Whiteheadの定理

CW 複体であること．$\mathbb{CP}^\infty$ は次元 $0,2,4,\dots$ に胞体を $1$ つずつもつ CW 複体である（無限次元射影空間 の定理「位相と胞体の構造」）。$S^3$ は有限 CW 複体で局所コンパクトなので、積 $S^3\times\mathbb{CP}^\infty$ は積の胞体からなる CW 複体である（Hat02 Theorem A.6, p. 524）。

ホモトピー群．Eilenberg–MacLane空間 の命題「直積」により、$k\ge1$ で $\pi_k(S^3\times\mathbb{CP}^\infty)\cong\pi_k(S^3)\times\pi_k(\mathbb{CP}^\infty)$ である。$\mathbb{CP}^\infty$ は $K(\mathbb Z,2)$ なので（無限次元射影空間 の系「Eilenberg–MacLane 空間との関係」）、$\pi_2(\mathbb{CP}^\infty)\cong\mathbb Z$ で、$k\ne2$ の $\pi_k(\mathbb{CP}^\infty)$ は $0$ である。$\pi_1(S^3)=\pi_2(S^3)=0$（ホモトピー群 の例「球面の次元未満の群 $\pi_k(S^n)=0\ (1\leq k< n)$」）。よって、$k=1$ では両辺とも $0$（$\pi_1(S^2)=0$ も同じ例による）、$k=2$ では $\pi_2(S^3\times\mathbb{CP}^\infty)\cong\mathbb Z\cong\pi_2(S^2)$（同記事の例「球面自身: $\pi_n(S^n)\cong\mathbb{Z}$」）、$k\ge3$ では $\pi_k(S^3\times\mathbb{CP}^\infty)\cong\pi_k(S^3)$ で、Hopf 写像 $\eta\colon S^3\to S^2$ が同型 $\eta_*\colon\pi_k(S^3)\to\pi_k(S^2)$ を誘導する（球面のホモトピー群 の命題「Hopf束による $\pi_3(S^2)$ の計算」）。どちらの空間も弧状連結である。

ホモロジー．$\mathbb{CP}^\infty$ の胞体鎖複体は偶数次だけに $\mathbb Z$ をもつので境界写像はすべて $0$ で、胞体ホモロジー の定理「胞体ホモロジーと特異ホモロジーの同型」により $H_4(\mathbb{CP}^\infty;\mathbb Z)\cong\mathbb Z$ である。$e\in S^3$ を一点とし、$s\colon\mathbb{CP}^\infty\to S^3\times\mathbb{CP}^\infty$、$s(x):=(e,x)$ と第 2 成分への射影 $q$ をとると $q\circ s=\operatorname{id}$ なので、$s_*\colon H_4(\mathbb{CP}^\infty)\to H_4(S^3\times\mathbb{CP}^\infty)$ は単射で、$H_4(S^3\times\mathbb{CP}^\infty)\ne0$ である。一方 $H_4(S^2;\mathbb Z)=0$（n次元球面 の定理「ホモロジー群とコホモロジー群」）。ホモトピー同値は特異ホモロジーに同型を誘導するので、2 つの空間はホモトピー同値でない。$\square$

$n\ge0$ について $K_n:=K^n\cup L$ とおき、$K_{-1}:=L$ とする。$K^n$ と $L$ は部分複体なので、$K_n$ も部分複体（閉集合で胞体の和集合）であり、それ自身 CW 複体である（CW複体 の定義「部分複体」の後の段落）。$K_n$ の胞体は、$K_{n-1}$ の胞体と、$L$ に属さない $n$ 胞体である。$m\ge1$ について、コファイブレーション の例「円板と境界の球面」のレトラクションを $r_m\colon D^m\times I\to D^m\times\{0\}\cup S^{m-1}\times I$ とし、$r_0\colon D^0\times I\to D^0\times\{0\}$ は射影とする。

