアンの円板が、$T$ の中で円板を囲まない境界をもつ圧縮円板である。$T$ が球体に含まれるなら $\pi_1(T)\to\pi_1(M)$ は自明な写像で単射でないので、$T$ は非圧縮でない（Hat3M Corollary 3.3、p. 59）。
逆に、圧縮円板 $D$ で $\partial D$ が $T$ の中の円板を囲まないものをとる。トーラスの上で $\partial D$ は非分離の曲線なので、$T$ を $D$ に沿って手術すると 2 次元球面 $S$ が得られる。$S$ は $T$ の円環の部分と $D$ の平行な 2 枚の円板からなる。$M$ は既約なので $S$ は球体 $B\subset M$ を囲む。$D$ と $B$ の内部が交わらない場合、手術を戻すと $B$ の境界の 2 枚の円板を貼り合わせることになるので、$T$ はソリッドトーラスの境界である。$D\subset B$ の場合は、手術を戻しても $T\subset B$ である。$\square$
主定理
$M$ を向き付け可能で既約なコンパクト 3 次元多様体とする。互いに交わらない有限個の非圧縮なトーラスの集まり $\mathcal{T}$ で、$M\|\mathcal{T}$ の各成分がアトロイダルか Seifert 多様体であるものが存在する。このような $\mathcal{T}$ で包含に関して極小なものは、イソトピーを除いて一意である。
存在は thm-td-existence で証明する。一意性はこの記事では証明しない（Hat3M Theorem 1.9、p. 18、証明は pp. 28–30）。AFW15 Theorem 1.7（p. 10）は境界が空かトーラスの場合に述べ、個数が最小のものの一意性としている。
極小な $\mathcal{T}$ の元を JSJ トーラス、$M\|\mathcal{T}$ の成分を JSJ 部品 という。$M$ 自身がアトロイダルか Seifert 多様体なら $\mathcal{T}=\emptyset$ である。逆に $\mathcal{T}=\emptyset$ ならそのどちらかである。一意なのはイソトピーの類であり、$M$ の同相写像を許さなくても決まる点が強い（Hat3M p. 18）。
既約でない多様体には 素分解(3次元多様体) を先に当てる。向き付け可能性を外すときは、Klein の壺に沿った切り開きも許し、アトロイダルの定義を変える必要がある（Hat3M p. 18）。
存在
$M$ をコンパクトで既約とする。互いに交わらない閉じた非圧縮な曲面の和 $\mathcal{S}=S_1\cup\dots\cup S_n$ で、$M\|\mathcal{S}$ のどの成分も閉曲面と区間の積でないものについて、$n$ には $M$ だけで決まる上界がある。
この命題はこの記事では証明しない（Hat3M Proposition 1.7、p. 15）。証明は $\mathcal{S}$ を $M$ の三角形分割に正規な位置へ動かして、$M\|\mathcal{S}$ の成分のうち区間束でないものの個数を三角形分割で抑え、$\mathbb{Z}/2$ 係数のホモロジー完全列で $n$ を抑える。
$M$ をコンパクトで既約とする。互いに交わらない有限個の非圧縮なトーラスの集まり $\mathcal{T}$（空でもよい）で、$M\|\mathcal{T}$ の各成分がアトロイダルなものがある。
要点：境界平行でない非圧縮なトーラスで切り続ける。止まらなければ prop-td-finiteness に反する。
証明を開く
$M_0:=M$ とする。$M_{j-1}$ の成分のどれかがアトロイダルでないとき、その成分の中の非圧縮で境界平行でないトーラス $T_j$ をとり、$M_j:=M_{j-1}\|T_j$ とする。切り開いたあとの成分は既約で（Hat3M p. 14 の (4)）、$T_j$ は $M$ の中でも非圧縮である（同 p. 15 の (5)）。各成分がアトロイダルになれば止まり、$\{T_1,\dots,T_j\}$ が求める集まりである。
