Nijenhuisテンソル

括弧を展開すると $[Z,W]=P+iQ$、ただし
$$ P:=[X,Y]-[JX,JY],\qquad Q:=-[X,JY]-[JX,Y] $$
である。$\pi^{0,1}(P+iQ)=\frac12(P+iQ+iJP-JQ)$ の実部 $\frac12(P-JQ)$ は $-\frac12N_J(X,Y)$ に、虚部 $\frac12(Q+JP)$ は $-\frac12JN_J(X,Y)$ に等しい。

1 は定義の各項が $X,Y$ の入れ替えで符号を変えることによる。
2：$J^2X=-X$ を代入すると
$$ N_J(JX,Y)=-[X,JY]-J[JX,JY]+J[X,Y]-[JX,Y] $$
であり、これは上で計算した $JN_J(X,Y)$ の $-1$ 倍である。1 と合わせて $N_J(X,JY)=-N_J(JY,X)=JN_J(Y,X)=-JN_J(X,Y)$ を得る。$Y=X$ とすると $N_J(X,JX)=-JN_J(X,X)=0$ である。
3：Lie括弧 の命題「Lie 括弧の基本性質」の (R3) $[fA,B]=f[A,B]-(Bf)A$ を 4 つの項に使うと
$$ N_J(fX,Y)=fN_J(X,Y)-(JYf)\,JX+(Yf)\,J^2X+(JYf)\,JX+(Yf)\,X=fN_J(X,Y) $$
である（$J(fX)=fJX$、$J^2X=-X$）。第 2 変数については 1 による。こうして $N_J$ は $C^\infty(M)$ 双線形な写像 $\mathfrak X(M)\times\mathfrak X(M)\to\mathfrak X(M)$ であり、テンソル場 の系「ベクトル場に値をとる場合」により $(1,2)$ 型のテンソル場から来る。$\square$

$\bar Z:=X+iJX$、$\bar W:=Y+iJY$ は $T^{0,1}M$ の切断で、$\alpha$ はその上で消えるので、$\alpha(\bar Z)=\alpha(\bar W)=0$ であり
$$ d\alpha(\bar Z,\bar W)=-\alpha([\bar Z,\bar W])=-\alpha\bigl(\pi^{1,0}[\bar Z,\bar W]\bigr) $$
となる。lem-nj-bracket の第 2 式を代入し、$N:=N_J(X,Y)$ が実ベクトルであることから $\alpha(JN)=i\,\alpha(N)$ を使うと
$$ d\alpha(\bar Z,\bar W)=\frac12\bigl(\alpha(N)-i\,\alpha(JN)\bigr)=\frac12\bigl(\alpha(N)+\alpha(N)\bigr)=\alpha(N) $$
である。$\square$

