等化子

同義語：イコライザー

概要

定義

二つの写像が一致する領域を取り出す構成を、一般の圏で定める。

平行射の等化子

圏 $\mathcal C$ の平行な二本の射 $f,g:A\to B$ の等化子（equalizer）は、射 $e:E\to A$ で $fe=ge$ を満たし、次の普遍性を持つものである。任意の $a:X\to A$ で $fa=ga$ となるものに対し、$eu=a$ を満たす射 $u:X\to E$ がただ一つ存在する。

$\operatorname{Eq}(f,g)$ は通常、対象 $E$ を指すが、構造射 $e$ も普遍性の一部である。二本の射が「平行」とは始域・終域が両方とも同じという意味である。標準的な定義は Rie16 §3.1による。

直感

等化子へ入るには、元の対象へ写してから二つの検査結果が一致することを確認すればよい。集合の等式を解く感覚を一般化しているが、一般の圏に要素や部分集合を仮定する定義ではない。

例と反例

集合での一致する部分

集合では $E=\{a\in A:f(a)=g(a)\}$ と包含 $e:E\hookrightarrow A$ が等化子になる。$fa=ga$ なら写像 $a:X\to A$ の値はすべて $E$ に入り、同じ対応を終域 $E$ として読むことで一意に因子化する。たとえば $f:\mathbb Z\to\mathbb Z/2\mathbb Z$ が剰余写像、$g$ が零の定値写像なら、等化子は偶数の部分集合である。位相空間の圏 $\mathbf{Top}$ でも同様に、$\{x\mid f(x)=g(x)\}$ に相対位相を入れた部分空間が等化子になる。

線形写像の差の核

線形写像 $f,g:V\to W$ では $\ker(f-g)\hookrightarrow V$ が等化子になる。$fa=ga$ と $(f-g)a=0$ が同値であり、因子化後の写像も線形だからである。差が定義できない一般の圏で、記号 $f-g$ を使うことはできない。

順序圏の平行射

半順序集合の圏では、同じ始域・終域の射は高々一本なので、存在する平行射は必ず $f=g$ である。この場合の等化子は $\operatorname{id}_A:A\to A$。任意の $a:X\to A$ は条件を満たし、その因子化は $a$ 自身に限られる。

反例：一致する部分を一部だけ取っても等化子でない

集合 $A=\{0,1\}$、$f=g=\operatorname{id}_A$ に対し、包含 $\{0\}\hookrightarrow A$ は二本の射を等しくする。しかし $a=\operatorname{id}_A$ はこの包含を経由できない。従って「二本が一致する」だけでは足りず、すべての一致する射を一意に受け取る普遍性が必要である。

性質と証明

等化子はモノ射（単射的な射）

等化子の構造射 $e:E\to A$ は単射的である。すなわち、$er=es$ なら $r=s$ が従う。

同じ因子化の一意性

$r,s:X\to E$ で $er=es=a$ とする。$fa=fer=ger=ga$ なので、$a$ は等化子を経由する対象となる。$r,s$ はどちらも $a$ の因子化であり、定義の一意性から等しい。圏に忠実な忘却関手があるという仮定は不要である。

対角射の引き戻し

$B\times B$ が存在し、$\langle f,g\rangle:A\to B\times B$ と対角射 $\Delta_B=\langle\operatorname{id}_B,\operatorname{id}_B\rangle:B\to B\times B$ の引き戻しが存在すると、その $A$ への射が $f,g$ の等化子である。

二つの成分を比較する

引き戻しを $e:E\to A,t:E\to B$ とすると、$\langle f,g\rangle e=\Delta_B t$ の二成分から $fe=t=ge$ を得る。$a:X\to A$ が $fa=ga$ を満たすなら、$b=fa=ga$ と置くことで $\langle f,g\rangle a=\Delta_B b$ となる。引き戻しの普遍性で $eu=a,tu=b$ を満たす $u$ が一意に存在する。$eu=a$ だけを仮定した別の $u'$ に対しても $tu'=feu'=fa=b$ だから、同じ一意性が適用できる。従って必要な等化子の普遍性を得る。

等化子の一意性

同じ二本の射 $f,g:A\to B$ の等化子は、$A$ への構造射を保つただ一つの同型を除いて一意に定まる。

普遍性による標準的な議論

等化子 $e:E\to A,e':E'\to A$ を二つ取る。$E'$ の普遍性から $e'u=e$ となる唯一の $u:E\to E'$、$E$ の普遍性から $ev=e'$ となる唯一の $v:E'\to E$ が存在する。$e(vu)=e'u=e=e\cdot\operatorname{id}_E$ なので、$E$ の普遍性の一意性から $vu=\operatorname{id}_E$。同様に $uv=\operatorname{id}_{E'}$。したがって $u,v$ は互いに逆な同型であり、構造射を保つ同型はこの一意性から一つに定まる。

等化子は、二本の平行射を持つ小圏を添字とする図式の極限(圏論)である。

豊穣圏・∞圏との接続

豊穣的等化子には、各 $X$ で $\mathcal C(X,E)\to\mathcal C(X,A)$ がHom対象の二射の等化子となることを要求する。基礎圏 $\mathcal V$ の等化子が必要であり、その台の元だけの一致では不十分な場合がある（Kel82 §3.8）。
∞-圏の極限では、二つの合成の等式だけでなく、その間の指定されたホモトピーを保持する。空間の場合のホモトピー等化子は、等式を単に真偽で扱う厳密等化子とは異なる。通常圏の脈体への特化とモデル比較の根拠は HTT09 §§1.2.13, 4.2.4による。