Cauchyの関数方程式

同義語：Cauchy's functional equationCauchy functional equation

概要

前提知識: 有理数, 連続関数, 単調関数

実数全体で定義された関数 $f$ についての方程式
$$ f(x+y)=f(x)+f(y)\qquad(x,y\in\mathbb{R}) $$
を Cauchy の関数方程式（Cauchy's functional equation）という。$f(x)=cx$（$c$ は定数）は解である。逆に、解が $cx$ の形に限るかどうかは $f$ に課す条件で決まる。$f$ がどこか 1 点で連続である、ある開区間で単調である、ある開区間で上に有界である、のどれか 1 つを課せば解は $cx$ に限る。一方、何の条件も課さなければ、選択公理のもとでは $cx$ の形でない、きわめて不規則な解が存在する。
この方程式は、加法群 $(\mathbb{R},+)$ から自分自身への群準同型を求める問題にほかならない。指数関数・対数関数・冪関数を特徴づける方程式 $f(x+y)=f(x)f(y)$、$f(xy)=f(x)+f(y)$、$f(xy)=f(x)f(y)$ も、変数や値を指数・対数で取り替えればこの方程式に帰着する。この記事では、有理数の上での解、解が一次関数になる条件、ほかの 3 つの方程式の連続な解の決定、多変数・複素数への拡張、$\mathbb{R}$ の環準同型が恒等写像しかないこと、Jensen の関数方程式を述べる。高校数学の範囲での指数関数の特徴づけは指数関数と対数関数はどう定義するかにある。

定義

加法的関数

関数 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ がすべての $x,y\in\mathbb{R}$ で $f(x+y)=f(x)+f(y)$ を満たすとき、$f$ は 加法的（additive）であるといい、$f$ を Cauchy の関数方程式の解という。同じ式を、定義域と値域を $\mathbb{Q}$ や $\mathbb{R}^n$、$\mathbb{C}$ などの加法群に替えて考えることもある。

以下、とくに断らない限り選択公理は使わない。選択公理を使う主張には（$\mathsf{ZFC}$）と書く。

有理数の上での解

加法的関数は有理数倍を保つ

$f$ が加法的なら、すべての $q\in\mathbb{Q}$ と $x\in\mathbb{R}$ で $f(qx)=qf(x)$ である。とくに $c:=f(1)$ とおくと、すべての有理数 $q$ で $f(q)=cq$ である。

整数倍から有理数倍へ

$x=y=0$ とおくと $f(0)=2f(0)$ なので $f(0)=0$ であり、$y=-x$ とおくと $f(-x)=-f(x)$ である。正の整数 $n$ について $f(nx)=nf(x)$ は $n$ についての帰納法で $f((n+1)x)=f(nx)+f(x)$ から従い、$f(-x)=-f(x)$ と合わせてすべての整数 $n$ で成り立つ。正の整数 $m$ について $mf(\frac xm)=f(m\cdot\frac xm)=f(x)$ なので $f(\frac xm)=\frac1mf(x)$ であり、$q=\frac nm$ なら $f(qx)=nf(\frac xm)=\frac nmf(x)$ である。$\square$

したがって、有理数の上の加法的関数 $\mathbb{Q}\to\mathbb{R}$ は $q\mapsto cq$ に限り、条件は要らない。実数の上の加法的関数は、$\mathbb{R}$ を $\mathbb{Q}$ 上のベクトル空間とみたときの $\mathbb{Q}$ 線形写像と同じものである。解が $cx$ になるかどうかは、有理数の上で決まった値が無理数の上にどう延びるかの問題である。

解が一次関数になる条件

一次関数になるための条件

$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を加法的とし、$c:=f(1)$ とおく。次の 4 つは同値である。

すべての $x$ で $f(x)=cx$ である。
$f$ はある 1 点で連続である。
$f$ はある空でない開区間の上で単調である。
$f$ はある空でない開区間の上で上に有界である（または下に有界である）。

