σ-代数の濃度

順序数の列の上限は和集合 $\bigcup_n\alpha_n$ である（順序数 の記事の命題「順序数の集まりの整列性と上限」）。各 $\alpha_n$ は可算なので、可算個の可算集合の和集合として $\bigcup_n\alpha_n$ は可算であり（可算集合 の記事の定理「可算個の可算集合の和集合」。ここで選択公理を使う）、したがって $\omega_1$ より小さい。$\square$

要点：補集合と可算個の和をとる操作を、可算順序数の回数だけくり返す。$\omega_1$ 段までくり返せば可算個の和で閉じ（lem-sac-omega1）、各段の濃度は $\kappa^{\aleph_0}$ を超えない。
段の構成：順序数 $\alpha<\omega_1$ についての超限再帰（順序数 の記事の定理「順序数上の超限再帰」）で $X$ の部分集合の族 $\mathcal{F}_\alpha$ を次のように定める。
$$ \begin{aligned} \mathcal{F}_0&:=\mathcal{G}\cup\{\emptyset\},\\ \mathcal{F}_{\alpha+1}&:=\mathcal{F}_\alpha\cup\{X\setminus A\mid A\in\mathcal{F}_\alpha\}\cup\Bigl\{\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n\ \Big|\ A_0,A_1,\ldots\in\mathcal{F}_\alpha\Bigr\},\\ \mathcal{F}_\alpha&:=\bigcup_{\beta<\alpha}\mathcal{F}_\beta\quad(\alpha\text{ は極限順序数}). \end{aligned} $$
$\beta\le\alpha$ なら $\mathcal{F}_\beta\subset\mathcal{F}_\alpha$ であり、$\sigma(\mathcal{G})$ は補集合と可算個の和で閉じるので、超限帰納法（超限帰納法）によりすべての $\mathcal{F}_\alpha$ は $\sigma(\mathcal{G})$ に含まれる。$\mathcal{F}:=\bigcup_{\alpha<\omega_1}\mathcal{F}_\alpha$ とおく。
$\mathcal{F}=\sigma(\mathcal{G})$：$\mathcal{F}\subset\sigma(\mathcal{G})$ はいま見た。$\emptyset\in\mathcal{F}_0$ であり、$A\in\mathcal{F}_\alpha$ なら $X\setminus A\in\mathcal{F}_{\alpha+1}$ である。$A_n\in\mathcal{F}_{\alpha_n}$（$n\in\mathbb{N}$）なら、lem-sac-omega1 により $\beta:=\sup_n\alpha_n<\omega_1$ であり、すべての $A_n$ は $\mathcal{F}_\beta$ に属するので $\bigcup_nA_n\in\mathcal{F}_{\beta+1}$ で、$\beta+1<\omega_1$ である。よって $\mathcal{F}$ は $\mathcal{G}$ を含む σ-代数であり、$\sigma(\mathcal{G})\subset\mathcal{F}$ である。
濃度：$\lambda:=\kappa^{\aleph_0}$ とおく。$\kappa\ge2$ なので $\lambda\ge2^{\aleph_0}$ であり、$\lambda$ は無限で、$\lambda^{\aleph_0}=\kappa^{\aleph_0\cdot\aleph_0}=\lambda$ である（基数 の記事の命題「基数の算術の基本規則」の 3・4 と $\aleph_0\cdot\aleph_0=\aleph_0$）。また $2^{\aleph_0}$ は $\aleph_0$ より大きい基数なので $\aleph_1\le2^{\aleph_0}\le\lambda$ である。$\alpha<\omega_1$ についての超限帰納法で $\lvert\mathcal{F}_\alpha\rvert\le\lambda$ を示す。

• $\lvert\mathcal{F}_0\rvert\le\kappa+1\le\lambda$ である。
• $\lvert\mathcal{F}_\alpha\rvert\le\lambda$ なら、補集合の族の濃度は $\lvert\mathcal{F}_\alpha\rvert$ 以下であり、可算個の和の族は列の集合 $(\mathcal{F}_\alpha)^{\mathbb{N}}$ の像なので濃度は $\lambda^{\aleph_0}=\lambda$ 以下である。よって $\lvert\mathcal{F}_{\alpha+1}\rvert\le\lambda+\lambda+\lambda=\lambda$ である（同記事の命題「無限基数の和と積」）。
• 極限順序数 $\alpha<\omega_1$ は可算なので、$\mathcal{F}_\alpha$ は濃度 $\lambda$ 以下の族の可算個の和であり、$\lvert\mathcal{F}_\alpha\rvert\le\aleph_0\cdot\lambda=\lambda$ である（各 $\mathcal{F}_\beta$ から $\lambda$ への単射を選択公理で選ぶ）。
  同じ理由で $\lvert\mathcal{F}\rvert\le\aleph_1\cdot\lambda=\lambda$ である。$\square$

thm-sac-upper を $\kappa=\aleph_0$ で使うと、濃度は $\aleph_0^{\aleph_0}$ 以下である。$2^{\aleph_0}\le\aleph_0^{\aleph_0}\le(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}$ なので（基数 の記事の命題「基数の算術の基本規則」の 3・4）、$\aleph_0^{\aleph_0}=\mathfrak{c}$ である。無限なら rem-sac-lower により濃度は $\mathfrak{c}$ 以上なので、Cantor–Bernstein の定理（同記事の定理「Cantor–Bernstein の定理：単射の往復から全単射」）により $\mathfrak{c}$ に等しい。$\square$

可算な開基 $\mathcal{U}$ をとると、開集合はそれに含まれる $\mathcal{U}$ の元の和であり、その個数は可算なので $\sigma(\mathcal{U})$ に属する。よって $\mathcal{B}(X)=\sigma(\mathcal{U})$ は可算生成で、thm-sac-upper により濃度は $\aleph_0^{\aleph_0}=\mathfrak{c}$ 以下である。$\mathbb{R}^n$ では有理数の端点をもつ開直方体の全体が可算な開基であり、1 点集合は閉集合なので $x\mapsto\{x\}$ は $\mathbb{R}^n$ から $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ への単射である。よって $\mathfrak{c}=\lvert\mathbb{R}^n\rvert\le\lvert\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\rvert\le\mathfrak{c}$ である。$\square$

Cantor集合 $C$ の部分集合はすべて Lebesgue 零集合なので Lebesgue 可測であり、$\lvert C\rvert=\mathfrak{c}$ である（Lebesgue測度 の記事の命題「Borel集合でないLebesgue可測集合」の証明）。よって $2^{\mathfrak{c}}=\lvert\mathcal{P}(C)\rvert\le\lvert\mathcal{L}\rvert\le\lvert\mathcal{P}(\mathbb{R})\rvert=2^{\mathfrak{c}}$ であり、$\lvert\mathcal{L}\rvert=2^{\mathfrak{c}}$ である。Cantor の定理（基数 の記事の定理「Cantor の定理：冪集合は真に大きい」）により $2^{\mathfrak{c}}>\mathfrak{c}$ なので、cor-sac-countable により $\mathcal{L}$ は可算生成でなく、prop-sac-borel により $\mathcal{B}(\mathbb{R})\ne\mathcal{L}$ である。$\square$