フレーム(順序論)
概要
フレーム(順序論)（frame）とは、任意上限と有限下限をもち、有限下限が任意上限に分配する完備束である。
フレーム(順序論)（frame）とは、任意上限と有限下限をもち、有限下限が任意上限に分配する完備束である。位相空間の開集合がもつ包含関係、任意和、有限共通部分を抽象化し、点を先に置かずに「開集合の代数」から空間的構造を扱う。
本記事ではフレームそのもの、その準同型、Heyting含意、点と空間性を扱う。ロケールはフレーム準同型の向きを反転して空間の射と同じ向きに読んだ対象であり、別記事で詳しく扱う。
定義
束 $L$ が フレーム（frame）であるとは、次を満たすことをいう。
- 任意の部分集合 $S\subseteq L$ に上限 $\bigvee S$ が存在する。
- 任意の $a\in L$ と $S\subseteq L$ に対して、無限分配律
$$ a\wedge\bigvee S=\bigvee_{s\in S}(a\wedge s) $$
が成り立つ。
空集合の上限を $0$、全体 $L$ の上限を $1$ と書く。任意上限の存在から任意下限も存在するので、フレームは完備束である。有限集合 $S$ に対する上式は通常の分配律を含む。
任意下限は追加データではない。$S\subseteq L$ に対し、$S$ のすべての下界からなる集合を
$$
\operatorname{LB}(S)=\{x\in L:x\leq s\text{ for every }s\in S\}
$$
とおけば
$$
\bigwedge S=\bigvee\operatorname{LB}(S)
$$
である。ただし、フレーム準同型に要求するのは任意上限と有限下限の保存であり、この式から任意下限の保存が自動的に従うわけではない。
フレーム $L,M$ の間の写像 $h\colon L\to M$ が フレーム準同型（frame homomorphism）であるとは、任意上限と有限下限を保存すること、すなわち
$$
h\left(\bigvee S\right)=\bigvee_{s\in S}h(s),\qquad
h(a\wedge b)=h(a)\wedge h(b),\qquad h(1)=1
$$
を満たすことをいう。第1式に $S=\emptyset$ を入れれば $h(0)=0$ も従う。フレームとフレーム準同型の圏を $\mathbf{Frm}$ と書く。
例と反例
位相空間 $X$ の開集合全体 $\mathcal O(X)$ を包含関係で順序づける。任意上限は和集合、有限下限は共通部分、$0=\emptyset$、$1=X$ で与えられる。よって $\mathcal O(X)$ はフレームである。
集合 $S$ の冪集合 $\mathcal P(S)$ は、包含関係のもとでフレームをなす。これは離散位相を入れた $S$ の開集合フレームである。
任意上限をもつBoolean代数 $B$ はフレームである。実際、$a\in B$ と $(b_i)_{i\in I}$ に対し、Boolean代数の順序に関する随伴
$$
a\wedge x\leq y
\quad\Longleftrightarrow\quad
x\leq\neg a\vee y
$$
が成り立つ。従って $x\mapsto a\wedge x$ は左随伴であり、任意上限を保存する。一方、一般のフレームでは各要素がBoolean補元をもつとは限らないので、フレームは完備Boolean代数より広い概念である。
半順序集合 $P$ の部分集合 $D$ が下方集合であるとは、$x\in D$ かつ $y\leq x$ なら $y\in D$ となることをいう。下方集合全体 $\operatorname{Down}(P)$ は、和集合を任意上限、共通部分を任意下限としてフレームをなす。これは $P$ にAlexandrov位相を入れたときの開集合フレームである。
下方集合の任意の和集合と任意の共通部分は再び下方集合である。従って $\operatorname{Down}(P)$ は完備束である。集合の演算として
$$
D\cap\bigcup_{i\in I}E_i
=\bigcup_{i\in I}(D\cap E_i)
$$
が成り立つので、有限下限は任意上限に分配する。
5元の菱形束 $M_3=\{0,1,a,b,c\}$ で、相異なる $a,b,c$ は互いに比較不能、二つの異なる原子の上限は $1$、下限は $0$ とする。有限束なので完備束である。しかし
$$
a\wedge(b\vee c)=a\wedge1=a,\qquad
(a\wedge b)\vee(a\wedge c)=0
$$
であり、有限分配律すら破る。したがって「完備束ならフレームである」は偽である。
Heyting含意
フレームでは、各 $a$ に対する写像 $x\mapsto x\wedge a$ が任意上限を保存する。従ってこの写像には順序の意味で右随伴があり、直観主義論理の含意に対応する演算が得られる。
フレーム $L$ と $a,b\in L$ に対し
$$
a\Rightarrow b
:=\bigvee\{x\in L:x\wedge a\leq b\}
$$
と定める。特に $\neg a:=a\Rightarrow0$ を $a$ の擬補元という。
任意の $x,a,b\in L$ に対し
$$
x\wedge a\leq b
\quad\Longleftrightarrow\quad
x\leq a\Rightarrow b
$$
が成り立つ。従ってすべてのフレームは完備Heyting代数である。
