補間理論

前提知識: Banach空間, Lp空間, Riesz–Thorinの補間定理, Marcinkiewiczの補間定理

Riesz–Thorinの補間定理 と Marcinkiewiczの補間定理 は、どちらも「線形作用素が 2 つの空間で有界なら、その間の空間でも有界である」という形をしている。補間理論（interpolation theory）は、この形を $L^p$ 空間から切り離し、2 つの Banach 空間 $A_0$、$A_1$ の組から「間の空間」を系統的に作る方法を研究する。作り方には、分解 $a=a_0+a_1$ の大きさを測る 実補間法（J. Peetre の $K$ 法）と、帯領域の上の正則関数を使う 複素補間法（A. P. Calderón）がある。どちらの方法でも、両端で有界な作用素は間の空間でも有界になり、その作用素ノルムは端のノルムの重み付き幾何平均 $M_0^{1-\theta}M_1^{\theta}$ 以下になる。$L^p$ 空間に当てると、複素法は Riesz–Thorin の定理を、実法は Marcinkiewicz の定理の一般形を与える。
この記事で示すことは次のとおりである。

1. 実補間空間 $(A_0,A_1)_{\theta,q}$ は Banach 空間で、$A_0\cap A_1$ と $A_0+A_1$ の間にあり、両端で有界な作用素はノルム $M_0^{1-\theta}M_1^{\theta}$ 以下でこの空間に作用する（thm-interp-real）。
2. 重み付き $L^1$ 空間の対では $K$ 汎関数と実補間空間が正確に計算でき、重みの幾何平均 $w_0^{1-\theta}w_1^{\theta}$ の $L^1$ 空間が現れる（prop-interp-weighted）。
3. 複素補間空間 $[A_0,A_1]_\theta$ も同じ性質をもつ（thm-interp-complex）。

対と中間空間

この節では $\mathbb K=\mathbb R$ または $\mathbb C$ 上の Banach 空間を考える（複素補間法の節だけは $\mathbb C$ 上とする）。

$\mathfrak A$ は和 $a_0+a_1$ を計算する場所としてだけ使う。たとえば有限測度空間の上の $1\le p_0\le p_1\le\infty$ では、Hölder の不等式から $L^{p_1}\subset L^{p_0}$ は連続な包含なので、$\mathfrak A=L^{p_0}$ とすればよい。

$T\colon\overline A\to\overline B$ なら、$a=a_0+a_1$ について $\|Ta\|_{\Sigma(\overline B)}\le M_0\|a_0\|_{A_0}+M_1\|a_1\|_{A_1}$ なので、$T$ は $\Sigma$ の間で有界である。定義は BL76 §2.4（Definition 2.4.1 と式 (6)、pp. 26–27）に従った。Riesz–Thorin の定理は、$1/p=(1-\theta)/p_0+\theta/p_1$ のとき $L^p$ が $(L^{p_0},L^{p_1})$ の指数 $\theta$ の完全な補間空間であることを述べている（同 p. 27）。
中間空間であるだけでは補間空間とは限らない。

実補間法

$a\in\Sigma(\overline A)$ を $a_0+a_1$ と分けるとき、$A_0$ の部分と $A_1$ の部分のどちらを重く見るかを $t>0$ で調整する。

$t$ が小さいと $A_1$ の部分は安く、$t$ が大きいと $A_0$ の部分が安い。$K(1,a)=\|a\|_\Sigma$ である。

2 により $t\mapsto K(t,a)$ は単調なので可測である。$0<\theta<1$、$1\le q\le\infty$ とし、$(0,\infty)$ 上の非負可測関数 $\varphi$ について
$$ \Phi_{\theta,q}(\varphi):=\Bigl(\int_0^\infty\bigl(t^{-\theta}\varphi(t)\bigr)^q\,\frac{dt}{t}\Bigr)^{1/q}\quad(q<\infty),\qquad \Phi_{\theta,\infty}(\varphi):=\sup_{t>0}t^{-\theta}\varphi(t) $$
とおく。$\Phi_{\theta,q}$ は測度 $dt/t$ についての重み付き $L^q$ ノルムなので、Minkowski の不等式（Lp空間）により $\Phi_{\theta,q}(\varphi+\psi)\le\Phi_{\theta,q}(\varphi)+\Phi_{\theta,q}(\psi)$ である。また変数を $t=su$ と変えると、$s>0$ について
$$ \Phi_{\theta,q}\bigl(\varphi(\cdot/s)\bigr)=s^{-\theta}\,\Phi_{\theta,q}(\varphi) $$
である（測度 $dt/t$ は $t\mapsto st$ で変わらない）。$c_{\theta,q}:=\Phi_{\theta,q}(\min(1,t))$ とおくと、$q<\infty$ なら $c_{\theta,q}=\bigl(q\theta(1-\theta)\bigr)^{-1/q}$、$q=\infty$ なら $c_{\theta,\infty}=1$ である。

$\|a\|_{\theta,q}<\infty$ は、$t\to0$ と $t\to\infty$ の両方で $K(t,a)$ が $t^\theta$ の程度に抑えられることを言っている。

$T$ は分解を分解に移すので、$K$ 汎関数の $t$ の目盛りが $M_1/M_0$ 倍にずれ、それが因子 $(M_1/M_0)^\theta$ になる。この形は BL76 Theorem 3.1.2（pp. 40–41）にあり、完備性は同 Theorem 3.4.2 (a)（p. 47）である。