有界性から連続性を出し、有理数の稠密性で決める

1 ⇒ 2、1 ⇒ 3 は明らかである。2 ⇒ 4：$f$ が $a$ で連続なら、$a$ のある近傍で $|f(x)-f(a)|< 1$ なので $f$ はそこで上にも下にも有界である。3 ⇒ 4：$f$ が開区間 $(\alpha,\beta)$ で単調なら、$\alpha<\alpha'<\beta'<\beta$ をとると $(\alpha',\beta')$ の上で $f$ の値は $f(\alpha')$ と $f(\beta')$ の間にあり、有界である。
4 ⇒ 1：下に有界な場合は $-f$（これも加法的）に当てればよいので、$(a-r,a+r)$（$r>0$）で $f\le K$ とする。
段 1（$0$ の近くで有界）。 $|t|< r$ なら $f(t)=f(a+t)-f(a)\le K-f(a)=:K'$ であり、$-t$ にも同じことを使うと $-f(t)=f(-t)\le K'$ である。よって $(-r,r)$ で $|f|\le K'$ である。
段 2（連続性）。 正の整数 $n$ と $|t|<\frac rn$ について、prop-cfe-rational から $|f(t)|=\frac1n|f(nt)|\le\frac{K'}{n}$ である。よって $f$ は $0$ で連続である。任意の $x$ で $f(x+t)-f(x)=f(t)\to0$（$t\to0$）なので、$f$ はすべての点で連続である。
段 3（一次関数）。 $x\in\mathbb{R}$ をとり、$x$ に収束する有理数の列 $q_k$ をとる（有理数の稠密性）。prop-cfe-rational と連続性から $f(x)=\lim_kf(q_k)=\lim_kcq_k=cx$ である。$\square$

とくに、連続な解、単調な解、$x\ge0$ で $f(x)\ge0$ となる解（$y>x$ なら $f(y)-f(x)=f(y-x)\ge0$ なので単調）はどれも $cx$ の形である。Hamel基底の定理「一次関数になる条件」は 4 ⇒ 1 を、段 2 を経ずに有理数の近似で直接示している。
Lebesgue 可測な解も $cx$ の形に限る。これは、正の測度の集合 $E$ について差集合 $E-E$ が $0$ の近傍を含むこと（Steinhaus の論法）から、$f$ が $0$ の近くで有界になることによる（Hamel基底の命題「可測な加法的関数は一次関数」。可算選択公理を使う）。

一次関数でない解

一次関数でない解の存在と性質

（$\mathsf{ZFC}$）一次関数でない加法的関数 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ が存在する。
加法的な $f$ が一次関数でなければ、$f$ はどの空でない開区間の上でも上にも下にも有界でなく、どの点でも連続でなく、グラフ $\{(x,f(x))\mid x\in\mathbb{R}\}$ は $\mathbb{R}^2$ で稠密である。

1 は Hamel基底の定理「一次関数でない加法的関数」の 1 である。$\mathbb{R}$ の $\mathbb{Q}$ 上の基底 $H$ で $1$ を含むものをとり、$1$ 以外の基底の元 $b$ について、$x$ を基底で表したときの $b$ の係数を $f(x)$ とすればよい。
2：有界性と連続性についての主張は thm-cfe-regular の 1 と 2・4 の同値の対偶である。グラフの稠密性は Hamel基底の同じ定理の 2 である。$\square$

到達不能基数の存在が無矛盾である限り、選択公理を使わずに一次関数でない解の存在を示すことはできない。実際、到達不能基数の存在が無矛盾なら、すべての実数の集合が Lebesgue 可測で従属選択公理が成り立つ $\mathsf{ZF}$ のモデルがあり（Solovay）、そこでは上の可測性の結果からすべての解が $cx$ になる（Hamel基底の「選択公理の要否」の節）。

ほかの 3 つの関数方程式

変数を指数関数で、値を対数関数で取り替えると、次の方程式は Cauchy の関数方程式に帰着する。

指数・対数・冪の関数方程式の連続な解

連続な $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ が $f(x+y)=f(x)f(y)$ を満たすなら、$f\equiv0$ であるか、ある実数 $c$ で $f(x)=e^{cx}$ である。
連続な $f\colon(0,\infty)\to\mathbb{R}$ が $f(xy)=f(x)+f(y)$ を満たすなら、ある実数 $c$ で $f(x)=c\log x$ である。
連続な $f\colon(0,\infty)\to\mathbb{R}$ が $f(xy)=f(x)f(y)$ を満たすなら、$f\equiv0$ であるか、ある実数 $c$ で $f(x)=x^c$ である。
連続な $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ が $f(xy)=f(x)f(y)$ を満たすなら、$f$ は $0$、$1$、$|x|^c$、$\operatorname{sgn}(x)\,|x|^c$（$c>0$、どちらも $x=0$ で $0$）のいずれかである。
逆に、これらの関数はどれもそれぞれの方程式を満たす。

