一般線形群

1 ならば 2 と 3 は定義から明らかである。
2 ならば 4。$AB=I$ の両辺の行列式をとると、積の公式により $\det A\cdot\det B=\det I=1$ である。$R$ は可換なので、これは $\det A$ が単元で $(\det A)^{-1}=\det B$ であることを意味する。3 ならば 4 も $\det B\cdot\det A=1$ から同様である。
4 ならば 1。$u:=\det A\in R^\times$ とし、$B:=u^{-1}\operatorname{adj}A$ とおく。$R$ が可換なので、スカラー $u^{-1}$ は行列の積と交換できる。余因子行列の公式 $A\,\operatorname{adj}A=\operatorname{adj}A\,A=uI$ から
$$ AB=u^{-1}(A\,\operatorname{adj}A)=u^{-1}uI=I,\qquad BA=u^{-1}(\operatorname{adj}A\,A)=I $$
であり、$A\in\mathrm{GL}_n(R)$、$A^{-1}=B$ である（$n=1$ のときは $\operatorname{adj}A=(1)$ と約束する。$A=(a)$ なら $B=(a^{-1})$ である）。
体 $k$ では $k^\times=k\setminus\{0\}$ なので、最後の主張は 1 と 4 の同値の言い換えである。

prop-general-linear-group-det により $A\in\mathrm{GL}_n(R)$ なら $\det A\in R^\times$ であり、積の公式 $\det(AB)=\det A\det B$ により $\det$ は群準同型である。$u\in R^\times$ に対し、対角行列 $\operatorname{diag}(u,1,\dots,1)$ の行列式は対角成分の積 $u$ であり（行列式の記事の命題「三角行列と区分三角行列の行列式」）、prop-general-linear-group-det によりこの行列は $\mathrm{GL}_n(R)$ に属する。よって $\det$ は全射である。
核は $\det A=1$ となる $A\in\mathrm{GL}_n(R)$ の全体である。$\det A=1$ を満たす $A\in M_n(R)$ は prop-general-linear-group-det により自動的に $\mathrm{GL}_n(R)$ に属するので、核は $\mathrm{SL}_n(R)$ に等しい。準同型の核は正規部分群であり（群準同型の記事の命題「核は正規部分群で像は部分群」）、最後の同型は群の第1同型定理（同じ記事の定理「群の第1同型定理」）による。

体上の正方行列が可逆であることは、その列ベクトルが線形独立であることと同値である（行列式の記事の定理「正則性の判定」の 1 と 3）。したがって、$\mathbb{F}_q^n$ のベクトルの列 $(a_1,\dots,a_n)$ で線形独立なものの個数を数えればよい。
$0\leq j\leq n-1$ とし、線形独立な $a_1,\dots,a_j$ が選ばれているとする（$j=0$ なら何も選ばれていない）。$W_j$ をそれらが張る部分空間とする（$W_0=\{0\}$）。$a_1,\dots,a_j,a_{j+1}$ が線形独立であることは $a_{j+1}\notin W_j$ と同値である。実際、$a_{j+1}\in W_j$ なら $a_{j+1}=\sum_{i\leq j}c_ia_i$ は自明でない線形関係を与える。逆に $\sum_{i\leq j+1}c_ia_i=0$ が自明でない関係なら、$c_{j+1}=0$ とすると $a_1,\dots,a_j$ の線形独立性からすべての $c_i$ が $0$ となって矛盾するので $c_{j+1}\neq0$ であり、$a_{j+1}=-c_{j+1}^{-1}\sum_{i\leq j}c_ia_i\in W_j$ である。
$W_j$ はちょうど $q^j$ 個の元をもつ。写像 $\mathbb{F}_q^j\to W_j$、$(c_1,\dots,c_j)\mapsto\sum_ic_ia_i$ は $W_j$ の定義から全射であり、線形独立性から単射だからである。よって $a_{j+1}$ の選び方は $q^n-q^j$ 通りであり、これを $j=0,1,\dots,n-1$ について掛け合わせたものが $|\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)|$ である。
$\mathrm{SL}_n$ について。cor-general-linear-group-det-hom により $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)/\mathrm{SL}_n(\mathbb{F}_q)\cong\mathbb{F}_q^\times$ であり、$|\mathbb{F}_q^\times|=q-1$ である。Lagrangeの定理により $|\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)|=|\mathrm{SL}_n(\mathbb{F}_q)|\cdot(q-1)$ である。

$a\in R^\times$ なら $aI$ は逆元 $a^{-1}I$ をもち、$R$ が可換なので任意の $B\in M_n(R)$ について $(aI)B=aB=B(aI)$ である。よって $aI$ は $\mathrm{GL}_n(R)$ の中心に属する。$\det(aI)=a^n$ なので、$aI\in\mathrm{SL}_n(R)$ であることは $a^n=1$ と同値であり（このとき $a\cdot a^{n-1}=1$ から $a$ は単元）、そのような $aI$ は $\mathrm{SL}_n(R)$ の中心に属する。
逆を示す。$n=1$ なら $M_1(R)=R$ のすべての元がスカラーなので示すことはない。$n\geq2$ とし、$A=(a_{kl})$ が $\mathrm{SL}_n(R)$ のすべての元と交換するとする（$\mathrm{GL}_n(R)$ の中心の元は、とくに $\mathrm{SL}_n(R)$ の元と交換する）。$i\neq j$ について $A(I+E_{ij})=(I+E_{ij})A$ から $AE_{ij}=E_{ij}A$ である。両辺の $(k,l)$ 成分は
$$ (AE_{ij})_{kl}=a_{ki}\,\delta_{jl},\qquad (E_{ij}A)_{kl}=\delta_{ik}\,a_{jl} $$
である。$l=j$、$k\neq i$ とおくと $a_{ki}=0$ を得る。$k=i$、$l=j$ とおくと $a_{ii}=a_{jj}$ を得る。$n\geq2$ なので各 $i$ に対し $j\neq i$ がとれ、$A$ の非対角成分はすべて $0$、対角成分はすべて等しい。よって $A=aI$（$a\in R$）である。$A\in\mathrm{GL}_n(R)$ なら $\det A=a^n$ が単元なので $a$ は単元であり、$A\in\mathrm{SL}_n(R)$ なら $a^n=1$ である。以上で 1 と 2 が示された。体 $k$ については $a\mapsto aI$ が $k^\times$ から中心への同型を与える。

$I+E_{12}$ と $I+E_{21}$ はともに $\mathrm{SL}_n(R)$ に属する。$E_{12}E_{21}=E_{11}$、$E_{21}E_{12}=E_{22}$ だから
$$ (I+E_{12})(I+E_{21})-(I+E_{21})(I+E_{12})=E_{12}E_{21}-E_{21}E_{12}=E_{11}-E_{22} $$
であり、$R$ は零環でないので $1\neq0$、よって $E_{11}-E_{22}\neq0$ である。したがってこの 2 元は交換しない。