位相ベクトル空間

加法は $(0,0)$ で連続なので、$0$ の近傍 $W_1,W_2$ が存在し、$W_1+W_2\subset U$ となる。$W=W_1\cap W_2$ とすればよい。固定した $x$ に対する写像 $\lambda\mapsto\lambda x$ は $0$ で連続で、$0x=0$ だから後半が従う。

スカラー倍は $(0,0)$ で連続で $0\cdot0=0$ なので、$\delta>0$ と開 $0$ 近傍 $W$ があって、$\lvert\lambda\rvert<\delta$ かつ $w\in W$ なら $\lambda w\in U$ となる。
$$ B:=\bigcup_{0<\lvert\lambda\rvert<\delta}\lambda W $$
とおく。各 $\lambda W$ は $M_\lambda$ による開集合の像なので開であり、$0\in W$ から $0\in B$ である。$B\subset U$ は $\delta,W$ の選び方による。$\lvert\mu\rvert\leq1$ と $x=\lambda w\in B$ をとる。$\mu\ne0$ なら $\mu x=(\mu\lambda)w$ で $0<\lvert\mu\lambda\rvert<\delta$ なので $\mu x\in B$ である。$\mu=0$ なら $\mu x=0\in B$ である。よって $B$ は均衡な開 $0$ 近傍である。$\blacksquare$

1 から 2、2 と 3 の同値は連続性の定義である。3 を仮定し、任意の $a\in V$ と $T(a)$ の近傍 $O$ を取る。平行移動が同相なので $U:=O-T(a)$ は $W$ の $0$ 近傍である。$T(N)\subset U$ となる $N$ を選ぶと、$a+N$ は $a$ の近傍であり、線形性から
$$ T(a+N)=T(a)+T(N)\subset T(a)+U=O. $$
よって $T$ は $a$ で連続である。$a$ は任意だから 1 が従う。$\blacksquare$

$W$ は Hausdorff なので $\{0\}$ は閉集合であり、$\ker T=T^{-1}(\{0\})$ は閉じている。線形部分空間であることは線形性から従う。$U$ を $W$ の $0$ 近傍とする。原点での連続性により $T(N)\subset U$ となる $V$ の $0$ 近傍 $N$ を取る。有界性から $B\subset tN$ となる $t>0$ があり、線形性を使うと $T(B)\subset tT(N)\subset tU$ である。

$f$ は線形な全単射である。各写像 $a\mapsto a_jv_j$ は座標射影と連続写像 $\lambda\mapsto\lambda v_j$ の合成なので連続であり、加法の連続性から $f$ も連続である。
逆写像 $f^{-1}$ の連続性を示す。$f^{-1}$ は線形なので、thm-tvs-linear-continuity により $0$ での連続性を示せばよい。$\mathbb K^n$ に通常のノルム $\lvert a\rvert$ を入れ、単位球面 $S=\{a:\lvert a\rvert=1\}$ と開単位球 $D=\{a:\lvert a\rvert<1\}$ をとる。$S$ はコンパクトなので $f(S)$ はコンパクトであり、$V$ が Hausdorff なので $f(S)$ は閉集合である。$f$ は単射で $0\notin S$ だから $0\notin f(S)$ である。よって $V\setminus f(S)$ は $0$ 近傍で、lem-tvs-balanced によりその中に均衡な $0$ 近傍 $B$ がとれる。
$f^{-1}(B)\subset D$ を示す。$a\in f^{-1}(B)$ で $\lvert a\rvert\geq1$ とすると、$a/\lvert a\rvert\in S$ であり、$B$ の均衡性から $f(a/\lvert a\rvert)=\lvert a\rvert^{-1}f(a)\in B$ となって、$B\cap f(S)=\emptyset$ に反する。したがって $f^{-1}(B)\subset D$ であり、$r>0$ について $rB$ は $0$ 近傍で $f^{-1}(rB)\subset rD$ となる。これは $f^{-1}$ が $0$ で連続であることを意味する。
最後に、線形写像 $T\colon V\to W$ について $T\circ f\colon\mathbb K^n\to W$ は $a\mapsto\sum a_jT(v_j)$ で、上と同じ理由で連続である。$f^{-1}$ が連続なので $T=(T\circ f)\circ f^{-1}$ も連続である。$\blacksquare$