指数と対数で加法的関数に移す

1：ある $x_0$ で $f(x_0)=0$ なら、すべての $x$ で $f(x)=f(x_0)f(x-x_0)=0$ である。そうでなければ $f(x)=f(\frac x2)^2>0$ なので、$g:=\log f$ は連続で $g(x+y)=g(x)+g(y)$ を満たす。thm-cfe-regular により $g(x)=cx$、$f(x)=e^{cx}$ である。
2：$g(t):=f(e^t)$ は $\mathbb{R}$ 上で連続で $g(s+t)=f(e^se^t)=g(s)+g(t)$ を満たす。thm-cfe-regular により $g(t)=ct$ であり、$f(x)=g(\log x)=c\log x$ である。
3：$g(t):=f(e^t)$ は連続で $g(s+t)=g(s)g(t)$ を満たすので、1 により $g\equiv0$ か $g(t)=e^{ct}$ である。後者なら $f(x)=e^{c\log x}=x^c$ である。
4：$x=y=0$ とおくと $f(0)=f(0)^2$ である。$f(0)=1$ なら、$f(0)=f(x\cdot0)=f(x)f(0)=f(x)$ なので $f\equiv1$ である。$f(0)=0$ とする。$(0,\infty)$ への制限に 3 を当てる。制限が $0$ なら、$f(x)^2=f(x^2)=0$ からすべての $x$ で $f(x)=0$ である。制限が $x^c$ なら、$f(-1)^2=f(1)=1$ なので $\varepsilon:=f(-1)\in\{1,-1\}$ であり、$x>0$ で $f(-x)=f(-1)f(x)=\varepsilon x^c$ である。$f$ は $0$ で連続で $f(0)=0$ なので $x^c\to0$（$x\to+0$）となり、$c>0$ である。$\varepsilon=1$ なら $f(x)=|x|^c$、$\varepsilon=-1$ なら $f(x)=\operatorname{sgn}(x)|x|^c$ である。
逆の主張は指数法則と $|xy|=|x||y|$、$\operatorname{sgn}(xy)=\operatorname{sgn}(x)\operatorname{sgn}(y)$ から確かめられる。$\square$

1 は指数関数と対数関数はどう定義するかの定理「指数法則を満たす連続関数の一意性」と同じ主張である。連続性を外した場合も、1〜3 の解は加法的関数との合成で $e^{g(x)}$（または $0$）、$g(\log x)$、$e^{g(\log x)}$（または $0$）とすべて書ける（$g$ は加法的関数）。証明から分かるとおり、連続性の代わりに 1 点での連続性や区間での単調性を仮定しても、$g$ がそれを受け継ぐので同じ結論が出る。

多変数と複素数

連続な加法的写像は線形である

$f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ がすべての $x,y$ で $f(x+y)=f(x)+f(y)$ を満たし、連続であるとする。このとき $m\times n$ 行列 $A$ があって $f(x)=Ax$ である。

$e_1,\dots,e_n$ を標準基底とする。$j$ を固定し、$f$ の第 $i$ 成分 $f_i$ について $\phi(t):=f_i(te_j)$ とおくと、$\phi$ は $\mathbb{R}$ 上で連続かつ加法的なので、thm-cfe-regular により $\phi(t)=a_{ij}t$（$a_{ij}:=f_i(e_j)$）である。加法性から $f_i(x)=\sum_jf_i(x_je_j)=\sum_ja_{ij}x_j$ であり、$A:=(a_{ij})$ とすればよい。$\square$

連続性の代わりに、各座標軸の上で thm-cfe-regular の 2〜4 のどれかが成り立てば同じ結論が出る。

複素数の上の連続な加法的関数

$\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$ とみると、prop-cfe-several により連続な加法的関数 $f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ は $\mathbb{R}$ 線形である。$\alpha:=\frac{f(1)-if(i)}{2}$、$\beta:=\frac{f(1)+if(i)}{2}$ とおくと、$z=x+iy$（$x,y$ は実数）について
$$ \alpha z+\beta\bar z=(\alpha+\beta)x+i(\alpha-\beta)y=f(1)x+f(i)y=f(z) $$
である。よって連続な加法的関数は $f(z)=\alpha z+\beta\bar z$ の形に限り、複素数倍 $z\mapsto\alpha z$ になるのは $\beta=0$、すなわち $f(i)=if(1)$ のときである。

環準同型

足し算と掛け算の両方を保つ写像では、連続性を仮定しなくても解が決まる。

実数体の環準同型は恒等写像

$\varphi\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ がすべての $x,y$ で $\varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y)$、$\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y)$ を満たし、$\varphi(1)=1$ であるとする。このとき $\varphi$ は恒等写像である。