重み付き $L^1$ 空間の場合

$(X,\mu)$ を σ-有限な測度空間とし、$w_0,w_1\colon X\to(0,\infty)$ を可測関数とする。$L^1(w):=\{f\mid\int_X\lvert f\rvert w\,d\mu<\infty\}$（ほとんど至るところ等しい関数を同一視する）、$\|f\|_{L^1(w)}:=\int\lvert f\rvert w\,d\mu$ とおく。$L^1(w_j)\subset L^1(\min(w_0,w_1))$ は連続な包含なので、$(L^1(w_0),L^1(w_1))$ は Banach 空間の対である。

thm-interp-real の 3 と合わせると、$L^1(w_0)$ と $L^1(w_1)$ の上でノルム $M_0$、$M_1$ の作用素は、$L^1(w_0^{1-\theta}w_1^\theta)$ の上でノルム $M_0^{1-\theta}M_1^{\theta}$ 以下になる。これは $L^p$ の重みを動かす Stein–Weiss の補間定理（BL76 Theorem 5.4.1、p. 115）の $p=1$ の場合である。

複素補間法

この節では Banach 空間はすべて $\mathbb C$ 上とする。帯 $S:=\{z\in\mathbb C\mid0\le\operatorname{Re}z\le1\}$ とその内部 $S^\circ$ を使う。Banach 空間 $E$ に値をとる関数 $f$ が開集合の上で 正則 であるとは、各点 $z$ で $E$ のノルムについての極限 $f'(z)=\lim_{h\to0}(f(z+h)-f(z))/h$ が存在することをいう。$E$ 上の連続線形汎関数 $\varphi$ と合成した $\varphi\circ f$ は、通常の意味で正則である。

$[A_0,A_1]_\theta$ が $\|\cdot\|_{[\theta]}$ について完備であることは、$\mathcal F(\overline A)$ が Banach 空間で、$[A_0,A_1]_\theta$ が $f\mapsto f(\theta)$ の核による商と等長であることから従う。この記事では証明しない（BL76 Lemma 4.1.1・Theorem 4.1.2、p. 88）。定義と thm-interp-complex は同書 §4.1 の形に従った。証明の 2 は、Riesz–Thorinの補間定理 の証明で指数を複素変数にしたのと同じ考え方を、空間の対の言葉で書いたものである。

Lp 空間への応用

ここで挙げる同定は、この記事では証明しない。$(X,\mu)$ を測度空間とする。

1. 複素補間：$1\le p_0,p_1<\infty$、$0<\theta<1$、$1/p=(1-\theta)/p_0+\theta/p_1$ なら、$[L^{p_0},L^{p_1}]_\theta=L^p$ でノルムも一致する（BL76 Theorem 5.1.1、pp. 106–107）。thm-interp-complex の 2 と合わせると Riesz–Thorin の補間定理が得られる（BL76 p. 107）。
2. 実補間：$f$ の 減少再配列 を $f^*(s):=\inf\{\lambda\ge0\mid\mu(\{\lvert f\rvert>\lambda\})\le s\}$ とすると、$f\in L^1+L^\infty$ について $K(t,f;L^1,L^\infty)=\int_0^tf^*(s)\,ds$ である。これと再反復定理から、$1\le p_0< p_1\le\infty$、$1\le q\le\infty$、$1/p=(1-\theta)/p_0+\theta/p_1$ について $(L^{p_0},L^{p_1})_{\theta,q}$ は Lorentz 空間 $L^{p,q}$（同値なノルム。$f^*$ と Lorentz 空間の定義は BL76 §1.3、pp. 7–8）に一致し、とくに $(L^{p_0},L^{p_1})_{\theta,p}=L^p$ である（BL76 Theorem 5.2.1、pp. 109–110）。thm-interp-real の 3 と合わせると、Marcinkiewicz の補間定理の一般形が得られる（同 Theorem 5.3.2、p. 113）。
3. Sobolev 空間：Tay18a §2 は、境界で $0$ に近づく条件を課さない形で複素補間空間を定め、$[L^2(\mathbb R^n),H^k(\mathbb R^n)]_\theta=H^{k\theta}(\mathbb R^n)$（式 (2.17)、p. 9）などを示している。Sobolev空間 の非整数階を整数階の間の補間で捉える見方である。

条件を外したときの反例

補足

• 実補間法には $K$ 法と同値な $J$ 法があり、$0<\theta<1$ では同じ空間を与える（BL76 Theorem 3.3.1、p. 44）。
• 補間空間の補間空間がまた補間空間で書けるという再反復定理（BL76 §3.5、§4.6）が、具体的な空間の同定で繰り返し使われる。
• 補間理論は Schur、M. Riesz、Thorin、Marcinkiewicz、Zygmund の古典的な定理に始まり、Lions、Peetre、Calderón、Stein、Gagliardo らが決定的な寄与をした（Bre11 Chapter 4 の Comments 5、p. 117）。

関連項目

• 前提: Banach空間, Lp空間, Hahn–Banachの定理
• 具体例: Riesz–Thorinの補間定理, Marcinkiewiczの補間定理
• 応用: Sobolev空間, Fubini–Tonelliの定理