射影空間への射

$X_i:=X_{s_i}$ とおく。$X_i$ たちは $X$ を覆う。
構成。 $X_i$ の上で $s_j=(s_j/s_i)\,s_i$ と書き、環準同型
$$ \alpha_i\colon A[x_0/x_i,\dots,x_n/x_i]\to\Gamma(X_i,\mathcal{O}_X),\qquad x_j/x_i\mapsto s_j/s_i $$
を定める（左辺は $A$ 上の多項式環で、$x_i/x_i=1$ は $s_i/s_i=1$ に写る）。アフィンスキームへの射は大域切断の環準同型で決まる（スキームの命題「アフィンスキームへの射と大域切断」）ので、$\alpha_i$ に対応する $A$ 上の射 $\varphi_i\colon X_i\to U_i$ がただ 1 つある。
$X_i\cap X_j$ の上で $\varphi_i$ と $\varphi_j$ が一致することを示す。$X_i\cap X_j$ の上では $s_j/s_i$ は単元で、逆元は $s_i/s_j$ である。$U_i\cap U_j$ は $U_i$ の中で $x_j/x_i$ が単元になる開集合 $\operatorname{Spec}A[x_0/x_i,\dots,x_n/x_i][x_i/x_j]$ なので、$\varphi_i$ は $X_i\cap X_j$ を $U_i\cap U_j$ に写し、その上で $x_i/x_j\mapsto s_i/s_j$ となる。$U_i\cap U_j$ の座標環は $x_k/x_i$（$k=0,\dots,n$）と $x_i/x_j$ で生成される。$\varphi_j$ による $x_k/x_i=(x_k/x_j)(x_i/x_j)^{-1}$ の引き戻しは $(s_k/s_j)(s_i/s_j)^{-1}=s_k/s_i$ であり、$x_i/x_j$ の引き戻しは $s_i/s_j$ である。どちらも $\varphi_i$ による引き戻しと一致するので、$X_i\cap X_j$ からアフィンスキーム $U_i\cap U_j$ への 2 つの射は一致する。よって $\varphi_i$ は貼り合わさって $A$ 上の射 $\varphi\colon X\to\mathbb{P}^n_A$ を定める。
逆像。 $\varphi(X_i)\subset U_i$ である。逆に $x\in X_j$ で $\varphi(x)\in U_i$ とすると、$x_i/x_j$ は $\varphi(x)$ の近傍で単元なので、その引き戻し $s_i/s_j$ は $x$ で単元であり、$(s_i)_x=(s_i/s_j)_x(s_j)_x$ は $\mathcal{L}_x$ の基底である。よって $x\in X_i$ であり、$\varphi^{-1}(U_i)=X_i$ である。
層の同型。 $\varphi^*\mathcal{O}(1)$ は $X_i$ の上で $\varphi^*x_i$ を基底とし、$\varphi^*x_j=\varphi^*(x_j/x_i)\,\varphi^*x_i=(s_j/s_i)\,\varphi^*x_i$ をみたす。$X_i$ の上の同型 $\theta_i\colon\varphi^*\mathcal{O}(1)|_{X_i}\to\mathcal{L}|_{X_i}$ を $\varphi^*x_i\mapsto s_i$ で定めると、$\theta_i(\varphi^*x_j)=(s_j/s_i)\,s_i=s_j$ である。$X_i\cap X_j$ の上で $\theta_i$ と $\theta_j$ はどちらも基底 $\varphi^*x_j$ を $s_j$ に写すので一致し、貼り合わさって $\theta(\varphi^*x_j)=s_j$ をみたす同型 $\theta$ を与える。
一意性。 射 $\psi\colon X\to\mathbb{P}^n_A$ と同型 $\eta\colon\psi^*\mathcal{O}(1)\to\mathcal{L}$ が $\eta(\psi^*x_i)=s_i$ をみたすとする。$\psi(x)\in U_i$ であることは $x_i$ が $\psi(x)$ で $\mathcal{O}(1)$ の基底であること、すなわち $(\psi^*x_i)_x$ が $(\psi^*\mathcal{O}(1))_x$ の基底であることと同値である（局所準同型 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n_A,\psi(x)}\to\mathcal{O}_{X,x}$ で単元と非単元は保たれる）。$\eta$ で移せば、これは $x\in X_i$ と同値なので $\psi^{-1}(U_i)=X_i$ である。$X_i$ の上で $\psi^*(x_j/x_i)$ は $\psi^*x_j=\psi^*(x_j/x_i)\,\psi^*x_i$ をみたす関数で、$\eta$ を施すと $s_j=\psi^*(x_j/x_i)\,s_i$、すなわち $\psi^*(x_j/x_i)=s_j/s_i$ である。よって $\psi|_{X_i}\colon X_i\to U_i$ は $\alpha_i$ に対応する射 $\varphi_i$ に等しく、$\psi=\varphi$ である。
全単射。 射 $\varphi$ に組 $(\varphi^*\mathcal{O}(1);\varphi^*x_i)$ を対応させる写像を考える。上の存在と一意性により、任意の組 $(\mathcal{L};s_i)$ はある $\varphi$ の組と同型であり、同型な組は同じ射を定める（同型 $\mathcal{L}\to\mathcal{L}'$ を $\theta$ に合成すればよい）。$\varphi$ の組から構成した射は、一意性により $\varphi$ 自身である。$\square$