$O\subset V$ が開なら $q^{-1}(q(O))=O+M=\bigcup_{m\in M}(O+m)$ は開である。商位相の定義により $q(O)$ は開、つまり $q$ は開写像である。$q\times q$ および $\mathrm{id}_{\mathbb K}\times q$ も連続な開全射なので商写像である。$q(x+y)=q(x)+q(y)$、$q(\lambda x)=\lambda q(x)$ と元の演算の連続性から、商の演算は連続である。
$V/M$ が Hausdorff なら $\{M\}$ は閉で、その逆像 $q^{-1}(\{M\})=M$ も閉である。逆に $M$ が閉なら、異なる剰余類 $q(x)\ne q(y)$ について $x-y\notin M$ である。差の連続性により $(x,y)$ の近傍 $O_x\times O_y$ を選び、すべての $u\in O_x,v\in O_y$ で $u-v\notin M$ とできる。$q(O_x),q(O_y)$ は開で、共通点があれば $u-v\in M$ となって矛盾する。よって商は Hausdorff である。

1：開集合の合併が開であることは定義から明らかである。$O_1,O_2$ が開で $x\in O_1\cap O_2$ なら、$U(x;p_1,\dots,p_m;\varepsilon)\subset O_1$ と $U(x;q_1,\dots,q_l;\delta)\subset O_2$ をとり、半ノルムを並べた $U(x;p_1,\dots,p_m,q_1,\dots,q_l;\min(\varepsilon,\delta))$ が共通部分に含まれる。よって位相である。$U(x;p_1,\dots,p_m;\varepsilon)$ 自身も開である。実際 $y$ がこの集合に属するとき、$\eta:=\varepsilon-\max_kp_k(y-x)>0$ とおくと、三角不等式から $U(y;p_1,\dots,p_m;\eta)\subset U(x;p_1,\dots,p_m;\varepsilon)$ である。Hausdorff 性：$x\ne y$ なら $p(x-y)=:\delta>0$ となる $p$ があり、$U(x;p;\delta/2)$ と $U(y;p;\delta/2)$ は三角不等式により交わらない。演算の連続性は不等式
$$ p\bigl((x+y)-(x_0+y_0)\bigr)\leq p(x-x_0)+p(y-y_0),\qquad p(\lambda x-\lambda_0x_0)\leq\lvert\lambda\rvert p(x-x_0)+\lvert\lambda-\lambda_0\rvert p(x_0) $$
から従う（2 つ目の右辺は、$\lvert\lambda-\lambda_0\rvert<1$ なら $(\lvert\lambda_0\rvert+1)p(x-x_0)+\lvert\lambda-\lambda_0\rvert p(x_0)$ 以下で、$x\to x_0$、$\lambda\to\lambda_0$ で $0$ に近づく）。最後に $U(0;p_1,\dots,p_m;\varepsilon)$ は凸である。$p_k(y),p_k(z)<\varepsilon$ と $0\leq t\leq1$ から $p_k((1-t)y+tz)\leq(1-t)p_k(y)+tp_k(z)<\varepsilon$ となるからである。
2：元の位相を $\tau$、連続な半ノルム全体から作った位相を $\tau'$ とする。$\tau'$ の基本近傍 $U(x;p_1,\dots,p_m;\varepsilon)$ は、連続写像 $y\mapsto p_k(y-x)$ による開集合の逆像の共通部分なので $\tau$ で開である。よって $\tau'\subset\tau$ である。
逆を示す。$x$ の $\tau$ 近傍 $O$ をとる。$O-x$ は $0$ 近傍なので、局所凸性から凸な $0$ 近傍 $C\subset O-x$ がある。lem-tvs-balanced で均衡な $0$ 近傍 $B\subset C$ をとり、$A:=\bigcap_{\lvert\alpha\rvert=1}\alpha C$ とおく。$\lvert\alpha\rvert=1$ なら $B=\alpha(\alpha^{-1}B)\subset\alpha B\subset\alpha C$ なので $B\subset A$ であり、$A$ は $0$ 近傍である。$A$ は凸集合の共通部分なので凸で、$\lvert\beta\rvert\leq1$ なら $\beta=r\alpha_0$（$0\leq r\leq1$、$\lvert\alpha_0\rvert=1$）と書けて $\alpha_0A=A$、$rA\subset A$（凸で $0\in A$）なので $A$ は均衡である。
$A$ の Minkowski 汎関数 $p_A(y):=\inf\{t>0:y\in tA\}$ を考える。prop-tvs-small-sum の後半により、各 $y$ について十分小さい $\lambda\ne0$ で $\lambda y\in A$ なので $p_A(y)<\infty$ である。$A$ は均衡なので $0< s< t$ なら $sA\subset tA$ であり、$\lvert\alpha\rvert=1$ なら $\alpha A=A$ である。これから $p_A(\lambda y)=\lvert\lambda\rvert p_A(y)$ が従う。凸性から $sA+tA=(s+t)A$ なので、$y\in sA$、$z\in tA$ なら $y+z\in(s+t)A$ であり、$p_A(y+z)\leq p_A(y)+p_A(z)$ である。よって $p_A$ は半ノルムである。$A\subset\{p_A\leq1\}$ なので、$y-z\in\varepsilon A$ なら $\lvert p_A(y)-p_A(z)\rvert\leq p_A(y-z)\leq\varepsilon$ であり、$p_A$ は $\tau$ で連続である。さらに $p_A(y)<1$ なら $y\in tA\subset A$（ある $t<1$）なので、
$$ U(x;p_A;1)=x+\{p_A<1\}\subset x+A\subset x+C\subset O $$
である。よって $O$ は $\tau'$ 近傍でもあり、$\tau\subset\tau'$ である。$\blacksquare$