止まらないとし、$j\ge2$ で $M_j$ に積 $C\cong T^2\times[0,1]$ の成分があるとする。$C$ の境界のうち切り口であるものの番号の最大を $i$ とする（$C$ の境界がどちらも $\partial M$ の成分なら $C=M$ で、これはアトロイダルなので $T_1$ がとれない）。$C$ の境界のトーラスの片方だけが $T_i$ の面なら、もう片方は $M_{i-1}$ の境界にあるので、$T_i$ は $M_{i-1}$ の中で境界平行になり、$T_i$ の選び方に反する。両方が $T_i$ の 2 つの面なら、$C$ は $M_i$ の成分で、貼り戻した $M_{i-1}$ の成分は境界をもたない。閉じた成分は $M$ 全体しかないので $i=1$ で、$M_1=C$ となる。$T^2\times[0,1]$ の非圧縮なトーラスは境界平行なので（Hat3M pp. 46–47）$C$ はアトロイダルで、$j=1$ で止まり、$j\ge2$ に反する。よって $j\ge2$ の $M_j$ に積の成分はなく、$\{T_1,\dots,T_j\}$ は prop-td-finiteness の仮定を満たす。$j$ はいくらでも大きくとれるので上界に反する。$\square$
thm-td-existence の集まりは thm-td-main の条件を満たすので、thm-td-main の存在の部分はこれで示された。その中から元を除いていけば極小なものが得られる。
一意性の筋
一意性の証明の筋を述べる。以下はこの記事では証明しない。
極小な 2 つの集まり $\mathcal{T},\mathcal{T}'$ を交わりが少なくなるように動かす。交わりが残れば、$\mathcal{T}'$ は $M\|\mathcal{T}$ の成分を本質的な円環で切ることになる。既約でアトロイダルな多様体が、トーラスの境界成分だけに端をもつ本質的な円環を含めば、Seifert 多様体である（Hat3M Lemma 1.18、p. 26）から、交わる成分は Seifert 多様体である。Seifert 多様体の本質的な円環は縦にできるので（同 Lemma 1.16、p. 25）、$\mathcal{T}$ の両側のファイバーがそろい、prop-td-matching と同じ理由で極小性に反する。交わりがなければ、トーラスは Seifert 部品の中の縦のトーラスになり、再びファイバーがそろって極小性に反する（同 pp. 28–30）。
ファイバーがそろうトーラス
$\mathcal{T}$ を thm-td-main の条件を満たす集まりとし、$T\in\mathcal{T}$ の両側の成分 $N,N'$（$N=N'$ でもよい）が Seifert 多様体であるとする。$N,N'$ の Seifert ファイバー構造が $T$ の上に定める円周の傾きが一致するなら、$\mathcal{T}\setminus\{T\}$ も条件を満たす。とくに $\mathcal{T}$ は極小でない。
要点：ファイバーをトーラスの近くでそろえて貼り合わせれば、貼り合わせた成分も Seifert 多様体である。
証明を開く
トーラスの上で同じ傾きの平行な円周の族はイソトピックである。$T$ の近くのカラーの中で $N'$ のファイバー構造を動かして、$T$ の上で $N$ のファイバーと一致させる。このとき $T$ のファイバーは、両側のカラーを合わせた $T\times[-1,1]$ の中で積の近傍をもつので、正則ファイバーである。よって $M\|(\mathcal{T}\setminus\{T\})$ の $T$ を含む成分は Seifert ファイバー構造をもつ。ほかの成分は変わらない。$\mathcal{T}\setminus\{T\}$ の元は $M$ の中で非圧縮のままである。$\square$
逆向きの判定には次を使う。
$M$ を向き付け可能で既約なコンパクト 3 次元多様体で、境界が空かトーラスの和であるものとする。$T_1,\dots,T_k$ を互いに交わらない非圧縮なトーラスとし、次を仮定する。
