単体的対象

存在。$k:=\#\operatorname{im}f-1$ とおく。$\operatorname{im}f\subset[n]$ は $k+1$ 元の全順序集合なので、順序を保つ全単射 $[k]\cong\operatorname{im}f$ がただ一つあり、$f$ は全射 $e\colon[m]\to[k]$ と単射 $d\colon[k]\to[n]$ の合成 $f=d\circ e$ に分解する。
単射 $d$ について。$[n]\setminus\operatorname{im}d$ の元を大きい順に $i_1>\cdots>i_s$（$s=n-k$）と並べ、$d':=\delta^{i_1}\cdots\delta^{i_s}\colon[k]\to[n]$ とおく。$d'$ の像が $[n]\setminus\{i_1,\dots,i_s\}$ であることを $s$ に関する帰納法（数学的帰納法）で示す。$s=0$ なら $d'=\mathrm{id}$。$s\ge1$ なら帰納法の仮定により $d'':=\delta^{i_2}\cdots\delta^{i_s}\colon[k]\to[n-1]$ の像は $[n-1]\setminus\{i_2,\dots,i_s\}$ であり、$\delta^{i_1}$ は $[n-1]$ を $[n]\setminus\{i_1\}$ の上に順序を保って写し $i_2,\dots,i_s< i_1$ を動かさないので、$d'=\delta^{i_1}d''$ の像は $[n]\setminus\{i_1,\dots,i_s\}$ である。順序を保つ単射は像で決まるので $d=d'$ である。
全射 $e$ について。$J:=\{j\mid 0\le j< m,\ e(j)=e(j+1)\}$ とおく。$e$ の値は $0,1,\dots,k$ を順に取り、値が変わらない箇所がちょうど $J$ の元なので $\#J=m-k=:t$ である。$J$ の元を小さい順に $j_1<\cdots< j_t$ とし、$e':=\sigma^{j_1}\cdots\sigma^{j_t}\colon[m]\to[k]$ とおく。$e'$ が同一視する隣接対の集合が $J$ に一致することを $t$ に関する帰納法で示す。$t=0$ なら $e'=\mathrm{id}$。$t\ge1$ なら、$\sigma^{j_t}\colon[m]\to[m-1]$ は $j_t$ と $j_t+1$ を同一視し $j_t$ 以下の元を動かさず、帰納法の仮定により $e'':=\sigma^{j_1}\cdots\sigma^{j_{t-1}}\colon[m-1]\to[k]$ が同一視する隣接対は $\{j_1,\dots,j_{t-1}\}$（すべて $j_t$ より小さい）で与えられるので、$e'=e''\sigma^{j_t}$ が同一視する隣接対の集合は $\{j_1,\dots,j_t\}=J$ である。順序を保つ全射は同一視する隣接対の集合で決まる（値は $0$ から始まり、$J$ に属さない $j$ でちょうど $1$ 増える）ので $e=e'$ である。
一意性。$f=\delta^{i_1}\cdots\delta^{i_s}\sigma^{j_1}\cdots\sigma^{j_t}$ を条件を満たす表示とし、$d':=\delta^{i_1}\cdots\delta^{i_s}$、$e':=\sigma^{j_1}\cdots\sigma^{j_t}$ とおく。$e'$ は全射なので $\operatorname{im}f=\operatorname{im}d'=[n]\setminus\{i_1,\dots,i_s\}$ であり、$\{i_1,\dots,i_s\}$ は $f$ で決まる。$d'$ は単射なので $e'(j)=e'(j+1)$ と $f(j)=f(j+1)$ は同値であり、$\{j_1,\dots,j_t\}$ も $f$ で決まる。並べ方の約束から添字の列も決まる。$\square$

