コホモロジー環

$H^1(\mathbb{RP}^n;\mathbb Z/2)$、$H^1(\mathbb{RP}^m;\mathbb Z/2)$ の生成元をそれぞれ $\beta$、$\alpha$ とする（表の行から、どちらも $\mathbb Z/2$ である）。$g^*\beta=c\alpha$（$c\in\mathbb Z/2$）と書く。$\beta^{n+1}\in H^{n+1}(\mathbb{RP}^n;\mathbb Z/2)=0$ であり、$g^*$ は環準同型なので
$$ 0=g^*(\beta^{n+1})=(g^*\beta)^{n+1}=c^{n+1}\alpha^{n+1}=c\,\alpha^{n+1} $$
である（$\mathbb Z/2$ では $c^{n+1}=c$）。$n+1\le m$ なので、$H^*(\mathbb{RP}^m;\mathbb Z/2)=(\mathbb Z/2)[\alpha]/(\alpha^{m+1})$ において $\alpha^{n+1}\neq0$ である。よって $c=0$、すなわち $g^*\beta=0$ である。$\blacksquare$

連続な奇写像 $f\colon S^m\to S^n$ があったとする。$f$ は対蹠点の組を対蹠点の組に移すので、$g\circ p_m=p_n\circ f$ をみたす写像 $g\colon\mathbb{RP}^m\to\mathbb{RP}^n$ が定まり、商位相の性質から連続である。
点 $x\in S^m$ を固定し、$y:=f(x)\in S^n$、$\bar y:=p_n(y)$ とおく。$\bar y$ を基点とする $\mathbb{RP}^n$ の閉路 $\delta$ に対して、$y$ から出る持ち上げ $\tilde\delta$（$p_n\circ\tilde\delta=\delta$ をみたす道。$p_n$ が被覆写像なのでただ 1 つある）の終点は $y$ か $-y$ である。終点が $y$ なら $\varphi(\delta):=0$、$-y$ なら $\varphi(\delta):=1\in\mathbb Z/2$ とおく。持ち上げは閉路のホモトピーについて不変なので（Hat02 Proposition 1.30, p. 60）、$\varphi$ は $\pi_1(\mathbb{RP}^n,\bar y)$ 上の写像である。対蹠写像 $x\mapsto-x$ は $p_n$ と可換なので、$-y$ から出る持ち上げは $y$ から出る持ち上げの対蹠である。したがって閉路の積 $\delta_1\cdot\delta_2$ の $y$ から出る持ち上げは、$\delta_1$ の持ち上げで $\pm y$ に着いたあと $\delta_2$ の持ち上げ（またはその対蹠）をたどり、$\varphi(\delta_1\cdot\delta_2)=\varphi(\delta_1)+\varphi(\delta_2)$ となる。よって $\varphi$ は群準同型 $\pi_1(\mathbb{RP}^n,\bar y)\to\mathbb Z/2$ である。$\mathbb Z/2$ は可換なので、$\varphi$ は $H_1(\mathbb{RP}^n;\mathbb Z)=\pi_1(\mathbb{RP}^n)^{\mathrm{ab}}$ からの準同型 $\bar\varphi$ を誘導する（Hat02 Theorem 2A.1, p. 166）。普遍係数定理により、評価写像 $H^1(Z;\mathbb Z/2)\to\operatorname{Hom}(H_1(Z;\mathbb Z),\mathbb Z/2)$ は弧状連結な空間 $Z$ について同型であり、連続写像と可換である（普遍係数定理、Hat02 Theorem 3.2, p. 195。$H_0(Z;\mathbb Z)$ は自由なので Ext の項は消える）。$\bar\varphi$ に対応する類を $w\in H^1(\mathbb{RP}^n;\mathbb Z/2)$ とする。
$S^m$ の中の $x$ から $-x$ への道 $\sigma$ を選ぶ（$m\ge1$ なので $S^m$ は弧状連結）。$\gamma:=p_m\circ\sigma$ は $\mathbb{RP}^m$ の閉路で、$g\circ\gamma=p_n\circ(f\circ\sigma)$ である。$f\circ\sigma$ は $y$ から $f(-x)=-y$ への道なので、$g\circ\gamma$ の $y$ から出る持ち上げの終点は $-y$ であり、$\varphi(g\circ\gamma)=1$ となる。評価写像が連続写像と可換であることから、$g^*w$ は $[\gamma]\in H_1(\mathbb{RP}^m;\mathbb Z)$ で値 $\bar\varphi(g_*[\gamma])=\varphi(g\circ\gamma)=1$ をとる。よって $g^*w\neq0$ であり、thm-cr-rp-maps に反する。$\blacksquare$