写像 $G\colon K\times\{0\}\cup K_n\times I\to Y$ で、$G(\cdot,0)=G_0$、$G|_{L\times I}=h$ を満たし、$K_n\times I$ に制限すると連続なものを、$n=-1,0,1,\ldots$ の順に、前の段の $G$ を延ばして作る。$n=-1$ では、$K\times\{0\}$ の上で $G_0$、$L\times I$ の上で $h$ とする。二つは $L\times\{0\}$ で一致し、$L\times I$ の上の制限 $h$ は連続である。

$n\ge0$ とし、$K_{n-1}$ まで作ったとする。$L$ に属さない $n$ 胞体 $e$ と特性写像 $\Phi_e\colon D^n\to K$ をとる。$\Phi_e(S^{n-1})\subset K^{n-1}\subset K_{n-1}$ なので、写像 $u_e\colon D^n\times\{0\}\cup S^{n-1}\times I\to Y$ を $u_e(z,t):=G(\Phi_e(z),t)$ で定められる。$u_e$ は連続である。実際、$D^n\times\{0\}$ の上では $G_0\circ\Phi_e$ で連続、$S^{n-1}\times I$ の上では $G|_{K_{n-1}\times I}\circ(\Phi_e|_{S^{n-1}}\times\mathrm{id})$ で連続であり、二つは $D^n\times I$ の閉集合で、共通部分 $S^{n-1}\times\{0\}$ の上で一致する。$g_e:=u_e\circ r_n\colon D^n\times I\to Y$ とおく。$r_n$ は定義域の上で恒等写像なので、$g_e$ は $u_e$ の延長である。

$e\times I$ の点 $(\Phi_e(z),t)$（$z\in\operatorname{Int}D^n$）での値を $g_e(z,t)$ と定める。$\Phi_e$ は $\operatorname{Int}D^n$ の上で $e$ への全単射であり、胞体どうしは交わらないので、これで $K\times\{0\}\cup K_n\times I$ の上の写像 $G$ が矛盾なく定まる（$t=0$ では $g_e(z,0)=u_e(z,0)=G_0(\Phi_e(z))$ で、前の段の値と一致する）。作り方から、$z\in S^{n-1}$ でも $G(\Phi_e(z),t)=u_e(z,t)=g_e(z,t)$ なので、$D^n\times I$ 全体で $G\circ(\Phi_e\times\mathrm{id})=g_e$ であり、これは連続である。$K_{n-1}$ の胞体 $e'$ の特性写像は $K_{n-1}$ に値をとるので、$G\circ(\Phi_{e'}\times\mathrm{id})$ は帰納法の仮定により連続である。よって $K_n$ のすべての胞体で $D^m\times I$ の上の連続性が成り立ち、上の段落を CW 複体 $K_n$ に当てはめると、$G|_{K_n\times I}$ は連続である。

各点 $x\in K$ はある骨格 $K^n$ に入るので、こうして延ばした写像は $K\times I$ 全体の写像 $G$ を定める。$K$ のどの胞体もある $K_n$ の胞体なので、$G\circ(\Phi\times\mathrm{id})$ はすべての特性写像 $\Phi$ について連続であり、上の段落により $G$ は連続である。作り方から $G(\cdot,0)=G_0$、$G|_{L\times I}=h$ である。$\square$

1：$U:=Y\times[0,1)$ は $(Y\times I)\sqcup Z$ の開集合で、その点は自分以外の点と同一視されないので、$q^{-1}(q(U))=U$ である。よって $q(U)$ は開集合で、$q|_U\colon U\to q(U)$ は連続な単射で開集合を開集合に写す（$U$ に含まれる開集合 $V$ について $q^{-1}(q(V))=V$）ので同相写像である。$i$ は同相写像 $Y\cong Y\times\{0\}\subset U$ と $q|_U$ の合成なので、像への同相写像である。