いずれも両辺を各元 $k$ で評価して比べる。

1. $i< j$ とする。$\delta^j\delta^i,\ \delta^i\delta^{j-1}\colon[n-2]\to[n]$ はどちらも順序を保つ単射である。$\delta^j\delta^i$ の像は $[n-1]\setminus\{i\}$ を $\delta^j$ で写したもので、$i< j$ なので $[n]\setminus\{i,j\}$ である。$\delta^i\delta^{j-1}$ の像は $[n-1]\setminus\{j-1\}$ を $\delta^i$ で写したもので、$j-1\ge i$ なので $j-1$ は $j$ に写り、やはり $[n]\setminus\{i,j\}$ である。順序を保つ単射は像で決まるので両辺は等しい。
2. $i\le j$ とする。$\sigma^j\sigma^i,\ \sigma^i\sigma^{j+1}\colon[n+2]\to[n]$ はどちらも順序を保つ全射なので、同一視する隣接対の集合が一致すればよい（lem-simplicial-object-factorization の証明）。$\sigma^i$ は $\{i,i+1\}$ を同一視して $[n+1]$ に落とし、続く $\sigma^j$ は $[n+1]$ の $\{j,j+1\}$ を同一視するが、$j\ge i$ なのでこれは $[n+2]$ の $\{j+1,j+2\}$ に当たる。一方 $\sigma^{j+1}$ は $\{j+1,j+2\}$ を同一視し、続く $\sigma^i$ は $[n+1]$ の $\{i,i+1\}$ を同一視するが、$i\le j$ なのでこれは $[n+2]$ の $\{i,i+1\}$ である。よって両辺とも $\{i,i+1\}$ と $\{j+1,j+2\}$ を同一視する。
3. $i< j$ とし、$k\in[n]$ で評価する。$k< i$ なら両辺とも $k$。$i\le k< j$ なら左辺は $\sigma^j(k+1)=k+1$、右辺は $\delta^i(\sigma^{j-1}(k))=\delta^i(k)=k+1$。$k\ge j$ なら左辺は $\sigma^j(k+1)=k$、右辺は $\delta^i(k-1)=k$（$k-1\ge i$）。
4. $k< j$ なら $\sigma^j\delta^j(k)=\sigma^j(k)=k$、$k\ge j$ なら $\sigma^j\delta^j(k)=\sigma^j(k+1)=k$。$k\le j$ なら $\sigma^j\delta^{j+1}(k)=\sigma^j(k)=k$、$k>j$ なら $\sigma^j\delta^{j+1}(k)=\sigma^j(k+1)=k$。
5. $i>j+1$ とし、$k\in[n]$ で評価する。$k\le j$ なら左辺は $\sigma^j(k)=k$、右辺は $\delta^{i-1}(k)=k$（$k< i-1$）。$j< k< i$ なら左辺は $\sigma^j(k)=k-1$、右辺は $\delta^{i-1}(k-1)=k-1$。$k\ge i$ なら左辺は $\sigma^j(k+1)=k$、右辺は $\delta^{i-1}(k-1)=k$（$k-1\ge i-1$）。$\square$

1. $X$ は反変関手なので $X(gf)=X(f)X(g)$ である。prop-simplicial-object-cosimplicial-identities の各式に $X$ を施せば、合成の順序が逆転して単体的恒等式が得られる。たとえば $i< j$ のとき $\delta^j\delta^i=\delta^i\delta^{j-1}$ から $X(\delta^i)X(\delta^j)=X(\delta^{j-1})X(\delta^i)$、すなわち $d_id_j=d_{j-1}d_i$ である。残りの 4 式も、関係式 2〜5 に $X$ を施したものである。
2. $A$ は共変関手なので $A(gf)=A(g)A(f)$ であり、関係式 1〜5 に $A$ を施せばそのまま余単体的恒等式になる。$\square$

1. 定義により
   $$ \partial_{n-1}\partial_n=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^n(-1)^{i+j}d_id_j $$
   である。和を $i< j$ の部分と $i\ge j$ の部分に分ける。$i< j$ の項には単体的恒等式 $d_id_j=d_{j-1}d_i$ を用い、$j':=j-1$ とおくと、$i< j$ は $0\le i\le j'\le n-1$ と同値なので
   $$ \sum_{0\le i< j\le n}(-1)^{i+j}d_id_j=\sum_{0\le i\le j'\le n-1}(-1)^{i+j'+1}d_{j'}d_i=-\sum_{0\le i\le j'\le n-1}(-1)^{i+j'}d_{j'}d_i $$
   となる。最後の和は、添字の名前を $(i,j')\to(j,i)$ と付け替えれば $i\ge j$ の部分 $\sum_{0\le j\le i\le n-1}(-1)^{i+j}d_id_j$ にほかならない。よって二つの部分は打ち消し合い、$\partial_{n-1}\partial_n=0$ である。増大については $\varepsilon\partial_1=\varepsilon d_0-\varepsilon d_1=0$ が増大の定義である。
2. $x\in N(A)_n$（$n\ge1$）とすると $d_ix=0$（$1\le i\le n$）なので $\partial_nx=d_0x$ である。$1\le i\le n-1$ に対し、単体的恒等式 $d_0d_{i+1}=d_id_0$（$0< i+1$）により $d_id_0x=d_0d_{i+1}x=0$ である。よって $d_0x\in N(A)_{n-1}$ である。
3. 前半は 1 を反対圏 $\mathcal{A}^{\mathrm{op}}$ の単体的対象 $B$ に適用したものである（$\mathcal{A}^{\mathrm{op}}$ もアーベル圏であり、合成の順序が逆になるだけで同じ計算である）。後半を直接示す。$x\in N(B)^n$、すなわち $s^ix=0$（$0\le i\le n-1$）とし、$0\le j\le n$ について $s^jd^nx=\sum_{i=0}^{n+1}(-1)^is^j\partial^ix$ を計算する。余単体的恒等式（prop-simplicial-object-identities の 2）により、$i< j$ なら $s^j\partial^i=\partial^is^{j-1}$、$i\in\{j,j+1\}$ なら $s^j\partial^i=\mathrm{id}$、$i>j+1$ なら $s^j\partial^i=\partial^{i-1}s^j$ である。$i=j,j+1$ の 2 項は $(-1)^jx+(-1)^{j+1}x=0$ と打ち消す。$i< j$ の項は $j-1\le n-1$ なので $s^{j-1}x=0$ により消え、$i>j+1$ の項は $j< i-1\le n$、すなわち $j\le n-1$ なので $s^jx=0$ により消える。よって $s^jd^nx=0$ であり、$d^nx\in N(B)^{n+1}$ である。$\square$

