正規行列

$M:=A^*A-AA^*$ は Hermite 行列で、$\lvert Ax\rvert^2-\lvert A^*x\rvert^2=\langle A^*Ax,x\rangle-\langle AA^*x,x\rangle=\langle Mx,x\rangle$ である。$A$ が正規なら $M=O$ で等式が成り立つ。逆に、すべての $x$ で $\langle Mx,x\rangle=0$ とする。$M^*=M$ から $\langle M(x+y),x+y\rangle=2\operatorname{Re}\langle Mx,y\rangle$ なので $\operatorname{Re}\langle Mx,y\rangle=0$、$y$ を $iy$ に替えて $\operatorname{Im}\langle Mx,y\rangle=0$ である。$y=Mx$ とおけば $Mx=0$ となり、$M=O$ である。実行列の場合、$M$ は実対称で、同じ式から実の $x,y$ について $\langle Mx,y\rangle=0$、よって $M=O$ である。$\square$

1 は lem-normal-norm から直ちに従う。2：$A-\lambda I$ も正規（$(A-\lambda I)^*=A^*-\overline\lambda I$ で、$A$ と $A^*$ の可換性から積の順を入れ替えられる）なので、1 を $A-\lambda I$ に使う。3：$Ax=\lambda x$、$Ay=\mu y$、$\lambda\neq\mu$ とすると、2 から $A^*y=\overline\mu y$ で、$\lambda\langle x,y\rangle=\langle Ax,y\rangle=\langle x,A^*y\rangle=\mu\langle x,y\rangle$、よって $\langle x,y\rangle=0$ である。$\square$

1 ⇒ 2：三角化 の記事の定理「Schur の三角化定理」により、ユニタリ行列 $U$ で $T:=U^*AU$ が上三角行列になるものがある。正規性はユニタリ相似で保たれるので $T$ は正規であり、三角行列 の記事の命題「正規な三角行列は対角行列」により $T$ は対角行列 $D$ である。$A=UDU^*$ である。
2 ⇒ 1：$A^*=UD^*U^*$ で、対角行列 $D,D^*$ は可換なので $AA^*=UDD^*U^*=UD^*DU^*=A^*A$ である。
2 ⇔ 3：$A=UDU^*$ は $AU=UD$ と同値で、その第 $j$ 列は $Au_j=d_ju_j$（$u_j$ は $U$ の第 $j$ 列、$d_j$ は $D$ の第 $j$ 対角成分）である。$U$ がユニタリであることは、列 $u_1,\dots,u_n$ が正規直交基底をなすことと同値である。$\square$

1 ⇔ 2：左辺は $\operatorname{tr}(A^*A)$ で、ユニタリ相似 $T=U^*AU$ で変わらない（$\operatorname{tr}(T^*T)=\operatorname{tr}(U^*A^*AU)=\operatorname{tr}(A^*A)$）。Schur の三角化定理で $T$ を上三角にとると、$T$ の対角成分は固有値なので
$$ \sum_{i,j}\lvert a_{ij}\rvert^2=\sum_{i,j}\lvert t_{ij}\rvert^2=\sum_k\lvert\lambda_k\rvert^2+\sum_{i< j}\lvert t_{ij}\rvert^2 $$
である。よって 2 は $T$ が対角行列であることと同値であり、thm-normal-spectral の証明から、これは 1 と同値である（$T$ が対角なら $A=UTU^*$ は正規、$A$ が正規なら $T$ は正規な上三角で対角）。
1 ⇒ 3：$A=UDU^*$、$D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ とする。相異なる固有値 $\mu_1,\dots,\mu_s$ について、Lagrange 補間で $p(\mu_k)=\overline{\mu_k}$ となる多項式 $p$ をとる。$p(D)=\overline D=D^*$ なので、$p(A)=Up(D)U^*=UD^*U^*=A^*$ である。3 ⇒ 1：$A$ は自身の多項式 $p(A)$ と可換である。
1 ⇒ 4 は cor-normal-eigen の 2 である。4 ⇒ 1 は、固有ベクトル $v$ の直交補空間が $A$ と $A^*$ の両方で保たれることを使い、次元についての帰納法で正規直交な固有基底を作る。

