Auslander–Buchsbaum公式

非零元の零化イデアルの中で極大なものを取る。Noether条件により存在する。それを $\mathfrak p=\operatorname{Ann}(m)$ とする。$ab\in\mathfrak p$、$b\notin\mathfrak p$ なら $bm\ne0$。$\operatorname{Ann}(bm)$ は $\mathfrak p$ を含み、極大性から同じだから $a\in\mathfrak p$。従って $\mathfrak p$ は素であり、$Am\cong A/\mathfrak p$ である。
この巡回部分加群を商へ取り除いて同じ操作を続けると、$M$ の部分加群の厳密な上昇列になる。$M$ はNoetherなので有限回で停止し、有限フィルトレーションで各因子を $A/\mathfrak p_i$ と書ける。
短完全列 $0\to U\to V\to W\to0$ で $\operatorname{Ass}(V)\subset\operatorname{Ass}(U)\cup\operatorname{Ass}(W)$ を確認する。$v$ の零化素を $\mathfrak p$ とする。$Av\cap U=0$ なら $Av$ は $W$ に単射するので $\mathfrak p$ は $W$ の随伴素。交叉が非零なら $av\ne0$ をその中に選ぶ。$a\notin\mathfrak p$ なので $\operatorname{Ann}(av)=(\mathfrak p:a)=\mathfrak p$、従って $U$ の随伴素である。$A/\mathfrak p_i$ の随伴素は整域の非零元の消去から $\mathfrak p_i$ だけ。フィルトレーションへ反復すると有限性を得る。
$a$ が $M$ の非零元を零化するなら、$a$ で零化される非零元の中から零化イデアルが極大な元を取る。同じ素性の論証では $bm$ も $a$ で零化されるので、極大性はこの限定族でも使える。従って $a$ を含む随伴素が得られる。逆に随伴素に属する元はその素を零化イデアルにもつ非零元を零化する。これで零因子の和集合表示を得る。

正則元がなければ極大イデアル全体は $M$ の零因子の有限和集合に含まれる。有限素回避から $\mathfrak m$ は一つの随伴素に含まれる。その素は極大イデアルに含まれるので $\mathfrak m$ に等しい。従って極大イデアルに零化される非零元がある。
逆にそのような元があると、極大イデアルのどの元もその非零元を零化するので単射には作用しない。従って正則元を選べない。

$x\in\mathfrak m$ の自由解像度 $P_\bullet$ 上の掛算写像は、$k$ 上で零を誘導する。これが鎖ホモトピーで零になることを明示する。次数零では $xP_0$ は増大写像の核に入り、次の微分の像に入るので、自由性を使って写像 $h_0:P_0\to P_1$ へ持ち上げる。
$h_0,\ldots,h_{i-1}$ までできたなら、$x\operatorname{id}_{P_i}-h_{i-1}d_i$ の微分を取ると、前のホモトピー恒等式により零になる。従ってその像は次の微分の像に入り、自由性で $h_i:P_i\to P_{i+1}$ へ持ち上げる。こうして $dh+hd=x\operatorname{id}$ を得る。
Hom複体では $x$ の値域への掛算と、始域 $P_i$ 上の掛算による前合成は同じである。鎖ホモトピーはコホモロジー上で零だから、$x$ の作用は零となる。任意の $x\in\mathfrak m$ について成立するので主張を得る。

$0\to M\xrightarrow{x}M\to Q\to0$ へ前節の長完全列を適用する。二つの $M$ のExtの間の写像は $x$ 倍であり、極大イデアルの零化補題から零である。従って長完全列は表示した短完全列に分かれる。
$\operatorname{Hom}(k,M)$ の元の像は $\mathfrak m$ に零化されるので、特に $x$ に零化される。$x$ の作用が単射だからその像は零で、Homは零となる。

延長できない正則列を前に構成したように選び、その長さを $r$ とする。終端の商 $Q_r$ はsocleが非零なので、最初の非零Extは次数零である。正則商の短完全列を逆に一段ずつたどる。
商の最初の非零Extが次数 $s$ なら、元の加群の最初の非零Extは次数 $s+1$ となる。実際、元のHomは零で、$0\to E^i(M)\to E^i(Q)\to E^{i+1}(M)\to0$ を次数零から順に使えば、$i< s$ で次のExtも零となる。$i=s$ では左端はすでに零、中央が非零なので右端が非零になる。従って元の $M$ の最初の非零Extは次数 $r$ である。
Extは $M$ に固有のものだから、別の延長できない列も同じ長さ $r$ となる。任意の正則列は延長できない列へ有限回で延ばせるので、その長さは $r$ 以下となる。従って最大長の定義と一致する。正則元 $x$ についても同じ次数移動を使えば、商の深さが一つ下がる。

Extの長完全列の各次数で、両隣が零なら中央が零であることを使う。$i$ が $L,Q$ の深さより小さければ $E^i(L)=E^i(Q)=0$ なので $E^i(N)=0$。これが第一の不等式。
$i$ が $N$ の深さと $Q$ の深さに一を加えた値より小さければ、$E^{i-1}(Q)=E^i(N)=0$ なので $E^i(L)=0$。負次数のExtは零と約束し、次数零も含めて第二を得る。
$i$ が $L$ の深さから一を引いた値と $N$ の深さより小さければ、$E^i(N)=E^{i+1}(L)=0$ なので $E^i(Q)=0$。これが第三である。前の特徴づけで最初の非零次数へ戻せば、表示した深さの不等式になる。零加群ではExtが全次数零なので、無限大の規約も同じ計算と両立する。