1. $C(A)$ の $0$ 次は $A_0$、$\partial_1=d_0-d_1$、$\partial_0=0$ なので $H_0(C(A))=A_0/\operatorname{im}(d_0-d_1)=\operatorname{coker}(d_0-d_1)$ である。$N(A)_0=A_0$、$N(A)_1=\ker d_1$ で境界射は $d_0|_{\ker d_1}$ である。$\operatorname{im}(d_0|_{\ker d_1})\subset\operatorname{im}(d_0-d_1)$ は明らかであり（$x\in\ker d_1$ なら $d_0x=(d_0-d_1)x$）、逆に $y\in A_1$ に対し $x:=y-s_0d_1y$ とおくと $d_1x=d_1y-d_1s_0d_1y=d_1y-d_1y=0$（$d_1s_0=\mathrm{id}$）かつ $d_0x=d_0y-d_0s_0d_1y=d_0y-d_1y$（$d_0s_0=\mathrm{id}$）なので、$(d_0-d_1)y=d_0x\in\operatorname{im}(d_0|_{\ker d_1})$ である。よって両者の像は一致し、$H_0(N(A))=H_0(C(A))$ である。アーベル圏で $\operatorname{coker}(d_0-d_1)$ が $d_0,d_1$ の余等化子であることは余等化子の定義（$fd_0=fd_1$ と $f(d_0-d_1)=0$ の同値性）による。
2. $C(B)^0=B^0$、$d^0=\partial^0-\partial^1$ なので $H^0(C(B))=\ker(\partial^0-\partial^1)$ であり、これが等化子であることは 1 と同様である。$N(B)^0=B^0$ で、$d^0(B^0)\subset N(B)^1$ が prop-simplicial-object-alternating-sum の 3 により成り立つので $H^0(N(B))=\ker d^0$ である。増大があれば $d^0\eta=0$ なので $\eta$ は $B^{-1}\to\ker d^0=H^0(B)$ を誘導する。
3. $B^0=\prod_\alpha F(U_\alpha)$、$B^1=\prod_{(\alpha,\beta)}F(U_\alpha\cap U_\beta)$ である。余面射は Čech 神経の面射 $d_0,d_1\colon U^{[1]}\to U^{[0]}$（$U_\alpha\cap U_\beta$ をそれぞれ $U_\beta$、$U_\alpha$ に含める写像。$d_0$ は $0$ 番目の成分 $\alpha$ を落とす）に $F$ を施したものなので、$(s_\alpha)_\alpha\in B^0$ に対し
   $$ (\partial^0s)_{(\alpha,\beta)}=s_\beta|_{U_\alpha\cap U_\beta},\qquad(\partial^1s)_{(\alpha,\beta)}=s_\alpha|_{U_\alpha\cap U_\beta} $$
   である。よって 2 により $H^0(B)=\ker(\partial^0-\partial^1)$ は主張の集合である。$F$ が層であるとは、任意の開集合 $V$ とその任意の開被覆 $(V_\lambda)$ について、$F(V)\to\prod_\lambda F(V_\lambda)$ が単射で、その像が「$V_\lambda\cap V_\mu$ 上の制限が一致する族」の全体に一致することをいう（層）。これを $V=X$、被覆 $\mathcal{U}$ に適用すれば $F(X)\to H^0(B)$ が同型である。$\square$

$n\ge0$ とする。$\partial_{n+1}=\sum_{i=0}^{n+1}(-1)^id_i$ なので、仮定により
$$ \partial_{n+1}s_{-1}=d_0s_{-1}+\sum_{i=1}^{n+1}(-1)^id_is_{-1}=\mathrm{id}+\sum_{i=1}^{n+1}(-1)^is_{-1}d_{i-1}=\mathrm{id}-s_{-1}\sum_{j=0}^{n}(-1)^jd_j=\mathrm{id}-s_{-1}\partial_n $$
である（$n=0$ のときは $\partial_0=\varepsilon=d_0$ と読む）。よって $\partial_{n+1}h_n+h_{n-1}\partial_n=\mathrm{id}$ である。$n=-1$ のときは $\partial_0h_{-1}=\varepsilon s_{-1}=\mathrm{id}_{A_{-1}}$ であり、$h_{-2}=0$ なので主張が成り立つ。恒等射が零射と鎖ホモトピックなので、ホモロジーの恒等写像は零写像に等しく、複体は完全である。
余単体的対象の主張は、$\mathcal{A}^{\mathrm{op}}$ の単体的対象 $B$ に前半を適用したものである（$\mathcal{A}^{\mathrm{op}}$ では $\partial^i$ が面射、$s^{-1}$ が余分な退化射の条件をそのまま満たし、$\mathcal{A}^{\mathrm{op}}$ の鎖複体の可縮性は $\mathcal{A}$ の余鎖複体の可縮性である）。$\square$