入射対象

任意の対象 $I$ について $\operatorname{Hom}(-,I)$ は左完全である。すなわち $0\to A\xrightarrow{u}B\xrightarrow{v}C\to0$ が完全なら $0\to\operatorname{Hom}(C,I)\xrightarrow{v^*}\operatorname{Hom}(B,I)\xrightarrow{u^*}\operatorname{Hom}(A,I)$ は完全である。実際、$v$ はエピ射だから $h\circ v=0$ ならば $h=0$ であり、$v^*$ は単射である。$u^*\circ v^*=(v\circ u)^*=0$ である。$g\in\operatorname{Hom}(B,I)$ が $g\circ u=0$ をみたせば、$v$ が $u$ の余核であることから $g$ は $v$ を経由し $g=h\circ v=v^*(h)$ と書ける。ゆえに $\ker u^*=\operatorname{im}v^*$ である。
したがって 2 は「任意の短完全列について $u^*$ が全射」と同値である。3 は def-injective-object の言い換えそのものである（$u^*(g)=g\circ u=f$ をみたす $g$ が $f$ の延長）。アーベル圏では任意のモノ射 $u\colon A\hookrightarrow B$ が短完全列 $0\to A\xrightarrow{u}B\to\operatorname{coker}u\to0$ に埋め込めるので、2 と 3 も同値である。$\blacksquare$

$p_j\colon\prod_jI_j\to I_j$ を射影とする。モノ射 $u\colon A\hookrightarrow B$ と射 $f\colon A\to\prod_jI_j$ が与えられたとき、各 $j$ について $p_j\circ f\colon A\to I_j$ は $I_j$ の入射性により $g_j\circ u=p_j\circ f$ をみたす $g_j\colon B\to I_j$ に延びる。直積の普遍性により $p_j\circ g=g_j$（すべての $j$）をみたす射 $g\colon B\to\prod_jI_j$ がただ 1 つ存在する。すると $p_j\circ g\circ u=g_j\circ u=p_j\circ f$ がすべての $j$ で成り立つので、普遍性の一意性から $g\circ u=f$ である。有限個の直和は直積と一致する（加法圏の双積）。$\blacksquare$

必要性は def-injective-object-module を包含 $\mathfrak{a}\subset R$ に適用すればよい。十分性を示す。$A\subset B$ を左 $R$ 加群の包含、$f\colon A\to E$ を $R$ 準同型とする。集合
$$ \mathcal{S}:=\{\,(A',g')\mid A\subset A'\subset B\ \text{は部分加群},\ g'\colon A'\to E\ \text{は}\ R\ \text{準同型},\ g'|_A=f\,\} $$
に順序 $(A',g')\le(A'',g'')\iff A'\subset A''\ \text{かつ}\ g''|_{A'}=g'$ を入れる。$\mathcal{S}$ は $(A,f)$ を含むので空でない。$\mathcal{S}$ の全順序部分集合 $\{(A_\lambda,g_\lambda)\}$ に対して、$A^*:=\bigcup_\lambda A_\lambda$ は部分加群であり（2 元は全順序性からある共通の $A_\lambda$ に属する）、$g^*(a):=g_\lambda(a)$（$a\in A_\lambda$）は $g_\lambda$ たちの両立性から矛盾なく定まる $R$ 準同型で、$(A^*,g^*)$ はこの部分集合の上界である。Zornの補題により $\mathcal{S}$ は極大元 $(A_0,g_0)$ をもつ。
$A_0=B$ を示せばよい。$A_0\neq B$ と仮定し、$b\in B\setminus A_0$ をとる。
$$ \mathfrak{a}:=\{\,r\in R\mid rb\in A_0\,\} $$
は $R$ の左イデアルであり、$h\colon\mathfrak{a}\to E$、$h(r):=g_0(rb)$ は $R$ 準同型である。仮定により $h$ は $R\to E$ に延びるので、すべての $r\in\mathfrak{a}$ について $h(r)=re$ をみたす $e\in E$ がある。部分加群 $A_1:=A_0+Rb\supsetneq A_0$ の上で
$$ g_1(a+rb):=g_0(a)+re\qquad(a\in A_0,\ r\in R) $$
と定める。これは矛盾なく定まる：$a+rb=a'+r'b$ ならば $(r-r')b=a'-a\in A_0$ なので $r-r'\in\mathfrak{a}$ であり、
$$ g_0(a')-g_0(a)=g_0((r-r')b)=h(r-r')=(r-r')e $$
から $g_0(a)+re=g_0(a')+r'e$ を得る。$g_1$ が $R$ 準同型であることと $g_1|_{A_0}=g_0$ は定義から明らかである。よって $(A_1,g_1)\in\mathcal{S}$ は $(A_0,g_0)$ より真に大きく、極大性に反する。ゆえに $A_0=B$ であり、$g_0$ が求める延長である。$\blacksquare$

1. $r\in R$ を非零因子、$m\in M$ とする。イデアル $Rr$ の元は $sr$ と一意に書ける（$sr=s'r$ なら $(s-s')r=0$ で $s=s'$）ので、$f\colon Rr\to M$、$f(sr):=sm$ は矛盾なく定まる $R$ 準同型である。$M$ が入射的なら $f$ は $g\colon R\to M$ に延び、$m=f(r)=g(r)=r\,g(1)$ となる。ゆえに $m\in rM$ であり $rM=M$ である。
2. $R$ を単項イデアル整域、$M$ を可除とする。thm-injective-object-baer により、イデアル $\mathfrak{a}=(a)$ からの $R$ 準同型 $f\colon(a)\to M$ が $R$ に延びることを示せばよい。$a=0$ なら $f=0$ で零写像に延びる。$a\neq0$ なら $a$ は整域の非零因子なので、可除性により $ax=f(a)$ をみたす $x\in M$ がある。$g\colon R\to M$、$g(s):=sx$ とおくと、$g(sa)=sax=sf(a)=f(sa)$ なので $g|_{(a)}=f$ である。よって $M$ は入射的である。1 と合わせて同値性が従う。$\blacksquare$

