Ehresmannの補題
概要
Ehresmannの補題とは、微分トポロジーにおける次のような定理である：固有かつ可微分な沈め込み写像は、局所自明な可微分ファイブレーションである。 Ehresmannの束化補題やEhresmannのファイブレーション補題とも呼ばれる。
定理の内容
$1 \le r \le \infty$とし、可微分と言ったら$C^r$級を表すものとする。
$M^m, N^n$を可微分多様体とし、$f \ \colon \ M \to N$を可微分写像とする。このとき、もし$f$が固有な沈め込みならば、$f$は局所自明な可微分ファイブレーションとなる。
すなわち、任意の点$q \in N$に対して、その$N$における開近傍$V$と微分同相写像
$$\Phi \ \colon \ V \times f^{-1}(q) \to f^{-1}(V)$$
であって、
$$\mathrm{pr}_1 \circ \Phi = f$$
を充たすものが存在する。
証明
所望の局所自明化写像を、上手く構成したベクトル場のフローによって得る。
このような考え方は、微分トポロジーの各所で目にすることができる。たとえば、多様体の均質性補題や安定写像芽の特徴づけを参照されたい。
$q \in N$を任意にとり、この点のまわりで局所自明化写像を構成する。
示すことは局所的な性質なので、$N = \mathbb{R}^n$かつ$q = 0$としてよい（のでそうする）。
点$p \in f^{-1}(0)$を任意にとる。$f$が沈め込みであることから、陰関数定理を適用して次を得る：
$p$の$M$における座標近傍$(U_p, \phi_p)$と$0$の$N$における座標近傍$(V_p, \psi_p)$であって、$f(U_p) \subset V_p$かつ
$$\psi_p \circ f \circ (\phi_p)^{-1} \ \colon \ \phi_p(U_p) \to \psi_p(V_p), \quad (x_1, \dots, x_m) \mapsto (x_1, \dots, x_n)$$
となるものが存在する。
このような$U_p, \phi_p, V_p, \psi_p$をすべての$p \in f^{-1}(0)$で一組ずつとる。すると$\{U_p\}_{p \in f^{-1}(q)}$が$f^{-1}(0)$の開被覆となる。
$f$の固有性により$f^{-1}(0)$はコンパクトなので、有限個の点$p_1, \dots, p_k \in f^{-1}(0)$を、$\{U_{p_i}\}_{i = 1}^k$がまた$f^{-1}(0)$の開被覆であるようにとれる（のでとる）。
以降、記号の簡単のため、$U_{p_i}, \phi_{p_i}, V_{p_i}, \psi_{p_i}$たちをそれぞれ$U_i, \phi_i, V_i, \psi_i$と書く。また、この下で
$$U = \bigcup_{i = 1}^k U_i, \quad V = \bigcap_{i = 1}^k V_i$$
と置く。これらはそれぞれ$f^{-1}(0)$の$M$における開近傍、$0$の$N$における開近傍であることに注意する。
以下では、$f$の局所自明化を$V$上で構成する。
$\mathbb{R}^n$の座標系を$(y_1, \dots, y_n)$と書き、番号$1 \le j \le n$を任意にとり、$V$上のベクトル場$Y_j = \frac{\partial}{\partial y_j}$を考える。
このとき、$Y_j$に対して$f$-許容的な$U$上のベクトル場$X_j$を次のように構成することができる：
まず、$U_i$上のベクトル場$X_{ij}$を、局所表示が$(\frac{\partial}{\partial y_j}, 0)$なものとして定める。このとき、$X_{ij}$は$Y_j$に対して$f$-許容的である。
ここで、$U$上の$\{U_i\}_{i = 1}^k$に従属する$1$の分割$\{\rho_i\}_{i = 1}^k$をとり、
$$X_j = \sum_{i = 1}^k \rho_i X_{ij}$$
と置く。これは、$X_{ij}$のとり方により、$Y_j$に対して$f$-許容的である。
さて、$U, V$を適切に小さくとり直して、$X_j$が定めるフローを$\Phi_j \ \colon \ (-\varepsilon, \varepsilon) \times U \to U$、$Y_j$が定めるフローを$\Psi_j \ \colon \ (-\varepsilon, \varepsilon) \times V \to V$と置く。
$Y_j$ の形から
$$\Psi_j (t, y_1, \dots, y_n) = (y_1, \dots, y_{j-1}, y_j + t, y_{j+1}, \dots, y_n)$$
であるし、ベクトル場の許容性により
$$f \circ \Phi_j (t, \text{-}) = \Psi_j (t, \text{-}) \circ f$$
が成り立つ。したがって、任意の$x \in f^{-1}(0)$に対して
$$f \circ \Phi_j (t, x) = (0, \dots, 0, t, 0, \dots, 0)$$
が分かる。これから
$$f \circ \Phi_n (y_n, \text{-}) \circ \dots \circ \Phi_1 (y_1, \text{-}) (x) = f(x)$$
が従うので、こうして$f$の局所自明化
$$\Phi \ \colon \ V \times f^{-1}(0) \to f^{-1}(V), \quad (y_1, \dots, y_n, x) \mapsto \Phi_n (y_n, \text{-}) \circ \dots \circ \Phi_1 (y_1, \text{-}) (x)$$
が得られる。$\square$
仮定を外すとどうなるか
- $f$の固有性は外すことができない。実際、勝手な点$p \in S^1$を固定して定まる射影
- $$f \ \colon \ (S^1 \times \mathbb{R}) \setminus \{(p, 0)\} \to \mathbb{R}, \quad (x, y) \mapsto y$$
は沈め込みであるが、非固有点$0 \in \mathbb{R}$のまわりで局所自明でない。 - $f$の沈め込み性は外すことができない。実際、$2$次関数
$$f \ \colon \ \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto x^2$$
は固有であるが、臨界値$0 \in \mathbb{R}$のまわりで局所自明でない。しかし、$f$の微分の階数が一定であるような場合は、陰関数定理の代わりに階数定理を用いることで同じ結論を導くことができる。
応用
$f \colon M \to N$を固有な可微分写像であって、沈め込みとは限らないものとする。また、$f$ の臨界値集合を$\Delta$と書く。
このとき、制限写像
$$\tilde{f} = f|_{M \setminus f^{-1}(\Delta)} \ \colon \ M \setminus f^{-1}(\Delta) \to N \setminus \Delta$$
もまた固有な可微分写像であり、これは沈め込みである。
$\tilde{f}$に対してEhresmannの補題を適用すると、$f$のファイバーの微分同相型は正則値集合 $N \setminus \Delta$ の各連結成分上で一定となることが従う。
すなわち、微分同相型の変異は臨界値を跨ぐことで発生する。
さらに特別な例として、$M$と$N$が同次元である場合を考えよう。
このとき、$f$のファイバーはすべて有限集合であることから、関数
$$\# f^{-1}(\bullet) \ \colon \ N \setminus \Delta \to \mathbb{N}$$
が得られる。上述の応用によって、この関数は局所定数的であることが分かる。この関数のさらなる性質・話題については参考文献[1]を参照されたい。
