同相写像

$\mathbb{R}$ に通常の位相を入れ、開区間（区間）$(-1,1)$ には相対位相（$\mathbb{R}$ の開集合との共通部分を開集合とする位相）を入れる。写像
$$ f\colon(-1,1)\to\mathbb{R},\qquad f(x):=\frac{x}{1-|x|} $$
は同相写像である。実際、$g\colon\mathbb{R}\to(-1,1)$ を $g(y):=\dfrac{y}{1+|y|}$ で定めると、$|g(y)|=\dfrac{|y|}{1+|y|}<1$ なので $g$ の値は確かに $(-1,1)$ に入る。$x\in(-1,1)$ に対し $|f(x)|=\dfrac{|x|}{1-|x|}$、$1+|f(x)|=\dfrac{1}{1-|x|}$ なので
$$ g(f(x))=\frac{x/(1-|x|)}{1/(1-|x|)}=x $$
であり、同様に $y\in\mathbb{R}$ に対し $1-|g(y)|=\dfrac{1}{1+|y|}$ なので $f(g(y))=y$ である。よって $f$ は全単射で $f^{-1}=g$ である。$f$ と $g$ はいずれも、連続関数（連続関数）$x\mapsto x$、$x\mapsto|x|$ の和・商（分母は $0$ にならない）なので連続である（Rud76 Theorem 4.9）。相対位相に関する連続性は、$\mathbb{R}$ 上の連続関数の制限が部分空間上で連続であること、および値域を部分空間 $(-1,1)$ に制限しても連続性が保たれることによる（Mun00 Theorem 18.2）。
$a< b$ なる実数に対して、一次関数 $x\mapsto a+(b-a)\dfrac{x+1}{2}$ は $(-1,1)$ から $(a,b)$ への同相写像である（逆写像 $y\mapsto 2\dfrac{y-a}{b-a}-1$ も一次関数で連続）。同相が推移的であること（prop-homeomorphism-equivalence）から、すべての開区間 $(a,b)$ は互いに同相であり、$\mathbb{R}$ とも同相である。さらに指数関数 $\exp\colon\mathbb{R}\to(0,\infty)$ は連続な全単射で、その逆写像 $\log$ も連続なので（Rud76 Chapter 8）、開半直線 $(0,\infty)$ も $\mathbb{R}$ と同相である。
この例は、有界性が位相的性質ではないことを示している。$(-1,1)$ は有界で $\mathbb{R}$ は有界でないが、両者は同相である。同じ理由で、距離空間の完備性（完備距離空間）も位相的性質ではない。$\mathbb{R}$ は通常の距離で完備だが、$(-1,1)$ は通常の距離の制限に関して完備でない（Cauchy列 $1-1/n$ が $(-1,1)$ 内に極限をもたない）。

Euclid空間 $\mathbb{R}^2$ に通常の位相を入れ、$\|x\|_2:=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$、$\|x\|_\infty:=\max\{|x_1|,|x_2|\}$ とおく。単位円周 $S^1:=\{x\in\mathbb{R}^2\mid\|x\|_2=1\}$ と正方形の境界 $Q:=\{x\in\mathbb{R}^2\mid\|x\|_\infty=1\}$ に相対位相を入れると、$S^1$ と $Q$ は同相である。実際、
$$ \varphi\colon Q\to S^1,\quad \varphi(x):=\frac{x}{\|x\|_2},\qquad \psi\colon S^1\to Q,\quad \psi(x):=\frac{x}{\|x\|_\infty} $$
とおく。$Q$ 上で $\|x\|_2\ge\|x\|_\infty=1>0$、$S^1$ 上で $\|x\|_\infty\ge\|x\|_2/\sqrt2>0$ なので、どちらも分母は $0$ にならず、$\|\varphi(x)\|_2=1$、$\|\psi(x)\|_\infty=1$ により値はそれぞれ $S^1$、$Q$ に入る。$x\in Q$ に対し、$\|\varphi(x)\|_\infty=\|x\|_\infty/\|x\|_2=1/\|x\|_2$ なので
