森–永田の定理

$V$ を $A$ を含む $K$ の離散付値環とする。付値環 の命題「付値環は整閉」により $V$ は整閉整域なので、$A$ 上整な $K$ の元は $V$ 上整であり $V$ に属する。よって $A'\subset V$ である。
逆に $y\in K$ が $A'$ に属さないとして、$y\notin V$ となる $V$ を作る。$0\in A'$ なので $y\ne0$ である。$B:=A[y^{-1}]\subset K$ とおく。$B$ は Noether 環 $A$ 上 1 元で生成されるので Noether 整域で、商体は $K$ である。
$y^{-1}$ は $B$ の単元でない。実際、単元なら $y\in B$ なので $y=c_0+c_1y^{-1}+\cdots+c_ny^{-n}$（$c_i\in A$）と書け、$y^n$ を掛けると $y^{n+1}-c_0y^n-\cdots-c_n=0$ となり、$y$ が $A$ 上整になって矛盾する。
$\mathfrak P$ を $y^{-1}B$ の上の極小な素イデアルとする。Krullの高さ定理 の定理「Krullの一般高さ定理」により $\operatorname{ht}\mathfrak P\le1$ で、$\mathfrak P$ は $0$ でない元 $y^{-1}$ を含むので $\operatorname{ht}\mathfrak P=1$ である。したがって $B_{\mathfrak P}$ は Krull 次元 $1$ の Noether 局所整域で、商体は $K$ である。$C$ を $K$ における $B_{\mathfrak P}$ の整閉包とする。Krull–秋月の定理 の系「整閉包は Dedekind 整域」により $C$ は Dedekind整域 である。$B_{\mathfrak P}\subset C$ は整拡大なので、上昇定理 の定理「整拡大の上昇定理」の 1 により $\mathfrak N\cap B_{\mathfrak P}=\mathfrak PB_{\mathfrak P}$ となる $C$ の素イデアル $\mathfrak N$ があり、$\mathfrak N\ne0$ である。$B_{\mathfrak P}$ は体でないので、整拡大 の命題「体であることの判定」により $C$ も体でない。Dedekind整域 の定理「Noether整域におけるDedekind整域の特徴づけ」の 3 により $V:=C_{\mathfrak N}$ は離散付値環で、商体は $K$ である。
$A\subset B\subset B_{\mathfrak P}\subset C\subset V$ であり、$y^{-1}\in\mathfrak PB_{\mathfrak P}\subset\mathfrak N\subset\mathfrak NC_{\mathfrak N}$ なので、$y^{-1}$ は $V$ の単元でない。もし $y\in V$ なら $y^{-1}$ は $V$ の単元になるので、$y\notin V$ である。$\square$

Krull–秋月の定理 の系「整閉包は Dedekind 整域」により $A'$ は Dedekind 整域である。Dedekind 整域は Noether 整閉整域なので（Dedekind整域 の命題「Dedekind整域の基本性質」）、Krull整域 の定理「Noether整閉整域はKrull整域」により Krull 整域である。$\square$

$x$ の存在：$A_{\mathfrak p}$ の一様化元を $a/s$（$a\in\mathfrak p$、$s\in A\setminus\mathfrak p$）と書くと $v_{\mathfrak p}(a)=1$ である。Krull 整域の条件 (3) により、$\mathfrak p$ 以外で $a$ を含む $\mathfrak q\in X^1(A)$ は有限個で、それを $\mathfrak q_1,\dots,\mathfrak q_m$ とする。$\mathfrak q_i\subset\mathfrak p$ なら、$\mathfrak q_i\ne0$ と $\operatorname{ht}\mathfrak p=1$ から $\mathfrak q_i=\mathfrak p$ となり矛盾するので、$c_i\in\mathfrak q_i\setminus\mathfrak p$ がとれる。$k:=\max_iv_{\mathfrak q_i}(a)$（$m=0$ なら $k=0$）とし、$c:=(c_1\cdots c_m)^k$、$x:=a/c$ とおく。$\mathfrak p$ は素イデアルなので $c\notin\mathfrak p$ で、$v_{\mathfrak p}(x)=1$ である。$v_{\mathfrak q_i}(c)\ge k\,v_{\mathfrak q_i}(c_i)\ge k\ge v_{\mathfrak q_i}(a)$ なので $v_{\mathfrak q_i}(x)\le0$ である。それ以外の $\mathfrak q\ne\mathfrak p$ では $v_{\mathfrak q}(a)=0\le v_{\mathfrak q}(c)$ なので $v_{\mathfrak q}(x)\le0$ である。
$\mathfrak p^{(n)}=x^nA\cap A$：$y\in\mathfrak p^{(n)}$ なら、$v_{\mathfrak p}(y/x^n)=v_{\mathfrak p}(y)-n\ge0$ で、$\mathfrak q\ne\mathfrak p$ では $v_{\mathfrak q}(y/x^n)=v_{\mathfrak q}(y)-n\,v_{\mathfrak q}(x)\ge0$ である。付値判定により $y/x^n\in A$、すなわち $y\in x^nA$ である。逆に $y=x^nz$（$z\in A$）が $A$ に属すれば $v_{\mathfrak p}(y)=n+v_{\mathfrak p}(z)\ge n$ なので $y\in\mathfrak p^{(n)}$ である。
$\varphi_n$：いま示したことから $y/x^n\in A$ なので $\varphi_n$ は定義され、$A$ 線形である。$\varphi_n(y)=0$ は $v_{\mathfrak p}(y/x^n)\ge1$、すなわち $v_{\mathfrak p}(y)\ge n+1$ と同値なので、核は $\mathfrak p^{(n+1)}$ である。$\square$