増大解像度 $P_\bullet,Q_\bullet$ を取る。$P_0\to M$ を $Q_0\to M$ へ射影性で持ち上げる。$f_i$ まで作れば $f_i d_{i+1}$ は目標のサイクルに入る。目標の完全性と $P_{i+1}$ の射影性から次の持上げを選べる。
二つの写像 $f,g$ の差は次数零で増大写像の核に入るので、$h_0:P_0\to Q_1$ を選べる。既に $h_{i-1}$ まであれば、$f_i-g_i-h_{i-1}d_i$ の微分は前の恒等式から零となる。これを次へ持ち上げて $h_i$ を作ると $f-g=dh+hd$ となる。逆向きの比較も作れば合成は恒等とホモトピックである。
任意の加群をテンソルしてもこの恒等式は成立するので、ホモロジー上で比較写像は互いに逆になる。従って射影解像度にテンソルを適用したホモロジー、すなわちTorは選択によらない。テンソルが元の解像度の完全性を保存するとは主張していない。保存されるのは比較のホモトピー恒等式である。

引戻し $W=\{(p,q)\in P\oplus Q\mid p,q\text{の像が等しい}\}$ を作る。$W\to P$ は全射で核が $L$、$W\to Q$ は全射で核が $K$ となる。始域へのこれらの全射は射影性から分裂する。従って $W\cong L\oplus P$ と $W\cong K\oplus Q$ が同時に成り立つ。
この操作を長さに関して反復する。最初の核が $K\oplus Q\cong L\oplus P$ となったら、$K$ の残りの解像度に $Q$ を次数零の射影直和として付加し、$L$ 側にも $P$ を付加する。同型の加群に対する一段短い解像度になり、再び同じ補題を使える。帰納すると最終の核は、それぞれに解像度の射影項の有限直和を加えた後に同型となる。一方の最終核が射影なら、他方も射影である。射影直和は射影であり、その直和因子も射影だからである。元の射影項は無限生成でもこの反復は成立する。
特に $\operatorname{pd}M\le n$ なら、別に構成した自由解像度の第 $n$ syzygyも射影になる。長さ $n$ の射影解像度の最後の項を最終核と見て上述の反復を使えばよい。$n=0$ は $M$ 自体が射影という定義に戻る。

$M/\mathfrak mM$ の基底を持ち上げ $F_0\to M$ を作る。有限余核へのNakayamaから全射であり、核の元は剰余体上で零になるので核は $\mathfrak mF_0$ に含まれる。核はNoether性により有限生成だから、核に同じ操作を反復する。これで各微分の行列要素が極大イデアルに入る自由解像度を得る。
$\operatorname{pd}M=n< \infty$ なら、第 $n$ syzygyは前の補題で射影、有限局所射影の結果から自由になる。これをそのまま最後の $F_n$ とすれば有限解像度が得られる。$n>0$ で $F_n=0$ ならすでに一段短い解像度があるため、射影次元の最小性に反する。
剰余体をテンソルすると全微分が零になるから、最後の $F_n\ne0$ に対して $\operatorname{Tor}_n^A(k,M)=k\otimes_A F_n\ne0$。一段短い射影解像度が存在すれば同じTorは零だが、比較独立性に反する。従って長さは正確に射影次元である。$n=0$ の場合は非零有限射影 $M$ 自体が非零自由である。
$n\ge1$ で $N=\ker(F_0\to M)$ とすれば、残りの最小解像度から $\operatorname{pd}N\le n-1$。より短い解像度が $N$ にあれば $F_0$ を連結して $M$ のより短い解像度が得られるので、実際に $\operatorname{pd}N=n-1$ である。

$d=\operatorname{depth}A$、$n=\operatorname{pd}M$ とし、$n$ について帰納する。$n=0$ なら $M$ は階数一以上の有限自由。Extは有限直和と交換するため、最初の非零Ext次数は $A$ と同じで、深さは $d$ となる。
$n\ge1$ では最小解像度の最初の短完全列 $0\to N\to F_0\to M\to0$ を使う。$N$ は非零有限で射影次元 $n-1$ である。帰納仮説から $s=\operatorname{depth}N=d-n+1$。
$n\ge2$ なら $s< d$。もし $s=0$ なら非零の $\operatorname{Hom}(k,N)$ が $\operatorname{Hom}(k,F_0)=0$ に単射するので矛盾。従って $s>0$。Ext長完全列において $i< s-1$ では $E^i(M)=0$、次数 $s-1$ では $E^{s-1}(M)\cong E^s(N)\ne0$ となる。ここで $E^i(F_0)=0$ は $i< d$ に使った。従って $\operatorname{depth}M=s-1=d-n$。
$n=1$ では $N$ は非零有限自由となる。最小性により $N\to F_0$ の行列要素はすべて $\mathfrak m$ に入り、極大イデアルは $\operatorname{Ext}^i(k,A)$ を零化する。従って $E^i(N)\to E^i(F_0)$ は全次数で零である。$d=0$ ならHomの単射性とこの零写像が矛盾するので $d\ge1$。次数 $d-1$ で $E^{d-1}(M)\to E^d(N)$ は全射で非零、下次数は零。従って深さは $d-1$ となる。すべての枝で $n+\operatorname{depth}M=d$ が成り立つ。