$$ \psi(\varphi(x))=\frac{x/\|x\|_2}{1/\|x\|_2}=x $$
であり、同様に $x\in S^1$ に対し $\varphi(\psi(x))=x$ である。$\|\cdot\|_2$ と $\|\cdot\|_\infty$ は $\mathbb{R}^2$ 上の連続関数なので、$\varphi$、$\psi$ は連続関数の商として連続であり、互いに逆写像である。よって $\varphi$ は同相写像である。
同じ議論により（任意のノルムは $\|x\|\le\sum_i\lvert x_i\rvert\,\|e_i\|\le C\|x\|_2$ により Euclid 位相で連続なので）、$\mathbb{R}^n$ の任意の二つのノルムについて、それぞれの単位球面は互いに同相である。「角がある」「丸い」といった違いは位相では見えない。

$n\ge1$ とし、$n$ 次元球面 $S^n:=\{x\in\mathbb{R}^{n+1}\mid\|x\|=1\}$（$\|\cdot\|$ は通常の Euclid ノルム）に相対位相を入れる。北極 $N:=(0,\dots,0,1)$ を除いた $S^n\setminus\{N\}$ は $\mathbb{R}^n$ と同相である。同相写像を与えるのが立体射影
$$ \sigma\colon S^n\setminus\{N\}\to\mathbb{R}^n,\qquad \sigma(x_1,\dots,x_{n+1}):=\frac{(x_1,\dots,x_n)}{1-x_{n+1}} $$
である。$x\in S^n$、$x\ne N$ なら $x_{n+1}\ne1$ なので分母は $0$ にならない（$x_{n+1}=1$ なら $\|x\|=1$ から $x_1=\dots=x_n=0$、すなわち $x=N$ となる）。逆写像の候補として
$$ \tau\colon\mathbb{R}^n\to S^n\setminus\{N\},\qquad \tau(y):=\frac{(2y,\ \|y\|^2-1)}{\|y\|^2+1} $$
とおく。ここで $(2y,\|y\|^2-1)$ は最初の $n$ 成分が $2y$、最後の成分が $\|y\|^2-1$ のベクトルである。
$\tau$ の値が $S^n\setminus\{N\}$ に入ること。$\|\tau(y)\|^2=\dfrac{4\|y\|^2+(\|y\|^2-1)^2}{(\|y\|^2+1)^2}=\dfrac{(\|y\|^2+1)^2}{(\|y\|^2+1)^2}=1$ であり、最後の成分 $\dfrac{\|y\|^2-1}{\|y\|^2+1}$ が $1$ に等しくなることはない。
$\sigma\circ\tau=\mathrm{id}$。$\tau(y)$ の最後の成分を $t$ とすると $1-t=\dfrac{2}{\|y\|^2+1}$ なので、$\sigma(\tau(y))=\dfrac{2y/(\|y\|^2+1)}{2/(\|y\|^2+1)}=y$ である。
$\tau\circ\sigma=\mathrm{id}$。$x=(x',x_{n+1})\in S^n\setminus\{N\}$（$x'\in\mathbb{R}^n$）とし、$y:=\sigma(x)=\dfrac{x'}{1-x_{n+1}}$ とおく。$\|x'\|^2=1-x_{n+1}^2=(1-x_{n+1})(1+x_{n+1})$ なので
$$ \|y\|^2=\frac{1+x_{n+1}}{1-x_{n+1}},\qquad \|y\|^2+1=\frac{2}{1-x_{n+1}},\qquad \|y\|^2-1=\frac{2x_{n+1}}{1-x_{n+1}} $$
であり、したがって
$$ \tau(y)=\frac{1-x_{n+1}}{2}\left(\frac{2x'}{1-x_{n+1}},\ \frac{2x_{n+1}}{1-x_{n+1}}\right)=(x',x_{n+1})=x $$
である。