$x\wedge a\leq b$ なら $x$ は $a\Rightarrow b$ を定義する上限の候補に含まれるので、$x\leq a\Rightarrow b$ である。
逆に $x\leq a\Rightarrow b$ とする。無限分配律から
$$
(a\Rightarrow b)\wedge a
=\bigvee_{y\wedge a\leq b}(y\wedge a)
\leq b
$$
である。従って
$$
x\wedge a\leq(a\Rightarrow b)\wedge a\leq b
$$
を得る。
開集合フレーム $\mathcal O(X)$ では
$$
U\Rightarrow V
=\operatorname{int}\bigl((X\setminus U)\cup V\bigr)
$$
である。実際、開集合 $W$ について $W\cap U\subseteq V$ であることと $W\subseteq(X\setminus U)\cup V$ は同値であり、$W$ は開なので後者は $W\subseteq\operatorname{int}((X\setminus U)\cup V)$ と同値になる。
一般には排中律に対応する $a\vee\neg a=1$ は成り立たない。たとえば $X=\mathbb R$、$U=(0,1)$ なら $\neg U=\operatorname{int}(\mathbb R\setminus U)$ であり、$U\cup\neg U$ は端点 $0,1$ を含まない。この意味でフレームの内部論理は通常、古典論理でなく直観主義論理である。
性質と証明
開集合の任意の和集合は開集合であり、包含順序におけるその族の最小上界である。有限個の開集合の共通部分も開集合であり、最大下界である。任意の開集合 $U$ と開集合族 $(V_i)_{i\in I}$ に対し、集合の演算として
$$
U\cap\bigcup_{i\in I}V_i=\bigcup_{i\in I}(U\cap V_i)
$$
が成り立つ。これはフレームの無限分配律そのものである。
連続写像 $f\colon X\to Y$ に対し、逆像写像
$$
f^{-1}\colon\mathcal O(Y)\longrightarrow\mathcal O(X)
$$
はフレーム準同型である。さらに恒等写像と合成について
$$
(\operatorname{id}_X)^{-1}=\operatorname{id}_{\mathcal O(X)},\qquad
(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}
$$
が成り立つ。したがって $X\mapsto\mathcal O(X)$ は位相空間からフレームへの反変関手、同値にロケールへの共変関手を与える。
$f$ の連続性により、$Y$ の開集合の逆像は $X$ で開である。任意の開集合族 $(V_i)_{i\in I}$ と有限個の開集合 $V,W$ に対して、逆像の集合演算から
$$
f^{-1}\left(\bigcup_{i\in I}V_i\right)=\bigcup_{i\in I}f^{-1}(V_i),\qquad
f^{-1}(V\cap W)=f^{-1}(V)\cap f^{-1}(W),\qquad f^{-1}(Y)=X
$$
を得る。ゆえに任意上限と有限下限を保存する。恒等写像と合成に関する式は、各 $x\in X$ の所属を調べれば直ちに従う。
フレーム準同型 $h\colon L\to M$ は単調写像である。
$a\leq b$ とする。このとき $a\vee b=b$ である。$h$ は二元上限を保存するので
$$
h(a)\vee h(b)=h(a\vee b)=h(b)
$$
となる。束における順序と上限の関係から $h(a)\leq h(b)$ が従う。
フレーム準同型 $h\colon L\to M$ に対して
$$
h_*(m):=\bigvee\{\ell\in L:h(\ell)\leq m\}
$$
と定めると
$$
h(\ell)\leq m
\quad\Longleftrightarrow\quad
\ell\leq h_*(m)
$$
が成り立つ。すなわち $h$ は順序の意味で左随伴である。
$h(\ell)\leq m$ なら、$\ell$ は $h_*(m)$ を定義する上限の候補なので $\ell\leq h_*(m)$ である。逆に $\ell\leq h_*(m)$ なら、$h$ の単調性と任意上限の保存から
$$
h(\ell)\leq h(h_*(m))
=\bigvee_{h(x)\leq m}h(x)\leq m
$$
を得る。
連続写像 $f\colon X\to Y$ の逆像フレーム準同型 $f^{-1}\colon\mathcal O(Y)\to\mathcal O(X)$ にこの命題を適用すると、開集合の順序に関する右随伴が得られる。ただしこれは通常の集合の直接像 $f(U)$ そのものとは限らず、「逆像が指定した開集合に含まれる最大の開集合」を与える。
フレームの点
二元フレーム $\mathbf2=\{0<1\}$ を考える。
フレーム $L$ の点とはフレーム準同型
$$
p\colon L\longrightarrow\mathbf2
$$
である。点全体を $\operatorname{Pt}(L)$ と書く。
位相空間 $X$ の各点 $x\in X$ は
$$
p_x\colon\mathcal O(X)\longrightarrow\mathbf2,