1 ⇔ 2：lem-nj-bracket により $T^{1,0}M$ の切断はすべて $X-iJX$ の形である。$N_J(X,Y)$ と $JN_J(X,Y)$ は実ベクトルなので、$N_J(X,Y)+iJN_J(X,Y)=0$ と $N_J(X,Y)=0$ は同値である。よって lem-nj-bracket の第 1 式から、「すべての実ベクトル場 $X,Y$ について $\pi^{0,1}[X-iJX,Y-iJY]=0$」は $N_J=0$ と同値である。
2 ⇔ 3：複素共役は Lie 括弧と可換で、$T^{1,0}M$ と $T^{0,1}M$ を入れ替える。
1 ⇔ 4：2 次形式 $\omega$ を型で $\omega^{2,0}+\omega^{1,1}+\omega^{0,2}$ と分ける。$\omega^{2,0}$、$\omega^{1,1}$ は各項に $(1,0)$ 形式の因子をもつので、$T^{0,1}$ の 2 つのベクトルを入れると $0$ になる。$\omega^{0,2}$ は $T^{1,0}$ のベクトルを 1 つでも入れると $0$ になり、$T_{\mathbb C}M=T^{1,0}M\oplus T^{0,1}M$ なので、$\omega^{0,2}=0$ は「$T^{0,1}$ の 2 つのベクトルに対して $\omega$ が $0$」と同値である。$T^{0,1}$ の元は $X+iJX$（$X$ は実）と書けるので、prop-nj-forms により、4 は「すべての $\alpha\in\mathcal A^{1,0}(M)$ と実ベクトル場 $X,Y$ について $\alpha\bigl(N_J(X,Y)\bigr)=0$」と同値である。1 ならこれは成り立つ。逆にこれが成り立つとする。各点 $p$ で、$(1,0)$ 余ベクトルは $a-i\,a\circ J_p$（$a$ は実余ベクトル）と書け（概複素構造 の命題「型の分解」の 3）、$a$ を滑らかな実 1 次形式 $\tilde a$ に延ばせば $\tilde a-i\,\tilde a\circ J$ は $(1,0)$ 形式である。よってすべての $(1,0)$ 余ベクトルが実ベクトル $v:=N_J(X,Y)_p$ の上で消える。すると $v$ は $T_p^{0,1}$ に属す（すべての $(1,0)$ 余ベクトルが消えるベクトルの空間は $n$ 次元で $T^{0,1}_p$ を含むので、$T^{0,1}_p$ に等しい）。$v$ は実ベクトルなので $v=\bar v\in\overline{T^{0,1}_p}=T^{1,0}_p$ でもあり、$v\in T^{1,0}_p\cap T^{0,1}_p=0$ である。
4 ⇒ 5：4 の共役をとると、$\alpha\in\mathcal A^{0,1}(M)$ なら $d\alpha\in\mathcal A^{1,1}(M)\oplus\mathcal A^{0,2}(M)$ である。各点の近くで $(1,0)$ 形式の局所枠 $\theta_1,\dots,\theta_n$ をとると、型 $(p,q)$ の形式は局所的に $f\,\theta_I\wedge\bar\theta_K$（$|I|=p$、$|K|=q$、$f$ は関数）の和である。Leibniz 則で $d(f\,\theta_I\wedge\bar\theta_K)$ を展開すると、$df\wedge\theta_I\wedge\bar\theta_K$ と、因子の 1 つを $d\theta_i$ か $d\bar\theta_k$ に替えた項の和になる。$df$ は型 $(1,0)$ と $(0,1)$、$d\theta_i$ は型 $(2,0)$ と $(1,1)$、$d\bar\theta_k$ は型 $(1,1)$ と $(0,2)$ の和なので、どの項も型 $(p+1,q)$ か $(p,q+1)$ である。

$df\in\mathcal A^{1,0}(U)$ で $d(df)=0$ なので、prop-nj-forms を $\alpha=df$ に当てると $df\bigl(N_J(X,Y)\bigr)=d(df)(X+iJX,Y+iJY)=0$ である。後半：$df_1,\dots,df_n$ は行列式の連続性により $p$ の近くの各点 $q$ でも 1 次独立で、$T^{*1,0}_q$（$n$ 次元）の基底をなす。$v:=N_J(X,Y)_q$ はすべての $(1,0)$ 余ベクトルで消えるので、thm-nj-integrability の証明の 1 ⇔ 4 の最後と同じ議論で $v=0$ である。$\square$

正則局所座標 $(z_1,\dots,z_n)$ の上で、$(1,0)$ 余ベクトルの空間は各点で $dz_1,\dots,dz_n$ で張られる（同じ例）。つまり $dz_j\in\mathcal A^{1,0}$ で、座標関数 $z_j$ は $J$ に関して正則であり、$dz_1,\dots,dz_n$ は各点で $T^{*1,0}$ の基底である。prop-nj-holomorphic により各座標近傍で $N_J=0$ である。$\square$

$p\in M$ と $0\neq v\in T_pM$ をとる。$J_p$ は実の固有値をもたないので $v$ と $J_pv$ は 1 次独立であり、$(v,J_pv)$ は $T_pM$ の基底である。prop-nj-algebraic により $N_J$ は各点の反対称な双線形写像で、$N_J(v,v)=N_J(J_pv,J_pv)=0$、$N_J(v,J_pv)=-J_pN_J(v,v)=0$ である。基底の組すべてで消えるので $N_J$ は $p$ で $0$ である。$\square$