よって $\sigma$ は全単射で $\sigma^{-1}=\tau$ である。$\sigma$、$\tau$ はいずれも各成分が座標の多項式の商（分母は $0$ にならない）なので連続である。以上により $\sigma$ は同相写像であり、$S^n\setminus\{N\}\cong\mathbb{R}^n$ である。幾何学的には、$\sigma(x)$ は $N$ と $x$ を通る直線が超平面 $x_{n+1}=0$ と交わる点である。
なお $S^n$ 自身は $\mathbb{R}^n$ と同相でない。$S^n$ は $\mathbb{R}^{n+1}$ の有界閉集合なのでコンパクト空間である（Heine-Borelの定理）が、$\mathbb{R}^n$ はコンパクトでない。コンパクト性は位相的性質なので（prop-homeomorphism-open-set-bijection の後の説明）、両者は同相になりえない。$S^n$ は $\mathbb{R}^n$ に一点を付け加えてコンパクトにしたもの（一点コンパクト化）とみなせる。

半開区間 $[0,1)\subset\mathbb{R}$ と単位円周 $S^1\subset\mathbb{R}^2$ にそれぞれ相対位相を入れ、
$$ f\colon[0,1)\to S^1,\qquad f(t):=(\cos2\pi t,\ \sin2\pi t) $$
とおく。$f$ は連続な全単射であるが、同相写像ではない。
$f$ が連続であることは、$\cos$、$\sin$ の連続性による。$f$ が全単射であることは、$|z|=1$ なる複素数 $z$ に対して $z=e^{i\theta}$ となる $\theta\in[0,2\pi)$ がただ一つ存在すること（Rud76 Theorem 8.7）を $\theta=2\pi t$ と読み替えたものである。
逆写像 $f^{-1}\colon S^1\to[0,1)$ は連続でない。$U:=[0,1/2)$ は $[0,1)$ の開集合である（$[0,1/2)=[0,1)\cap(-1/2,1/2)$）。もし $f^{-1}$ が連続なら $(f^{-1})^{-1}(U)=f(U)$ は $S^1$ の開集合でなければならない。ところが $f(U)=\{(\cos\theta,\sin\theta)\mid0\le\theta<\pi\}$ は $S^1$ の点 $f(0)=(1,0)$ を含むのに、$(1,0)$ のどんな近傍も $f(U)$ に収まらない。実際、任意の $\varepsilon>0$ に対し、$\theta\in(2\pi-\varepsilon,2\pi)$ かつ $\theta>\pi$ をみたす $\theta$ をとれば、点 $(\cos\theta,\sin\theta)$ は $(1,0)$ からの距離が $\varepsilon$ より小さく（弦の長さは弧の長さ以下なので $\|(\cos\theta,\sin\theta)-(1,0)\|\le|\theta-2\pi|<\varepsilon$）、しかも第 2 成分 $\sin\theta$ が負なので $f(U)$ に属さない。よって $f(U)$ は開集合でなく、$f^{-1}$ は連続でない。
この反例は、「連続な全単射」という性質を満たし、「逆写像が連続」という性質を満たさず、「連続な全単射ならば同相写像」という含意を破る。thm-homeomorphism-compact-hausdorff の仮定のうち破れているのは定義域のコンパクト性である。$[0,1)$ はコンパクトでない（開被覆 $\{[0,1-1/n)\mid n\ge2\}$ が有限部分被覆をもたない）。実際、$[0,1)$ と $S^1$ は同相ですらない。$S^1$ はコンパクトで $[0,1)$ はコンパクトでなく、コンパクト性は位相的性質だからである。

二点以上をもつ集合 $X$ に、すべての部分集合を開集合とする離散位相 $\mathcal{O}_{\mathrm{d}}=\mathcal{P}(X)$ と、$\emptyset$ と $X$ だけを開集合とする密着位相 $\mathcal{O}_{\mathrm{i}}=\{\emptyset,X\}$ を入れる。恒等写像
$$ \mathrm{id}_X\colon(X,\mathcal{O}_{\mathrm{d}})\to(X,\mathcal{O}_{\mathrm{i}}) $$
は連続な全単射であるが、同相写像ではない。