- $M\|\bigcup_iT_i$ の各成分は Seifert 多様体かアトロイダルで、$T^2\times[0,1]$ でも Klein の壺の上のねじれた区間束でもない。
- $T_i$ の両側の成分がともに Seifert 多様体なら（同じ成分でもよい）、両側の正則ファイバーは $H_1(T_i)$ の中で符号を除いて異なる元を定める。
このとき $\{T_1,\dots,T_k\}$ は JSJ トーラスの集まりである。
この定理はこの記事では証明しない。AFW15 Proposition 1.9（p. 11）による。同書の主張に、トーラスの非圧縮性と 1 の除外を仮定として加え、2 は符号を除いた形で述べた。1 の除外がなければ結論は成り立たない。たとえば $M$ が境界をもつ双曲多様体（内部に体積有限の完備な双曲計量をもつもの）で $T$ が境界平行なトーラスなら、$T$ の両側は $T^2\times[0,1]$ と $M$ の写しで、$M$ の写しはアトロイダルで Seifert 多様体でないので 2 の条件はかからないが、$\emptyset$ が thm-td-main の条件を満たすので $\{T\}$ は極小でない。$T_i$ は非圧縮なので、$T_i$ に接する成分は $S^1\times D^2$ でない。1 の除外があれば、Seifert の成分の境界でのファイバーは、ファイバー構造の取り方によらずイソトピーを除いて一意である（Hat3M Lemma 1.17、p. 26）。
例
| 多様体 | JSJ トーラス | JSJ 部品 |
|---|---|---|
| $S^3$、レンズ空間、閉じた Seifert 多様体で既約なもの | なし | $M$ 自身 |
| 閉じた 双曲多様体 | なし | $M$ 自身 |
| トーラス結び目の外部 | なし | $M$ 自身（Seifert 多様体） |
| 2 つのトーラス結び目の連結和の外部（ex-td-composite） | 2 枚 | トーラス結び目の外部 2 つと、3 つ穴の球面と $S^1$ の積 |
| Anosov なモノドロミーのトーラス束（ex-td-anosov） | ファイバー 1 枚 | $T^2\times[0,1]$ |
| トーラス結び目の外部 2 つの貼り合わせ（ex-td-double） | $0$ 枚か 1 枚 | ファイバーがそろえば $M$ 自身、そろわなければ外部 2 つ |
閉じた双曲多様体は普遍被覆が $\mathbb{R}^3$ なので既約で（Hat3M Proposition 1.6、p. 10）、アトロイダルである（AFW15 p. 12）。これらはこの記事では証明しない。
$A\in\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ を $\operatorname{tr}A>2$ の行列とし、$M$ を $A$ の誘導する $T^2$ の微分同相写像の 写像トーラス、$T$ をファイバーとする。$M$ は普遍被覆が $\mathbb{R}^3$ なので既約である。$\pi_1(M)\cong\mathbb{Z}^2\rtimes_A\mathbb{Z}$ なので $\pi_1(T)$ は単射で入り、$T$ は非圧縮である。$M$ は閉なので $T$ は境界平行でなく、$M$ はアトロイダルでない。$M$ は Seifert 多様体でもない（Hat3M pp. 48–49）。よって $\mathcal{T}=\emptyset$ は条件を満たさない。一方 $M\|T=T^2\times[0,1]$ は Seifert 多様体なので、$\{T\}$ は極小で、thm-td-main により JSJ トーラスはファイバーただ 1 枚である。部品 $T^2\times[0,1]$ は簡単だが、$M$ の複雑さはすべて貼り合わせの $A$ にある。
$K_1,K_2$ を自明でないトーラス結び目とし、$X_i$ を $K_i$ の外部、$N$ を $K_1\#K_2$ の外部とする。連結和を作る球面が $N$ に切り取る円環 $A$ と $\partial N$ の和の正則近傍は、3 つ穴の球面 $P$ と $S^1$ の積 $Y$ で、ファイバーは結び目のメリディアンである。残りは $X_1,X_2$ なので、$N=X_1\cup Y\cup X_2$ である。
