入射対象

有理数の加法群 $\mathbb{Q}$ は $\mathbb{Z}$ 加群として入射的である。実際 $\mathbb{Q}$ は可除である（$n>0$ と $m\in\mathbb{Q}$ に対して $x=m/n$）から、prop-injective-object-pid による。可除群の商群は可除である（$nx=m$ の解 $x$ の像が商での解になる）ので、$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ も入射的である。$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ は「すべての元がねじれ元（捩れ(加群)）である入射群」の代表例であり、任意の零でないアーベル群 $M$ に対して零でない準同型 $M\to\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ が存在する（余生成子 の定理「加群の圏の入射的余生成子」）。

素数 $p$ に対し、$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ の部分群
$$ \mathbb{Z}/p^\infty:=\{\,a/p^n+\mathbb{Z}\mid a\in\mathbb{Z},\ n\ge0\,\}=\mathbb{Z}[1/p]/\mathbb{Z} $$
を Prüfer 群（Prüfer群）という。これは可除であり、したがって入射的である。実際、正の整数 $m$ を $m=p^km'$（$p\nmid m'$）と書き、$x=a/p^n+\mathbb{Z}$ を任意にとる。$m'$ は $p^{n}$ と互いに素なので $m'b\equiv a\pmod{p^{n}}$ をみたす整数 $b$ がある。$y:=b/p^{n+k}+\mathbb{Z}$ とおくと
$$ my=\frac{p^km'b}{p^{n+k}}+\mathbb{Z}=\frac{m'b}{p^{n}}+\mathbb{Z}=\frac{a}{p^n}+\mathbb{Z}=x $$
である。$\mathbb{Z}/p^\infty$ は群の位数 $p^n$ の巡回群 $\langle 1/p^n\rangle$ の増大列の和であり、真部分群はすべて有限巡回群 $\mathbb{Z}/p^n$ である。$\mathbb{Z}/p$ の入射包がこの群であることを ex-injective-object-hull-examples で見る。

$k$ を体とすると、任意の $k$ ベクトル空間 $V$ は $k$ 加群として入射的である。Baer の判定法（thm-injective-object-baer）で確かめる。$k$ のイデアルは $0$ と $k$ だけである。$0\to V$ は零写像であり $k\to V$ の零写像に延びる。$k\to V$ は既に $k$ 全体で定義されている。ゆえに $V$ は入射的である。同じ理由で、体上ではすべての加群が射影的でもある。このように、すべての対象が入射的（あるいはすべての対象が射影的）であるアーベル圏では、任意の短完全列が分裂する（分裂完全列（直和）。入射対象・射影対象 の記事の命題「射影対象・入射対象への（からの）短完全列は分裂する」）。より一般に、すべての加群が入射的である環は半単純環にほかならない（半単純環、Lam99 §3）。

$\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}$ 加群として入射的でない。$\mathbb{Z}$ は可除でない（$2x=1$ をみたす整数 $x$ はない）ので、prop-injective-object-pid の「入射的ならば可除」により入射的でない。延長が失敗する具体的な図式（$2\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Z}$ と $2n\mapsto n$）は 入射対象・射影対象 の記事にある。一方 $\mathbb{Z}$ は自由加群なので射影的である。したがって「射影的ならば入射的」は成り立たない。逆向きも成り立たない：$\mathbb{Q}$ は入射的だが射影的でない（ex-injective-object-q-not-projective）。

$\mathbb{Q}$ は $\mathbb{Z}$ 加群として射影的でない。まず $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Q},\mathbb{Z})=0$ である。実際 $\varphi\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Z}$ の像は可除群の像として可除な部分群であるが、$\mathbb{Z}$ の可除な部分群は $0$ だけである（$0\neq a\in\mathbb{Z}$ が $n:=2|a|$ で割れるなら $a=2|a|\,x$ をみたす整数 $x\neq0$ があり $|a|=2|a||x|\ge 2|a|$ となって矛盾）。$\mathbb{Q}$ が射影的だと仮定する。自由加群からの全射 $F=\mathbb{Z}^{(S)}\to\mathbb{Q}$ をとると、射影加群は自由加群の直和因子であるから $\mathbb{Q}$ は $F=\mathbb{Z}^{(S)}$ に単射的に埋め込まれる。この埋め込みを各成分への射影 $F\to\mathbb{Z}$ と合成したものは $\mathbb{Q}\to\mathbb{Z}$ の準同型なので零であり、したがって埋め込み自身が零写像となる。$\mathbb{Q}\neq0$ なのでこれは矛盾である。よって入射的であることと射影的であることは互いに独立な性質である。

零でない有限アーベル群（アーベル群） $G$ は $\mathbb{Z}$ 加群として入射的でない。$n:=|G|$ とおくと Lagrangeの定理により $nG=0\neq G$ なので $G$ は可除でなく、prop-injective-object-pid により入射的でない。
より強く、有限生成な入射 $\mathbb{Z}$ 加群は $0$ に限る。$M\neq0$ を有限生成加群とし、生成元を $m_1,\dots,m_k$ とする。$M$ の真部分群の全体は包含について帰納的である。実際、真部分群の全順序な族の和集合 $U$ が $M$ に一致すれば、各 $m_i$ は族のある元に属し、族が全順序なので $m_1,\dots,m_k$ をすべて含む族の元があって $M$ に一致し、真部分群であることに反する。よって Zornの補題により極大真部分群 $N$ が存在し、$M/N$ は零でない単純加群、すなわち零でない真部分群をもたないアーベル群である。零でない $x\in M/N$ の生成する巡回群は $M/N$ 全体なので $M/N\cong\mathbb{Z}/d$（$d\ge0$、$d\neq1$）であり、$\mathbb{Z}$（$d=0$）と $\mathbb{Z}/d$（$d$ 合成数、$p\mid d$）は零でない真部分群 $2\mathbb{Z}$、$p\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ をもつから、$d$ は素数 $p$ である。$M$ が入射的なら可除で、可除群の商 $M/N\cong\mathbb{Z}/p$ も可除であるが、$p\cdot\mathbb{Z}/p=0\neq\mathbb{Z}/p$ なので矛盾する。ゆえに $M=0$ である。この事実は、有限生成アーベル群の基本定理 $M\cong\mathbb{Z}^r\oplus\bigoplus_i\mathbb{Z}/n_i$ を使えば、$r>0$ なら $M/2M\neq0$、$n_i>1$ なら $p\mid n_i$ に対して $M/pM\neq0$ となることからも従う。