積位相の任意の $0$ 近傍 $U$ は、最初の有限個の座標だけに条件を課す基本近傍 $C$ を含む。条件に現れない座標 $j$ を選ぶと、直線 $\{te_j:t\in\mathbb K\}$ 全体が $C\subset U$ に入る。座標 $j$ に $|x_j|<1$ を課す $0$ 近傍 $W$ を取れば、どの $s>0$ についてもこの直線は $sW$ に含まれない。したがって $U$ は有界でない。一方、ノルムの開単位球は有界な $0$ 近傍である。ゆえに積位相はノルムから生じない。

$T$ が連続なら、$|T(x)|<1$ となる原点近傍の中に、有限個の座標だけに条件を課す基本近傍 $C$ を取れる。条件に現れない座標がすべて自由な部分空間を $E$ とすると、任意の $z\in E$ と $\lambda\in\mathbb K$ に対して $\lambda z\in C$ である。よって $|\lambda T(z)|<1$ がすべての $\lambda$ で成り立ち、$T(z)=0$ である。したがって $T$ は条件に現れた有限個の座標だけで決まる。逆向きは各座標射影の連続性と有限和の連続性から従う。

$B_\varepsilon:=\{f:d(f,0)<\varepsilon\}$ とする。任意の $f\in L^p$ と十分大きい整数 $N$ について、連続関数 $F(t)=\int_0^t|f|^p$ の中間値の定理により、区間 $[0,1]$ を $N$ 個の互いに交わらない小区間 $I_j$ に分け、各区間での積分を $\int|f|^p/N$ とできる。$f_j:=Nf1_{I_j}$ と置けば
$$ f=\frac1N\sum_{j=1}^Nf_j,\qquad d(f_j,0)=N^{p-1}\int_0^1|f|^p\,dx. $$
$p-1<0$ なので、$N$ を大きくすればすべての $f_j$ は $B_\varepsilon$ に入る。よって $B_\varepsilon$ の凸包は $L^p$ 全体である。もし凸な $0$ 近傍 $C$ が存在すれば、ある $\varepsilon>0$ に対し $B_\varepsilon\subset C$ となり、凸性から $C=L^p$ となる。Hausdorff な空間では $L^p$ 全体だけでは $0$ の近傍基底になれない。したがって局所凸でない。