thm-mtps-correspondence により $\varphi^{-1}(U_i)=X_i$ であり、$\varphi|_{X_i}\colon X_i\to U_i$ は 2 の環準同型に対応する。$\varphi$ が閉埋め込みなら、閉埋め込みの命題「閉埋め込みは終域の上で局所的に判定できる」の (R2) をアフィン開集合 $U_i$ に当てて、$X_i=\varphi^{-1}(U_i)$ はアフィンで 2 の写像は全射である。逆に 1・2 が成り立てば、$X_i\cong\operatorname{Spec}\Gamma(X_i,\mathcal{O}_X)$ であり、全射な環準同型が定めるアフィンスキームの射は閉埋め込みである（閉埋め込みの命題「環の全射が定める閉埋め込み」）。よって $\varphi|_{X_i}\colon X_i\to U_i$ は閉埋め込みである。$U_i$ たちは $\mathbb{P}^n_A$ を覆うので、同じ命題の (R4) により $\varphi$ は閉埋め込みである。$\square$

$\mathfrak{a}:=\mathfrak{m}_AB$ とおくと $\mathfrak{a}\subset\mathfrak{m}_B$ であり、2 により $\mathfrak{m}_B=\mathfrak{a}+\mathfrak{m}_B^2=\mathfrak{a}+\mathfrak{m}_B\cdot\mathfrak{m}_B$ である。$B$ は Noether なので $\mathfrak{m}_B$ は有限生成 $B$ 加群であり、加群 $\mathfrak{m}_B/\mathfrak{a}$ に中山の補題を当てると $\mathfrak{m}_B=\mathfrak{a}=\mathfrak{m}_AB$ を得る。次に 3 により $B$ は有限生成 $A$ 加群であり、$1\in B$ が生成する部分加群を $f(A)$ とすると、1 により $B=f(A)+\mathfrak{m}_B=f(A)+\mathfrak{m}_AB$ である。$A$ 加群 $B/f(A)$ に中山の補題を当てると $B=f(A)$、すなわち $f$ は全射である。$\square$

必要性。 $\varphi$ を閉埋め込みとし、$X$ を $\mathbb{P}^n_k$ の閉部分スキームとみる。上の注意により条件 1 は閉点の単射性なので成り立つ。条件 2 を示す。$P$ を閉点とし、座標を 1 次変換で取り替えて $\varphi(P)=[1:0:\dots:0]$ としてよい。$U_0=\operatorname{Spec}k[y_1,\dots,y_n]$（$y_j=x_j/x_0$）で $\varphi(P)$ は原点であり、その極大イデアルは $y_1,\dots,y_n$ で生成される。$s\in V$ が $P$ で消えることは $s=\varphi^*\ell$、$\ell\in kx_1+\dots+kx_n$ と同値で、$\mathcal{L}$ を $s_0$ で自明化すると $s/s_0=\varphi^*(\ell/x_0)$ は $y_1,\dots,y_n$ の像の 1 次結合である。閉埋め込みなので局所環の写像 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n,\varphi(P)}\to\mathcal{O}_{X,P}$ は全射であり、$y_1,\dots,y_n$ の像は $\mathfrak{m}_P$ を生成し、その類は $\mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2$ を張る。
十分性。 条件 1・2 を仮定する。
要点：(1) $\varphi$ は固有である。(2) 条件 1 と閉点の稠密性から $\varphi$ は単射である。(3) 固有かつ準有限なので $\varphi$ は有限射である。(4) 条件 2 と lem-mtps-two-nakayama により、閉点での局所環の写像 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n,q}\to(\varphi_*\mathcal{O}_X)_q$ は全射である。(5) 余核の連接層が消えるので $\varphi$ は閉埋め込みである。