$N$ は既約である（$\mathbb{R}^3$ の球面は球体を囲むので、Hat3M Theorem 1.1、p. 1）。$T_i:=\partial X_i$ は $Y$ の側で $\pi_1$ に単射で入る。$X_i$ の側で圧縮できるとすると、lem-td-compressible の証明と同じ手術で $X_i$ はソリッドトーラスになるが、$\pi_1(X_i)$ は可換でないのでそうならない。よって $T_i$ は両側で非圧縮で、$N$ の中でも非圧縮である（Hat3M p. 13）。$X_i$ の正則ファイバーは境界の上でメリディアンと 1 回交わるので、$Y$ のファイバーと異なる。$X_i$ と $Y$ は thm-td-criterion の 1 の除外に当たらない（$H_1(X_i)\cong\mathbb{Z}$ で $\pi_1(X_i)$ は可換でなく、$Y$ の境界は 3 成分である）。thm-td-criterion により $\{T_1,T_2\}$ が JSJ トーラスである。
$X$ を自明でないトーラス結び目の外部とし、$\varphi\colon\partial X\to\partial X$ を微分同相写像として $M:=X\cup_\varphi X$ とする。$f\in H_1(\partial X)$ を正則ファイバーの類とする。$\varphi_*f=\pm f$ なら、ファイバーはそろって貼り合わさり、$M$ は Seifert 多様体で JSJ トーラスはない（prop-td-matching）。$\varphi_*f\ne\pm f$ なら、$\partial X$ は両側で非圧縮で（ex-td-composite と同じ理由）、$M$ は既約なので（Hat3M p. 14 の (4)）、thm-td-criterion により $\partial X$ の 1 枚が JSJ トーラスである。同じ部品からでも、貼り方で分解は変わる。
次の例は、Seifert 部品を許さないと一意性が壊れることを示す（Hat3M p. 17 の例を標準形で書いたもの）。
$q_1,\dots,q_4$ を相異なる素数とし、$M:=M(0,0;1/q_1,1/q_2,1/q_3,1/q_4)$ とする（記号は Seifert多様体 の標準形）。底の球面の上で錐点を $1,2,3,4$ の順に円周状に並べ、$\{1,2\}$ と $\{3,4\}$ を分ける単純閉曲線 $\gamma$、$\{2,3\}$ と $\{4,1\}$ を分ける単純閉曲線 $\gamma'$ をとる。$T,T'$ をその逆像の縦のトーラスとする。$T$ で切り開くと $N_{12},N_{34}$ に、$T'$ で切り開くと $N_{23},N_{41}$ になる。ここで $N_{ij}=M(0,1;1/q_i,1/q_j)$ である。
$M$ は既約で、$T,T'$ は非圧縮で、4 つの $N_{ij}$ はアトロイダルである（Hat3M p. 17）。これらの事実はこの記事では証明しない。よって $\{T\}$ も $\{T'\}$ も、thm-td-existence の結論を満たす。
ところが 4 つの $N_{ij}$ はどの 2 つも同相でない。$N_{ij}$ の基本群は Seifert多様体 の定理「基本群の表示」から $G:=\langle x,y\mid x^{q_i}=y^{q_j}\rangle$（$x=c_i$、$y=c_j$、$h=x^{-q_i}$）である。$x^{q_i}$ は中心の元で、商は自由積 $\mathbb{Z}/q_i*\mathbb{Z}/q_j$ である。この自由積の中心は自明なので（トーラス結び目 の補題「自由積の中心」）、$G$ の中心は $\langle x^{q_i}\rangle$ である。したがって $G$ を中心で割って可換化した群は $\mathbb{Z}/q_i\oplus\mathbb{Z}/q_j$ で、その位数 $q_iq_j$ が組 $\{q_i,q_j\}$ を決める。