2：$r(j(z))=z$ と $r(i(y))=r(q(y,0))=f(y)$ は定義から従う。$H\colon M_f\times I\to M_f$ を $$ H(q(y,t),s):=q\bigl(y,\,(1-s)t+s\bigr),\qquad H(q(z),s):=q(z) $$ で定める。$t=1$ では $q(y,1)=q(f(y))$ に写るので、同一視された点の値は一致する。$I$ は局所コンパクトなので $q\times\operatorname{id}_I$ は商写像であり（Hat02 Appendix, Proposition A.17, p. 532）、$H\circ(q\times\operatorname{id}_I)$ は連続なので $H$ は連続である。$H(\cdot,0)=\operatorname{id}_{M_f}$、$H(q(y,t),1)=q(y,1)=j(f(y))=j(r(q(y,t)))$、$H(q(z),1)=q(z)=j(r(q(z)))$ であり、$H$ は $j(Z)$ の上で動かない。よって $j\circ r\simeq\operatorname{id}_{M_f}$、$r\circ j=\operatorname{id}_Z$ で、$r$ はホモトピー同値である。

3：$r$ はホモトピー同値なので弱ホモトピー同値である（弱ホモトピー同値の記事の命題「ホモトピー同値は弱ホモトピー同値」）。$f=r\circ i$ と $r$ が弱ホモトピー同値なので、同記事の定理「2 つのうち 2 つの性質」により $i\colon Y\to M_f$ は弱ホモトピー同値である。包含 $i(Y)\hookrightarrow M_f$ は、1 の同相写像 $i(Y)\to Y$ と $i$ の合成なので弱ホモトピー同値であり、lem-wh-pair により $(\mathrm{C}_n)$ がすべての $n$ で成り立つ。$\square$

段 0（$q$ の性質）．$|y-c|=1/4$ では $\sin\pi=0$、$\cos\pi=-1$ なので、$D_c$ の上の式は $\partial D_c$ で $\mathrm S$ になる。$y\to c$ では第 1 成分の大きさ $\sin(4\pi|y-c|)$ が $0$ に近づくので、$D_c$ の上の式は $c$ でも連続である。よって $q$ は閉集合 $D_c$ と $T^3\setminus\operatorname{int}D_c$ の上の連続写像を貼り合わせたもので、連続である。$\theta:=4\pi|y-c|$ は $\operatorname{int}D_c$ の上で $[0,\pi)$ を動き、$S^3\setminus\{\mathrm S\}$ の点はただ 1 通りに $(\sin\theta\,v,\cos\theta)$（$0\le\theta< \pi$、$v\in S^2$。$\theta=0$ では $v$ によらず $\mathrm N$）と書けるので、$q$ は $\operatorname{int}D_c$ を $S^3\setminus\{\mathrm S\}$ の上へ全単射に写し、$q^{-1}(\mathrm N)=\{c\}$ である。$q|_{D_c}$ はコンパクト空間から Hausdorff 空間への写像なので閉写像で、$\operatorname{int}D_c=(q|_{D_c})^{-1}(S^3\setminus\{\mathrm S\})$ だから、$q$ は $\operatorname{int}D_c$ から $S^3\setminus\{\mathrm S\}$ への同相写像である。

段 1（ホモトピー群）．$n\ge2$ では、トーラス の命題「高次ホモトピー群」により $\pi_n(T^3)=0$ なので、$(pq)_*\colon\pi_n(T^3)\to\pi_n(S^2)$ は自明である。$n=1$ では、$S^2$ は単連結（単連結空間 の命題「球面の単連結性」）で、どの基点でも $\pi_1(S^2)=0$ なので、$(pq)_*$ は自明である。

段 2（ホモロジー）．n次元球面 の定理「ホモロジー群とコホモロジー群」により、$\tilde H_k(S^3)$ は $k=3$ でだけ、$\tilde H_k(S^2)$ は $k=2$ でだけ $0$ でない。よって $p_*\colon\tilde H_k(S^3)\to\tilde H_k(S^2)$ はどの $k$ でも出発点か行き先が $0$ で、$p_*=0$ である。したがって $(pq)_*=p_*q_*=0$ である。

