Meyers–Serrinの定理

要点：$|\alpha|=1$ は Sobolev空間の基本事項 の命題「滑らかな係数との積」であり、$|\alpha|$ についての帰納法で古典的な Leibniz 則と同じ計算をすればよい。

$\eta\in C_c^\infty(\Omega)$ を $K$ の近傍で $1$ となるようにとる。$\varphi\in C_c^\infty(\mathbb R^n)$ について $\eta\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ で、$K$ の近傍で $D^\alpha(\eta\varphi)=D^\alpha\varphi$ である。$w$ と $D^\alpha w$ は $\Omega\setminus K$ でほとんど至る所 $0$ である（$\Omega\setminus K$ に台をもつ試験関数について弱微分の等式の左辺が $0$ になるため）。したがって
$$ \int_{\mathbb R^n}\tilde w\,D^\alpha\varphi=\int_\Omega w\,D^\alpha(\eta\varphi)=(-1)^{|\alpha|}\int_\Omega D^\alpha w\,\eta\varphi=(-1)^{|\alpha|}\int_{\mathbb R^n}\widetilde{D^\alpha w}\,\varphi $$
であり、$\tilde w\in W^{k,p}(\mathbb R^n)$、$D^\alpha\tilde w=\widetilde{D^\alpha w}$ である。台の主張は 軟化子 の命題「軟化の基本性質」の 2、収束は同記事の定理「Sobolev 関数の軟化による近似」の 1 による。$\square$

層への分割． $j\ge1$ について
$$ \Omega_j:=\{x\in\Omega\mid|x|< j,\ \operatorname{dist}(x,\mathbb R^n\setminus\Omega)>1/j\} $$
とおき（$\Omega=\mathbb R^n$ なら距離の条件はない）、$\Omega_0=\Omega_{-1}:=\emptyset$ とする。$\Omega_j$ は開集合で、その閉包はコンパクト集合 $\{|x|\le j,\ \operatorname{dist}(x,\mathbb R^n\setminus\Omega)\ge1/j\}$ に含まれ、これは $\Omega_{j+1}$ に含まれる。また $\bigcup_j\Omega_j=\Omega$ である。$j\ge1$ について
$$ U_j:=\Omega_{j+1}\setminus\overline{\Omega_{j-1}},\qquad V_j:=\Omega_{j+2}\setminus\overline{\Omega_{j-2}} $$
とおく。$(U_j)$ は $\Omega$ を覆う。実際、$x\in\Omega$ について $x\in\Omega_m$ となる最小の $m$ をとると、$m=1$ なら $x\in U_1$、$m\ge2$ なら $x\notin\Omega_{m-1}\supset\overline{\Omega_{m-2}}$ なので $x\in U_{m-1}$ である。
1 の分割． 1の分割 の定理「滑らかな 1 の分割の存在」を開集合 $\Omega$ と開被覆 $(U_j)$ に当てて、$\zeta_j\in C^\infty(\Omega)$、$0\le\zeta_j\le1$、$\operatorname{supp}\zeta_j\subset U_j$、台の族が局所有限、$\sum_j\zeta_j=1$ となるものをとる。$\operatorname{supp}\zeta_j$ は $\Omega$ の閉集合でコンパクト集合 $\overline{\Omega_{j+1}}\subset\Omega$ に含まれるのでコンパクトであり、$\zeta_j\in C_c^\infty(\Omega)$ である。また $\operatorname{supp}\zeta_j$ は $\overline{\Omega_{j+1}}\subset\Omega_{j+2}$ に含まれ、$\Omega_{j-1}\supset\overline{\Omega_{j-2}}$ と交わらないので、$V_j$ のコンパクト部分集合である。
層ごとの近似． $\delta>0$ を固定する。lem-ms-leibniz により $u_j:=\zeta_ju\in W^{k,p}(\Omega)$ で、台は $\operatorname{supp}\zeta_j$ に入る。lem-ms-compact-mollify により、$\varepsilon_j>0$ を $\operatorname{supp}\zeta_j+\overline B(0,\varepsilon_j)\subset V_j$ かつ
$$ v_j:=\rho_{\varepsilon_j}*\tilde u_j,\qquad\|v_j-u_j\|_{W^{k,p}(\Omega)}< \delta\,2^{-j} $$
となるように選べる。$v_j$ は $C^\infty$ 級で台は $V_j$ に入る。
貼り合わせ． $v:=\sum_{j\ge1}v_j$ とおく。$m\ge1$ を固定すると、$j\ge m+2$ なら $V_j$ は $\overline{\Omega_{j-2}}\supset\Omega_m$ と交わらず、$j\ge m+1$ なら $U_j$ は $\Omega_m$ と交わらない。したがって開集合 $\Omega_m$ の上では
$$ v=\sum_{j=1}^{m+1}v_j,\qquad u=\sum_{j=1}^{m+1}\zeta_ju=\sum_{j=1}^{m+1}u_j $$
はどちらも有限和であり、$v$ は $\Omega_m$ の上で $C^\infty$ 級である。$m$ は任意なので $v\in C^\infty(\Omega)$ である。弱微分は開集合に制限しても弱微分なので、$\Omega_m$ の上で $D^\alpha(v-u)=\sum_{j\le m+1}D^\alpha(v_j-u_j)$ となり、Minkowski の不等式から
$$ \|v-u\|_{W^{k,p}(\Omega_m)}\le\sum_{j=1}^{m+1}\|v_j-u_j\|_{W^{k,p}(\Omega)}< \delta $$
である。$\Omega_m$ は $\Omega$ へ増大するので、単調収束定理で $m\to\infty$ として $\|v-u\|_{W^{k,p}(\Omega)}\le\delta$ を得る。とくに $v-u\in W^{k,p}(\Omega)$ なので $v=u+(v-u)\in W^{k,p}(\Omega)$ であり、$v\in C^\infty(\Omega)\cap W^{k,p}(\Omega)$ である。$\delta$ は任意なので定理が示された。$\square$

要点：$x_1$ 以外の変数で平均すると 1 変数の $C^1$ 関数 $F_m$ が得られ、それは $x_1=0$ の両側で $-1$ と $1$ の両方に近づかなければならない。

$d:=\|v'-u'\|_{L^\infty}<1$ とすると、ほとんどすべての $x\in(0,1)$ で $v'(x)\ge1-d$、ほとんどすべての $x\in(-1,0)$ で $v'(x)\le-(1-d)$ である。$v'$ は連続なので、これは各点で成り立ち、$x\to0$ として $1-d\le v'(0)\le-(1-d)$、すなわち $1-d\le0$ となり矛盾する。$\square$