$M$ 自身は Seifert 多様体なので、thm-td-main の極小な集まりは空である。Seifert 部品を「これ以上切らない部品」として残すことで、選択の余地がなくなる。
反例
| 成り立たない主張 | 反例 | 満たすこと | 破れること |
|---|---|---|---|
| アトロイダルな部品への分割は一意である | ex-td-nonunique の $\{T\}$ と $\{T'\}$ | 非圧縮、各成分がアトロイダル | 部品の同相類の一致 |
| 条件を満たす集まりは極小でなくても一意である | $T^3$ の $\mathcal{T}=\emptyset$ と $\mathcal{T}=\{S^1\times S^1\times\{\ast\}\}$ | 非圧縮、各成分が Seifert 多様体 | イソトピーの類の一致 |
| アトロイダルな部品と Seifert の部品は排他的である | 三葉結び目の外部 | Seifert 多様体である | 排他性（アトロイダルでもある） |
| トーラスで切れば多様体は簡単になる | $S^3$ の結び目の管状近傍の境界 | $S^3$ の中のトーラス | 非圧縮性、部品の基本群の自明性 |
1 行目は上の例である。2 行目の $T^3$ は Seifert 多様体なので $\mathcal{T}=\emptyset$ が極小である。ファイバーのトーラス 1 枚で切った $T^2\times[0,1]$ も Seifert 多様体だが、この $\{T\}$ は極小でない。3 行目について、三葉結び目の外部は $M(0,1;\alpha_1/2,\alpha_2/3)$ の形で、Hat3M p. 17 の $M_i\cup M_{i+1}$ と同じ型なのでアトロイダルでもある。アトロイダルと Seifert の 2 つの型は重なり、定理は部品の型を排他的には分けない。4 行目で破れる条件は非圧縮で、トーラスは $S^3$ で必ず圧縮できる（$\pi_1(S^3)=1$）。
補足
基本群の分解．JSJ トーラスは非圧縮なので、JSJ 部品の基本群は $\pi_1(M)$ に単射で入り、$\pi_1(M)$ は、部品の基本群を頂点の群、$\mathbb{Z}^2$ を辺の群とするグラフ・オブ・グループスの基本群になる（AFW15 p. 10）。
特性部分多様体．境界が空かトーラスの和で、JSJ トーラスが少なくとも 1 枚ある $M$ について、Seifert の JSJ 部品と、Seifert の部品に接しない JSJ トーラスと、アトロイダルな部品に接する境界のトーラスの和を、Jaco–Shalen の特性部分多様体という。Seifert 多様体から $M$ への $\pi_1$ 単射な写像は、$S^1\times D^2$ などの例外を除いて、この中へホモトープできる（AFW15 p. 10、Theorem 1.8）。この事実はこの記事では証明しない。
グラフ多様体．境界が空かトーラスの和である向き付け可能で既約なコンパクト 3 次元多様体で、JSJ 部品がすべて Seifert 多様体であるものを グラフ多様体 という（AFW15 p. 59）。既約な Seifert多様体 と ex-td-composite の $N$ はグラフ多様体である。
幾何化との関係．アトロイダルな部品に何が起こるかを答えるのが 幾何化予想 である。その記事は閉多様体の場合のトーラス分解を出発点に、部品に幾何を与える。
歴史．この分解は Waldhausen が予告し、Jaco–Shalen と Johannson が独立に証明した（AFW15 p. 10）。Hat3M の幾何的な形の証明は、Seifert 部品の円環と縦のトーラスの議論に基づく。
関連項目
- 前提: Seifert多様体, 素分解(3次元多様体), 基本群
- 比較: 写像トーラス, トーラス結び目
- 例: 双曲多様体
- 発展: 幾何化予想, Mostowの剛性定理
参考文献
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