$A=UDU^*$、$D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ とする。1 から 3 では、条件 $A^*=A$、$A^*A=I$、$A^*=-A$ は両辺に $U^*$ と $U$ を掛けると $D$ について同じ条件になり、対角行列ではそれぞれ $\overline{\lambda_k}=\lambda_k$、$\lvert\lambda_k\rvert^2=1$、$\overline{\lambda_k}=-\lambda_k$ と同値である。4 と 5：$y=U^*x$ とおくと $\lvert y\rvert=\lvert x\rvert$ で、$x^*Ax=\sum_k\lambda_k\lvert y_k\rvert^2$、$\lvert Ax\rvert^2=\sum_k\lvert\lambda_k\rvert^2\lvert y_k\rvert^2$ である。前者がすべての $y$ で $0$ 以上であることは $\lambda_k\ge0$（$k$ ごとに $y=e_k$）と同値であり、後者の $\lvert y\rvert=1$ での最大値は $\max_k\lvert\lambda_k\rvert^2$ である。$\square$

1：thm-normal-equivalent の 3 により $B^*=q(B)$ となる多項式 $q$ があり、$A$ は $B$ と可換なので $q(B)=B^*$ とも可換である。役割を入れ替えれば後半も同じである。
2：$A$ の相異なる固有値を $\lambda_1,\dots,\lambda_s$、$E_k:=\ker(A-\lambda_kI)$ とする。$x\in E_k$ なら $A(Bx)=BAx=\lambda_kBx$、1 から $A(B^*x)=\lambda_kB^*x$ なので、$E_k$ は $B$ と $B^*$ で保たれる。$E_k$ の正規直交基底で $B|_{E_k}$ を表した行列は、$B^*|_{E_k}$ を表した行列の共役転置であり、$B$ と $B^*$ が可換なので正規である。thm-normal-spectral により $E_k$ は $B$ の固有ベクトルからなる正規直交基底をもつ。$E_1,\dots,E_s$ は互いに直交し（cor-normal-eigen の 3）、直和は $\mathbb{C}^n$ である。それらの基底を合わせて列に並べた $U$ について、$U^*AU$ と $U^*BU$ は対角行列である。
3：2 の $U$ で $A+B$ と $AB$ も対角行列に移るので、thm-normal-spectral の 2 ⇒ 1 による。$\square$

$A$ を複素行列と見ると正規なので、thm-normal-spectral により $\mathbb{C}^n$ は $A$ の固有空間 $E_\lambda$ の直交直和である。実の固有値 $\lambda$ については、$A-\lambda I$ が実行列なので $E_\lambda$ は実のベクトルからなる基底をもち、$E_\lambda\cap\mathbb{R}^n$ の正規直交基底をとる。虚部が正の固有値 $\lambda=a+ib$ については、$E_\lambda$ の正規直交基底 $z_1,\dots,z_d$ をとり、$z_j=x_j+iy_j$（$x_j,y_j\in\mathbb{R}^n$）と書いて、$\sqrt2\,y_j,\ \sqrt2\,x_j$ の組を並べる。$Az_j=\lambda z_j$ の実部と虚部から $Ax_j=ax_j-by_j$、$Ay_j=bx_j+ay_j$ なので、組 $(\sqrt2y_j,\sqrt2x_j)$ の上で $A$ は $\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}$ で表される。
こうして集めた実のベクトルが $\mathbb{R}^n$ の正規直交基底になることを確かめれば、それを列とする $Q$ が求めるものである。要点は、$\overline{z_l}$ が固有値 $\overline\lambda\neq\lambda$ の固有ベクトルなので $z_j\perp\overline{z_l}$ となることである。