段 1．$\mathfrak p\in X^1(A)$ と $n\ge1$ について、$A/\mathfrak p^{(n)}$ は Noether $A$ 加群である。$n=1$ では $A/\mathfrak p$ は Noether 環で、その $A$ 部分加群は $A/\mathfrak p$ のイデアルにほかならないので正しい。lem-mn-parameter により $\mathfrak p^{(n)}/\mathfrak p^{(n+1)}$ は $A/\mathfrak p$ の $A$ 部分加群と同型なので Noether 加群である。完全列
$$ 0\to\mathfrak p^{(n)}/\mathfrak p^{(n+1)}\to A/\mathfrak p^{(n+1)}\to A/\mathfrak p^{(n)}\to0 $$
の両端が Noether 加群なら中央も Noether 加群なので、$n$ に関する帰納法で段 1 が従う。
段 2．$0$ でない $a\in A$ について $A/aA$ は Noether $A$ 加群である。$a$ が単元なら $A/aA=0$ である。そうでなければ、$v_{\mathfrak p}(a)>0$ となる $\mathfrak p\in X^1(A)$ は条件 (3) により有限個で、それを $\mathfrak p_1,\dots,\mathfrak p_r$、$n_i:=v_{\mathfrak p_i}(a)$ とする。$b\in A$ について $b\in aA$ はすべての $\mathfrak p$ で $v_{\mathfrak p}(b)\ge v_{\mathfrak p}(a)$ となることと同値で、$\mathfrak p\ne\mathfrak p_i$ では $v_{\mathfrak p}(a)=0\le v_{\mathfrak p}(b)$ は自動的なので、
$$ aA=\mathfrak p_1^{(n_1)}\cap\cdots\cap\mathfrak p_r^{(n_r)} $$
である。よって $A/aA\to\bigoplus_iA/\mathfrak p_i^{(n_i)}$ は単射であり、段 1 により右辺は Noether 加群なので、$A/aA$ も Noether 加群である。
段 3．$I$ を $A$ のイデアルとする。$I=0$ なら有限生成である。$0\ne a\in I$ をとると、段 2 により $I/aA$ は有限生成なので、その生成元の代表と $a$ で $I$ は生成される。$\square$

thm-mn-main の 1 により $A'$ は Krull 整域なので、thm-mn-mori-nishimura により、各 $\mathfrak P\in X^1(A')$ について $A'/\mathfrak P$ が Noether 環であることを示せばよい。$\mathfrak p:=\mathfrak P\cap A$ とおく。$A\subset A'$ は整拡大なので、上昇定理 の系「整拡大では次元が変わらない」により $\dim A'=\dim A\le2$、$\dim A'/\mathfrak P=\dim A/\mathfrak p$ である。$A'/\mathfrak P$ の素イデアルの長さ $d$ の鎖は、$0\subsetneq\mathfrak P$ をつなげると $A'$ の長さ $d+1$ の鎖になるので、$d+1\le2$、すなわち $\dim A'/\mathfrak P\le1$ である。
$\dim A'/\mathfrak P=0$ なら、整域 $A'/\mathfrak P$ は体なので Noether 環である。$\dim A'/\mathfrak P=1$ なら、$A/\mathfrak p$ は Krull 次元 $1$ の Noether 整域で、商体は $\kappa(\mathfrak p)$ である。$\mathfrak P\cap A=\mathfrak p$ なので $A/\mathfrak p\subset A'/\mathfrak P\subset\kappa(\mathfrak P)$ であり、thm-mn-main の 3 により $\kappa(\mathfrak P)$ は $\kappa(\mathfrak p)$ の有限次拡大である。Krull–秋月の定理 の定理「Krull–秋月の定理」により、$A'/\mathfrak P$ は Noether 環である。$\square$