連続性：$\mathcal{O}_{\mathrm{i}}$ の元 $\emptyset$、$X$ の逆像はそれぞれ $\emptyset$、$X$ であり、どちらも $\mathcal{O}_{\mathrm{d}}$ に属する。全単射であることは恒等写像だから明らかである。逆写像 $\mathrm{id}_X\colon(X,\mathcal{O}_{\mathrm{i}})\to(X,\mathcal{O}_{\mathrm{d}})$ は連続でない。一点 $x\in X$ をとると $\{x\}$ は $\mathcal{O}_{\mathrm{d}}$ に属する開集合だが、その逆像 $\{x\}$ は $X$ が二点以上をもつので $\emptyset$ でも $X$ でもなく、$\mathcal{O}_{\mathrm{i}}$ に属さない。
この反例も「連続な全単射」を満たし「逆写像の連続性」を満たさず、「連続な全単射ならば同相写像」という含意を破る。$X$ を有限集合にとれば、定義域 $(X,\mathcal{O}_{\mathrm{d}})$ はコンパクトである（有限集合上のどんな位相もコンパクト）。それでも同相にならないのは、終域 $(X,\mathcal{O}_{\mathrm{i}})$ が Hausdorff空間でないからである（相異なる二点を交わらない開集合で分離できない）。したがって thm-homeomorphism-compact-hausdorff における終域の Hausdorff 性の仮定も省けない。
同じ集合 $X$ 上の二つの位相 $\mathcal{O}\subset\mathcal{O}'$ について一般に、恒等写像 $(X,\mathcal{O}')\to(X,\mathcal{O})$ は連続であり、それが同相写像であることと $\mathcal{O}=\mathcal{O}'$ であることは同値である。位相を細かくすると連続写像は増えるが、同相写像にはならない。

$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$、$f(x):=x^3$ は同相写像である。実際 $f$ は狭義単調増加なので単射であり、全射であることは中間値の定理（または立方根の存在）による。逆写像 $f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}$（$y<0$ では $-\sqrt[3]{|y|}$）は全域で定義される。$f^{-1}$ の連続性は thm-homeomorphism-compact-hausdorff から従う。任意の $y\in\mathbb{R}$ に対し $|y|< M^3$ となる $M>0$ をとると、$f$ の制限 $[-M,M]\to[-M^3,M^3]$ はコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射なので同相写像であり、したがって $f^{-1}$ は $y$ を含む開集合 $(-M^3,M^3)$ 上で連続である。連続性は各点のまわりで確かめればよい性質なので（Mun00 Theorem 18.2）、$f^{-1}$ は $\mathbb{R}$ 全体で連続である。しかし $f^{-1}$ は $y=0$ で微分可能でない。同相写像 $f$ で $f$ と $f^{-1}$ がともに $C^\infty$ 級であるものを微分同相写像というが、$x\mapsto x^3$ はその例にならない。同相写像は微分構造を保たず、「位相的に同じ」と「微分可能多様体として同じ」は別の概念である。

1. $\mathbb{R}$ と $\mathbb{R}^2$ は同相でない。もし同相写像 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$ があれば、$\mathbb{R}\setminus\{0\}$ と $\mathbb{R}^2\setminus\{f(0)\}$ が同相になる。しかし $\mathbb{R}\setminus\{0\}=(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ は空でない交わらない二つの開集合の和なので連結でなく、$\mathbb{R}^2$ から一点を除いた空間は弧状連結（弧状連結空間）、したがって連結である（Mun00 §24）。連結性は位相的性質なので矛盾する。
