Mitchellの埋め込み定理
概要
Mitchellの埋め込み定理は、環上の加群論をAbel圏論に適用する技法の一つである。任意の小Abel圏に対して、とある環 $\ring$ 上の加群圏への $\AbCat$-忠実充満かつ完全な関手 $\func{F}{\abelcat}{\ModCat{\ring}}$ が存在することを主張するものであり、この関手を通して元を取った議論が可能となる。
$$\newcommand{cat}[0]{\mathcal{C}}
\newcommand{commring}[0]{A}
\newcommand{domain}[0]{\commring}
\newcommand{func}[3]{{#1}\colon{#2}\rightarrow{#3}}
\newcommand{ideal}[0]{I}
\newcommand{idealgen}[2]{\langle #1 \rangle_{#2}}
\newcommand{invert}[0]{^{-1}}
\newcommand{KanExt}[2]{\ordpair{ #1, #2 }}
\newcommand{ModCat}[1]{\mathsf{Mod}(#1)}
\newcommand{morph}[3]{{#1}\colon{#2}\rightarrow{#3}}
\newcommand{ordpair}[1]{\langle #1 \rangle}
\newcommand{overcat}[2]{{#1}_{/#2}}
\newcommand{ring}[0]{R}
\newcommand{SetCat}[0]{\mathsf{Set}}
\newcommand{sexseq}[3]{\zeroobj\rightarrow{#1}\rightarrow{#2}\rightarrow{#3}\rightarrow\zeroobj}
\newcommand{TopCat}[0]{\mathsf{Top}}
\newcommand{undercat}[2]{#1_{\backslash #2}}
\newcommand{zeroobj}[0]{0}
$$
Mitchellの埋め込み定理
任意の小Abel圏 $\abelcat$ に対して、環 $\ring$ と $\ring$ 上の加群圏 $\ModCat{\ring}$ への $\AbCat$-忠実充満かつ完全な関手 $\func{F}{\abelcat}{\ModCat{\ring}}$ が存在する