prop-injective-object-pid の「可除ならば入射的」は単項イデアル整域でない環では破れる。$k$ を体、$R:=k[x,y]$ を 2 変数多項式環、$K:=k(x,y)$ をその分数体とし、$M:=K/R$ とおく。$M$ は可除である：$0\neq r\in R$ に対して $rK=K$ なので $r(K/R)=K/R$ となる。しかし $M$ は入射的でない。イデアル $I:=(x,y)$ の元は $ax+by$（$a,b\in R$）と書ける。$R$ 準同型 $f\colon I\to M$ を
$$ f(ax+by):=\frac{a}{y}+R\in K/R $$
で定める。これは矛盾なく定まる：$ax+by=a'x+b'y$ なら $(a-a')x=(b'-b)y$ であり、$R$ は一意分解整域で $x,y$ は互いに素な既約元（素元）なので $a-a'=cy$（$c\in R$）と書け、$a/y-a'/y=c\in R$ となるからである。$R$ 線形性は、$(ax+by)+(a'x+b'y)=(a+a')x+(b+b')y$ と $r(ax+by)=(ra)x+(rb)y$ から $f$ の値がそれぞれ $(a+a')/y+R$、$ra/y+R$ になることによる。$f$ が $g\colon R\to M$ に延びたとする。$g(1)=u+R$（$u\in K$）とおくと、$f(y)=0$ から $yu=:s\in R$、$f(x)=1/y+R$ から $xu-1/y=(xs-1)/y\in R$、すなわち $y\mid xs-1$ が $R$ で成り立つ。両辺に $y=0$ を代入すると $x\,s(x,0)=1$ が $k[x]$ で成り立つことになり、次数を比べて矛盾する。ゆえに $f$ は延びず、thm-injective-object-baer により $M$ は入射的でない。
この反例が破る含意は「可除 $\Rightarrow$ 入射的」であり、「入射的 $\Rightarrow$ 可除」の方は任意の可換環で成り立つ（prop-injective-object-pid の前半）。実は整域 $R$ について「可除 $R$ 加群がすべて入射的」であることと $R$ が Dedekind整域 であることは同値である（Lam99 §3）。

1. $E(\mathbb{Z})=\mathbb{Q}$ である。$\mathbb{Q}$ は入射的であり（ex-injective-object-rationals）、$\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}$ は本質拡大である：零でない部分群 $N\subset\mathbb{Q}$ の零でない元 $a/b$（$a,b\in\mathbb{Z}$、$b>0$）に対し $b\cdot(a/b)=a$ は $N\cap\mathbb{Z}$ の零でない元である。より一般に、整域 $R$ の $R$ 加群としての入射包は分数体 $\operatorname{Frac}R$ である（本質性は同じ議論による。$\operatorname{Frac}R$ の入射性は、$R$ が単項イデアル整域でないときは prop-injective-object-pid からは出ず、整域上のねじれのない可除加群が入射的であることを使う。Lam99 §3）。
2. $E(\mathbb{Z}/p)=\mathbb{Z}/p^\infty$ である。$\mathbb{Z}/p^\infty$ は入射的であり（ex-injective-object-prufer）、$\mathbb{Z}/p\cong\langle 1/p+\mathbb{Z}\rangle$ の包含は本質拡大である：零でない元 $a/p^n+\mathbb{Z}$（$p\nmid a$、$n\ge1$）に対して $p^{n-1}\cdot(a/p^n+\mathbb{Z})=a/p+\mathbb{Z}$ は位数 $p$ の零でない元であり、$\langle 1/p+\mathbb{Z}\rangle$ に属する。
3. 体 $k$ 上のベクトル空間 $V$ は入射的なので $E(V)=V$ である。一般に、$M$ が入射的なら $M\subset M$ 自身が入射包であり、逆に $E(M)=M$ なら $M$ は入射的である（def-injective-object-hull）。
4. $E(\mathbb{Z}/6)=\mathbb{Z}/2^\infty\oplus\mathbb{Z}/3^\infty$ である。実際 $\mathbb{Z}/6\cong\mathbb{Z}/2\oplus\mathbb{Z}/3$ で、右辺は prop-injective-object-product により入射的であり、2 つの本質拡大 $M_1\subset E_1$、$M_2\subset E_2$ の直和 $M_1\oplus M_2\subset E_1\oplus E_2$ は本質拡大である。後者を確かめる：零でない $(x,y)\in E_1\oplus E_2$ をとる。$x\neq0$ なら $rx\in M_1\setminus\{0\}$ なる $r\in R$ がある。$ry=0$ なら $r(x,y)=(rx,0)$ が $M_1\oplus M_2$ の零でない元である。$ry\neq0$ なら $s(ry)\in M_2\setminus\{0\}$ なる $s$ をとると $sr(x,y)=(srx,sry)$ は第 2 成分が零でない $M_1\oplus M_2$ の元である。$x=0$ なら $y\neq0$ で同様である。