正の数は平方なので単調になる

$x\ge0$ なら $x=(\sqrt x)^2$ なので $\varphi(x)=\varphi(\sqrt x)^2\ge0$ である。$\varphi$ は加法的なので、$y>x$ なら $\varphi(y)-\varphi(x)=\varphi(y-x)\ge0$ であり、$\varphi$ は単調増加である。thm-cfe-regular の 3 ⇒ 1 により $\varphi(x)=\varphi(1)x=x$ である。$\square$

$\varphi(1)=1$ を外すと、$\varphi\equiv0$ も足し算と掛け算を保つ。環準同型の定義が $1$ を $1$ に写すことを含めるのは、このような写像を除くためである。

複素数体の連続な環準同型

$\varphi\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ が連続で、足し算と掛け算を保ち、$\varphi(1)=1$ を満たすとする。ex-cfe-complex により $\varphi(z)=\alpha z+\beta\bar z$ で、$\alpha+\beta=\varphi(1)=1$ である。$\varphi(i)^2=\varphi(i^2)=\varphi(-1)=-1$ なので $\varphi(i)=\pm i$ であり、$\varphi(i)=i(\alpha-\beta)$ から $\alpha-\beta=\pm1$ である。よって $(\alpha,\beta)=(1,0)$ または $(0,1)$ で、$\varphi$ は恒等写像か複素共役である。逆にこの 2 つは連続な環準同型である。

Jensen の関数方程式

Jensen の関数方程式の解

$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ について、次は同値である。

すべての $x,y$ で $f\bigl(\frac{x+y}2\bigr)=\frac{f(x)+f(y)}2$ である。
$f-f(0)$ は加法的である。
とくに、1 を満たす連続な $f$ は一次式 $f(x)=cx+d$ に限る。

2 ⇒ 1：$g:=f-f(0)$ が加法的なら、prop-cfe-rational により $g\bigl(\frac{x+y}2\bigr)=\frac{g(x)+g(y)}2$ であり、両辺に $f(0)$ を足せば 1 になる。
1 ⇒ 2：$g:=f-f(0)$ も 1 を満たし、$g(0)=0$ である。1 で $y=0$ とおくと $g(\frac x2)=\frac{g(x)}2$ である。よって $g(x+y)=2g\bigl(\frac{x+y}2\bigr)=g(x)+g(y)$ である。
最後の主張は、$f-f(0)$ が連続な加法的関数なので thm-cfe-regular により $cx$ であることから従う。$\square$

1 は「中点での値が両端の値の平均」という条件で、不等式 $f\bigl(\frac{x+y}2\bigr)\le\frac{f(x)+f(y)}2$ に弱めた条件を中点凸性という。凸関数は凸性の定義で 2 点の重みを $\frac12$ ずつにとれば中点凸である。

仮定を外すと成り立たなくなること

外す条件	反例	成り立たなくなること
thm-cfe-regular の 2 の 1 点での連続性（$\mathsf{ZFC}$ で）	thm-cfe-wild の 1 の Hamel 基底の $b$ の係数 $x\mapsto x_b$	加法的だが一次関数でない
thm-cfe-variants の 4 の $0$ での連続性	$f(x)=\lvert x\rvert^{-1}$（$x\ne0$）、$f(0)=0$	$f(xy)=f(x)f(y)$ を満たすが、4 の一覧にない（$c=-1<0$）
thm-cfe-variants の 4 の $0$ での連続性	$f(x)=\operatorname{sgn}x$（$f(0)=0$）	$f(xy)=f(x)f(y)$ を満たすが、4 の一覧にない（$c=0$ にあたる）
thm-cfe-ring の $\varphi(1)=1$	$\varphi\equiv0$	足し算と掛け算を保つが、恒等写像でない

2 行目と 3 行目の関数は $x\ne0$ では連続で、$0$ だけで連続でない。$xy=0$ なら両辺は $0$、$x,y\ne0$ なら $|xy|^{-1}=|x|^{-1}|y|^{-1}$、$\operatorname{sgn}(xy)=\operatorname{sgn}x\operatorname{sgn}y$ である。prf-thm-cfe-variants の 4 で、$0$ での連続性は $c>0$ を導くためだけに使っている。

補足

名前と文献

方程式の名は A.-L. Cauchy に、不連続な解を作る基底の名は G. Hamel にちなむ（Hamel基底の導入）。この記事の定理・命題の証明は、有理数の稠密性と Hamel基底・指数関数と対数関数はどう定義するかの結果から組み立てたものである。