2. 閉区間 $[0,1]$ と円周 $S^1$ は同相でない。$[0,1]$ から内点 $1/2$ を除くと $[0,1/2)\cup(1/2,1]$ となり連結でない。一方、$S^1$ から任意の一点 $p$ を除いた空間は $\mathbb{R}$ と同相である。実際、$p$ を北極 $N=(0,1)$ に移す回転は $S^1$ の同相写像であり（回転とその逆回転は線形写像なので連続）、prop-homeomorphism-restriction により $S^1\setminus\{p\}\cong S^1\setminus\{N\}$、さらに ex-homeomorphism-stereographic（$n=1$）により $S^1\setminus\{N\}\cong\mathbb{R}$ である。$\mathbb{R}$ は連結である（Mun00 §24）から、$[0,1]$ と $S^1$ が同相なら $1/2$ の像を除いた $S^1$ が連結でないことになり矛盾する。どちらもコンパクト Hausdorff 空間なので、ここではコンパクト性では区別できず、点を除く議論が必要である。

1. 開集合の包含写像。$X$ を位相空間、$U_0\subset X$ を $X$ とは異なる開集合とし、包含写像 $\iota\colon U_0\to X$（$U_0$ には相対位相）を考える。任意の $x\in U_0$ に対し $U:=U_0$ をとれば、$\iota(U)=U_0$ は $X$ の開集合で、$\iota|_{U}\colon U_0\to U_0$ は恒等写像なので同相写像である。よって $\iota$ は局所同相写像であるが、全射でないので同相写像ではない。たとえば $(0,1)\to\mathbb{R}$ がそうである。
2. 円周への巻き付け。$p\colon\mathbb{R}\to S^1$、$p(t):=(\cos t,\sin t)$ は局所同相写像であるが、$p(t+2\pi)=p(t)$ なので単射でなく、同相写像ではない。局所同相であることを確かめる。$t_0\in\mathbb{R}$ を固定し、$I:=[t_0-\pi/2,\,t_0+\pi/2]$、$U:=(t_0-\pi/2,\,t_0+\pi/2)$ とおく。$p$ は $I$ 上で単射である（$t,t'\in I$、$t\ne t'$ なら $0<|t-t'|\le\pi<2\pi$ なので $p(t)\ne p(t')$。Rud76 Theorem 8.7）。$I$ はコンパクト、$S^1$ は Hausdorff なので、thm-homeomorphism-compact-hausdorff の 2 により $p|_I\colon I\to p(I)$ は同相写像であり、prop-homeomorphism-restriction により $p|_U\colon U\to p(U)$ も同相写像である。残るのは $p(U)$ が $S^1$ の開集合であることである。$p(U)=\{(\cos t,\sin t)\mid|t-t_0|<\pi/2\}$ であり、内積を用いると $\langle p(t),p(t_0)\rangle=\cos(t-t_0)$ なので、$p(U)=\{y\in S^1\mid\langle y,p(t_0)\rangle>0\}$ である（$y=p(t)$ と書いたとき、$t$ を $2\pi$ の整数倍だけずらして $|t-t_0|\le\pi$ としてよく、このとき $\cos(t-t_0)>0$ と $|t-t_0|<\pi/2$ が同値になる）。$y\mapsto\langle y,p(t_0)\rangle$ は $\mathbb{R}^2$ 上の連続関数なので、$p(U)$ は開半平面と $S^1$ の共通部分であり、$S^1$ の相対開集合である。以上により $p$ は局所同相写像である。
   これらの反例は、「局所同相写像である」という性質を満たし、「同相写像である」という性質を満たさず、「局所同相写像ならば同相写像」という含意を破る。1 では全射性が、2 では単射性が欠けている。prop-homeomorphism-local-basic の 2 により、局所同相写像が同相写像でないのは全単射でない場合に限られる。