\qquad
p_x(U)=
\begin{cases}
1&x\in U,\\
0&x\notin U
\end{cases}
$$
を定める。所属関係は任意和と有限共通部分を保つので $p_x$ はフレームの点である。
$X$ が $T_0$ 空間なら、写像 $x\mapsto p_x$ は単射である。
$x\neq y$ とする。$T_0$ 性により、$x,y$ の一方だけを含む開集合 $U$ が存在する。従って $p_x(U)\neq p_y(U)$ であり、$p_x\neq p_y$ である。
一般の $T_0$ 空間では、$\mathcal O(X)$ のすべての点が元の $X$ の点から来るとは限らない。すべてのフレーム点が一意な $x\in X$ から来る空間がsober空間である。逆に、十分多くの点をもち異なるフレーム要素を点で区別できるフレームを空間的という。この対応が位相空間とロケールの関係の中心になる。
フレームの点の集合には、フレームだけから自然な位相を入れられる。$a\in L$ に対して
$$
U_a:=\{p\in\operatorname{Pt}(L):p(a)=1\}
$$
とおく。
集合族 $\{U_a:a\in L\}$ は $\operatorname{Pt}(L)$ の位相をなし、写像
$$
\eta_L\colon L\longrightarrow\mathcal O(\operatorname{Pt}(L)),
\qquad a\longmapsto U_a
$$
はフレーム準同型である。
各点 $p$ は $0,1$ を保存するので $U_0=\emptyset$、$U_1=\operatorname{Pt}(L)$ である。また、点が任意上限と有限下限を保存することから
$$
U_{\bigvee_{i\in I}a_i}=\bigcup_{i\in I}U_{a_i},
\qquad
U_{a\wedge b}=U_a\cap U_b
$$
を得る。従って $\{U_a:a\in L\}$ は任意和と有限共通部分で閉じており、位相である。同じ二式は $\eta_L$ が任意上限と有限下限を保存することを示している。
フレーム $L$ が空間的（spatial）であるとは、相異なる $a,b\in L$ に対して $p(a)\neq p(b)$ となる点 $p\in\operatorname{Pt}(L)$ が存在することをいう。同値に、上の準同型 $\eta_L$ が単射である。
単射性だけでなく、$\eta_L$ は実は空間的フレームに対して同型になる。全射性は点空間の開集合が定義上 $U_a$ の形をしていることから従う。従って空間的フレームは、ある位相空間の開集合フレームとして復元できる。一方、空間的でないフレームも存在するので、点だけを集める操作は一般のフレームの情報を完全には保存しない。点の集合を先に置かずフレーム自体を空間として読むロケール論は、この欠落を避ける。
位相空間 $X$ に対し
$$
\varepsilon_X\colon X\longrightarrow\operatorname{Pt}(\mathcal O(X)),
\qquad x\longmapsto p_x
$$
は連続である。この写像は $X$ がsoberなら同相写像であり、$T_0$ 性だけでは一般に全射性まで保証されない。
$\operatorname{Pt}(\mathcal O(X))$ の開集合 $U_V$ は $V\in\mathcal O(X)$ から定まる。定義により
$$
\varepsilon_X^{-1}(U_V)
=\{x\in X:p_x(V)=1\}
=V
$$
であり、これは $X$ の開集合である。従って $\varepsilon_X$ は連続である。sober性に関する後半は、$\mathcal O(X)$ の点が一意な $x\in X$ の近傍フィルターから生じるというsober空間の定義を言い換えたものである。
フレームとロケール
フレーム準同型の向きは連続写像の向きと逆である。連続写像 $X\to Y$ は $\mathcal O(Y)\to\mathcal O(X)$ を与えるからである。そこで
$$
\mathbf{Loc}:=\mathbf{Frm}^{\mathrm{op}}
$$
と定め、フレームを射の向きを反転して読んだものをロケールと呼ぶ。対象として同じ完備束を使っていても、「フレーム準同型 $L\to M$」はロケール射としては $M\to L$ を表す。この記事では代数側のフレームを主題とし、ロケールの積・部分ロケール・空間化はロケールへ委ねる。
誤解しやすい点
- フレームが保存する分配律は、有限下限が任意上限へ分配するという一方向の条件である。任意下限と任意上限の完全分配性を要求しない。
- フレーム準同型は任意上限と有限下限を保存する。任意下限の保存は定義に含まれず、一般には従わない。
- フレームとロケールは対象のデータは同じだが、射の向きが逆である。
- すべてのフレームが実在する位相空間の開集合フレームと同型になるわけではない。点で要素を分離できる空間性が必要である。
- 英語のframeには線形代数、信号解析、微分幾何で別の意味がある。本記事は順序論のframeだけを扱う。
フレーム、Heyting含意、点、空間性、ロケールとの双対的な関係については Joh82（Chapter II）を参照した。
関連項目
参考文献
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