$M$ の生成系 $S$（たとえば $S=M$）をとり、自由アーベル群 $F:=\mathbb{Z}^{(S)}$ から $M$ への全射 $\pi\colon F\to M$ を、基底 $e_s$ を $s$ に送るものとして定める。$K:=\ker\pi$ とおくと $M\cong F/K$ である。$F=\mathbb{Z}^{(S)}$ は $D:=\mathbb{Q}^{(S)}$ の部分群であり、$D$ は可除群 $\mathbb{Q}$ の直和なので可除である（$n>0$ に対し各成分で割ればよい）。合成 $M\cong F/K\hookrightarrow D/K$ は単射であり、$D/K$ は可除群の商なので可除である。prop-injective-object-pid により $D/K$ は入射的である。$\blacksquare$

まず $(r\varphi)$ が定める構造が左加群の公理をみたすことを見る。$((rr')\varphi)(s)=\varphi(srr')$ であり、$(r(r'\varphi))(s)=(r'\varphi)(sr)=\varphi(srr')$ なので両者は一致する。加法性と $1\varphi=\varphi$ は明らかである。
任意の左 $R$ 加群 $N$ に対して、写像
$$ \Phi_N\colon\operatorname{Hom}_R\bigl(N,\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(R,D)\bigr)\longrightarrow\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(N,D),\qquad\Phi_N(\alpha)(n):=\alpha(n)(1) $$
は全単射で、$N$ について自然である（随伴関手の一例）。逆写像は $\Psi_N(\beta)(n)(r):=\beta(rn)$ で与えられる。実際 $\Psi_N(\beta)$ が $R$ 線形であることは
$$ \bigl(r'\cdot\Psi_N(\beta)(n)\bigr)(r)=\Psi_N(\beta)(n)(rr')=\beta(rr'n)=\Psi_N(\beta)(r'n)(r) $$
から従い、$\Phi_N\Psi_N(\beta)(n)=\beta(1\cdot n)=\beta(n)$、$\Psi_N\Phi_N(\alpha)(n)(r)=\alpha(rn)(1)=(r\,\alpha(n))(1)=\alpha(n)(1\cdot r)=\alpha(n)(r)$ である。自然性とは、$R$ 準同型 $u\colon A\to B$ に対して $\Phi_A(\alpha\circ u)=\Phi_B(\alpha)\circ u$ が成り立つことであり、これは定義から直ちに確かめられる。
さて $u\colon A\hookrightarrow B$ を単射な $R$ 準同型、$f\colon A\to\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(R,D)$ を $R$ 準同型とする。$\Phi_A(f)\colon A\to D$ はアーベル群の準同型で、$D$ は入射 $\mathbb{Z}$ 加群なので、$\beta\circ u=\Phi_A(f)$ をみたす $\beta\colon B\to D$ がある。$g:=\Psi_B(\beta)\colon B\to\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(R,D)$ とおくと、自然性により $\Phi_A(g\circ u)=\Phi_B(g)\circ u=\beta\circ u=\Phi_A(f)$ であり、$\Phi_A$ は単射なので $g\circ u=f$ である。ゆえに $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(R,D)$ は入射的である。$\blacksquare$

$M$ を左 $R$ 加群とする。lem-injective-object-enough-ab により、アーベル群としての単射 $\iota\colon M\hookrightarrow D$（$D$ は可除群）がある。写像
$$ \theta\colon M\longrightarrow\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(R,D),\qquad\theta(m)(r):=\iota(rm) $$
を考える。$\theta$ は $R$ 線形である：$(r'\theta(m))(r)=\theta(m)(rr')=\iota(rr'm)=\theta(r'm)(r)$。$\theta$ は単射である：$\theta(m)=0$ なら $\iota(m)=\theta(m)(1)=0$ で、$\iota$ の単射性から $m=0$。lem-injective-object-coinduced により $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(R,D)$ は入射的なので、$\theta$ が求める埋め込みである。入射分解は、$M\hookrightarrow I^0$ の余核を入射加群 $I^1$ に埋め込み、その余核を $I^2$ に埋め込む操作を繰り返して得られる。$\blacksquare$

1. $E\subset B$ を本質拡大とする。$E$ は入射的なので包含 $E\hookrightarrow B$ は分裂し（rem-injective-object-sum-summand）、$B=E\oplus C$ をみたす部分加群 $C$ がある。$C\cap E=0$ であり、本質性から $C=0$、すなわち $B=E$ である。
2. Zorn の補題による。$M\subset E'$ が本質拡大で $E\subset E'\subset I$ なる部分加群 $E'$ の全体は $E$ を含むので空でなく、全順序な族 $\{E'_\lambda\}$ の和集合 $E'^*$ は、零でない部分加群 $N\subset E'^*$ の零でない元 $x$ がある $E'_\lambda$ に属し、$Rx\cap M\neq0$ となることから、ふたたび $M$ の本質拡大である。よって極大元が存在する。$\blacksquare$