段 3（$q$ は $H_3$ に同型を誘導する）．$T^3$ と $S^3$ は向き付け可能な連結閉 $3$ 次元多様体であり（基本類 の節「例とほかの見方」の「球面とトーラス」）、同記事の定理「基本類の存在と一意性」の 1 により、制限 $H_3(T^3)\to H_3(T^3\mid c)$ と $H_3(S^3)\to H_3(S^3\mid\mathrm N)$ は同型で、どちらの群も $\mathbb Z$ である。$q^{-1}(\mathrm N)=\{c\}$ なので、$q$ は対の写像 $(T^3,T^3\setminus\{c\})\to(S^3,S^3\setminus\{\mathrm N\})$ を与え、$q_*$ はこの 2 つの制限と可換である。局所ホモロジー の命題「局所ホモロジーの局所性」により、包含は同型 $H_3(\operatorname{int}D_c\mid c)\cong H_3(T^3\mid c)$ と $H_3(S^3\setminus\{\mathrm S\}\mid\mathrm N)\cong H_3(S^3\mid\mathrm N)$ を誘導し、これらは $q$ と可換である。段 0 により $q$ は $(\operatorname{int}D_c,\operatorname{int}D_c\setminus\{c\})$ から $(S^3\setminus\{\mathrm S\},S^3\setminus\{\mathrm S,\mathrm N\})$ への同相写像なので、局所ホモロジーの間の $q_*$ は同型である。したがって $q_*\colon H_3(T^3)\to H_3(S^3)$ は同型で、$q_*[T^3]=\pm[S^3]\ne0$ である。定値写像は 1 点を経由するので $H_3$ に $0$ を誘導し、ホモトピックな写像は同じ写像を誘導するから、$q$ は定値写像とホモトピックでない。

段 4（持ち上げ）．$pq$ が定値写像 $b$ とホモトピックだと仮定し、$G\colon T^3\times I\to S^2$ を $G(\cdot,0)=pq$、$G(\cdot,1)=b$ となるホモトピーとする。$p$ はファイバー $S^1$ のファイバー束であり（Hopfファイブレーション の定理「Hopf ファイブレーションは円周束」）、ファイバー束はすべての CW 複体に関するホモトピー持ち上げ性質をもつ（Hat02 Proposition 4.48、p. 379。この記事では証明しない）。$T^3$ は $S^1\times S^1\times S^1$ と同相で（トーラス の例「$n$ 次元トーラス」）、$S^1$ に $0$ 胞体 1 つと $1$ 胞体 1 つの胞体構造を入れた積として CW 複体である（Hat02 Theorem A.6、p. 524）。よって $p\circ\tilde G=G$、$\tilde G(\cdot,0)=q$ となる連続写像 $\tilde G\colon T^3\times I\to S^3$ がある。$p\circ\tilde G(\cdot,1)=b$ なので、$\tilde G(\cdot,1)$ の像はファイバー $p^{-1}(b)$ に入り、$\tilde G(\cdot,1)=\iota\circ a$（$\iota\colon p^{-1}(b)\hookrightarrow S^3$ は包含、$a\colon T^3\to p^{-1}(b)$ は連続）と書ける。同相写像 $h\colon S^1\to p^{-1}(b)$ をとると、$\iota\circ h$ は $S^3$ のループを与え、$S^3$ は単連結なので（単連結空間 の命題「球面の単連結性」と命題「条件は基点の取り方によらない」）基点を止めて定値ループにホモトピックである。このホモトピーは $S^1\times I$ からの写像を与えるので、$\iota\circ h$ は定値写像とホモトピックで、$\iota=(\iota\circ h)\circ h^{-1}$ も定値写像とホモトピックである。よって $\tilde G(\cdot,1)=\iota\circ a$ は定値写像とホモトピックであり、$\tilde G$ は $q$ から $\tilde G(\cdot,1)$ へのホモトピーなので、$q$ も定値写像とホモトピックになる。これは段 3 に反する。$\square$