すべての $x$ で $h(x)\neq h(-x)$ と仮定し、$k(x):=\bigl(h(x)-h(-x)\bigr)/\lvert h(x)-h(-x)\rvert$ とおく。$k\colon S^n\to S^{n-1}$ は連続な奇写像である。$n\ge2$ なら、$m=n>n-1\ge1$ なので cor-cr-odd-maps に反する。$n=1$ なら $S^0=\{\pm1\}$ は離散で $S^1$ は連結なので $k$ は定値であり、$k(-x)=-k(x)$ に反する。$\blacksquare$

$|a|=n$ は奇数なので、thm-cr-basic の 1（次数付き可換性）により $a\smile a=(-1)^{n\cdot n}a\smile a=-a\smile a$、すなわち $2(a\smile a)=0$ である。$a\smile a$ は捩れのない群 $H^{2n}(C_f;\mathbb Z)\cong\mathbb Z$ の元なので $a\smile a=0$ であり、$H(f)=0$ である。$\blacksquare$

係数はすべて $\mathbb Z/2$ とする。表により $H^k(\mathbb{RP}^3)\cong\mathbb Z/2$（$0\le k\le3$）である。$W$ は CW 複体 $\mathbb{RP}^2$ と $S^3$ の 0 胞体での一点和なので、カップ積 の命題「一点和のカップ積」により、正の次数 $k$ で $H^k(W)\cong H^k(\mathbb{RP}^2)\oplus H^k(S^3)$ であり、積は成分ごとに計算される。よって $H^k(W)\cong\mathbb Z/2$（$0\le k\le3$）で、群は同型である。
$H^1(W)$ の $0$ でない元 $w$ は、$\mathbb{RP}^2$ への制限が生成元 $\alpha_2$、$S^3$ への制限が $0$ である。$w^3$ の制限は $\alpha_2^3\in H^3(\mathbb{RP}^2)=0$ と $0$ なので、$w^3=0$ である。一方 $H^1(\mathbb{RP}^3)$ の生成元 $\alpha$ は $\alpha^3\neq0$ をみたす。ホモトピー同値 $h\colon W\to\mathbb{RP}^3$ があれば、$h^*$ は環同型で（thm-cr-basic の 3）、$H^1$ の $0$ でない元どうしを対応させるので $h^*\alpha=w$ であり、$h^*(\alpha^3)=w^3=0$ となって $h^*$ の単射性に反する。$\blacksquare$

アーベル群 $G$ について、評価写像 $H^n(X;G)\to\operatorname{Hom}(H_n(X;\mathbb Z),G)$ は、$H_{n-1}(X;\mathbb Z)$ が自由なので普遍係数定理の Ext の項が消えて同型であり（Hat02 Theorem 3.2, p. 195）、係数の準同型と可換である。$H_n(X;\mathbb Z)$ の基底を $(c_s)_{s\in S}$ とすると、$\operatorname{Hom}(H_n(X;\mathbb Z),G)\cong\prod_{s\in S}G$ である。したがって $\rho$ の次数 $n$ の部分は、成分ごとの還元が誘導する写像
$$ \Bigl(\prod_{s\in S}\mathbb Z\Bigr)\Big/m\Bigl(\prod_{s\in S}\mathbb Z\Bigr)\longrightarrow\prod_{s\in S}\mathbb Z/m $$
と同一視される。$m\prod_s\mathbb Z=\prod_sm\mathbb Z$ なので、これは同型である。$\rho$ は環準同型なので、次数付き環の同型である。$\blacksquare$