Gram行列

同義語：グラム行列Gram matrix

概要

前提知識: 内積空間, 行列式, 正定値行列

$\mathbb{R}^3$ の 2 つのベクトル $a=(1,0,1)$、$b=(0,1,1)$ について、互いの内積を表に並べると
$$ \begin{pmatrix}\langle a,a\rangle&\langle b,a\rangle\\\langle a,b\rangle&\langle b,b\rangle\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix} $$
となる。対角成分は長さの 2 乗、非対角成分は 2 つのなす角の情報を持つ。この行列式 $2\cdot2-1\cdot1=3$ は、$a$ と $b$ の張る平行四辺形の面積 $\sqrt3$ の 2 乗に等しい。このように、ベクトルの組の内積をすべて並べた行列を Gram 行列 という。Gram 行列はベクトルの「置き場所」を忘れ、長さ・角・面積や体積といった「形」だけを記録する。この記事では、半正定値性と線形関係の検出、Gram 行列式と体積の関係、Gram 行列が組の形を決めることを証明する。

定義

以下、$F$ は実数体 $\mathbb{R}$ または複素数体 $\mathbb{C}$ とし、$V$ を $F$ 上の内積空間とする。内積 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ は第 1 変数について線形、第 2 変数について共役線形とし（内積の記事の約束と同じ）、$\|x\|:=\sqrt{\langle x,x\rangle}$ と書く。$F^n$ には標準内積 $\langle x,y\rangle=\sum_kx_k\overline{y_k}=y^*x$ を入れる。ここで $M^*:=\overline{M}^{\top}$ は共役転置である（$F=\mathbb{R}$ では転置 $M^{\top}$）。

Gram行列とGram行列式

$v_1,\dots,v_k\in V$（$k\ge1$）に対し、$(i,j)$ 成分が $\langle v_j,v_i\rangle$ の $k$ 次正方行列
$$ \Gamma(v_1,\dots,v_k):=\bigl(\langle v_j,v_i\rangle\bigr)_{1\le i,j\le k}\in M_k(F) $$
を $v_1,\dots,v_k$ の Gram 行列（Gram matrix）といい、その行列式
$$ G(v_1,\dots,v_k):=\det\Gamma(v_1,\dots,v_k) $$
を Gram 行列式（Gram determinant）という。$k=0$（空の組）では $G:=1$ と約束する。

$F^n$ の列ベクトル $a_1,\dots,a_k$ を並べた $n\times k$ 行列を $A=(a_1\ \cdots\ a_k)$ とすると、$\langle a_j,a_i\rangle=a_i^*a_j$ は $A^*A$ の $(i,j)$ 成分なので
$$ \Gamma(a_1,\dots,a_k)=A^*A\qquad(F=\mathbb{R}\text{ では }A^{\top}A) $$
である。

添字の流儀

$(i,j)$ 成分を $\langle v_i,v_j\rangle$ とする流儀も多い。これはここでの $\Gamma$ の転置であり、$\Gamma$ は Hermite 行列（thm-gram-main）なので、成分の複素共役をとった行列 $\overline{\Gamma}$ に等しい。実内積空間では 2 つの流儀は一致し、複素の場合も行列式は実数なので一致する。この記事の流儀は $\Gamma(a_1,\dots,a_k)=A^*A$ が成り立つように選んだ。

直感

Gram 行列の成分から、各ベクトルの長さ $\|v_i\|^2=\Gamma_{ii}$、2 つのベクトルの距離
$$ \|v_i-v_j\|^2=\Gamma_{ii}+\Gamma_{jj}-2\operatorname{Re}\Gamma_{ij} $$
や、実の場合の角 $\cos\theta_{ij}=\Gamma_{ij}/\sqrt{\Gamma_{ii}\Gamma_{jj}}$（$v_i,v_j\ne0$）が読み取れる。逆に、ベクトルを回転・折り返しで動かしても内積は変わらないので、Gram 行列は「位置」を知らない。後で示すとおり（thm-gram-isometry）、Gram 行列はベクトルの組の形を内積を保つ写像の違いを除いてちょうど決める。もう 1 つの見方として、$\sum_jc_jv_j$ の長さの 2 乗は $\Gamma$ を係数とする 2 次形式になり（prop-gram-quadratic）、以下の性質の多くはここから出てくる。

基本性質

係数ベクトルとの積

$v_1,\dots,v_k\in V$、$\Gamma:=\Gamma(v_1,\dots,v_k)$ とし、$c=(c_1,\dots,c_k)^{\top}$、$d=(d_1,\dots,d_k)^{\top}\in F^k$ とする。このとき
$$ d^*\Gamma c=\Bigl\langle\sum_{j=1}^kc_jv_j,\ \sum_{i=1}^kd_iv_i\Bigr\rangle,\qquad\text{とくに}\qquad c^*\Gamma c=\Bigl\|\sum_{j=1}^kc_jv_j\Bigr\|^2 $$
である。

内積は第 1 変数について線形、第 2 変数について共役線形なので
$$ \Bigl\langle\sum_jc_jv_j,\ \sum_id_iv_i\Bigr\rangle=\sum_{i,j}c_j\overline{d_i}\langle v_j,v_i\rangle=\sum_{i,j}\overline{d_i}\,\Gamma_{ij}\,c_j=d^*\Gamma c $$
である。$d=c$ とおけば後半を得る。$\square$

Gram 行列の基本定理

$v_1,\dots,v_k\in V$、$\Gamma:=\Gamma(v_1,\dots,v_k)$ とする。

$\Gamma$ は Hermite 行列（$F=\mathbb{R}$ では対称行列）で、半正定値である。
$c\in F^k$ について、$\Gamma c=0$ と $\sum_jc_jv_j=0$ は同値である。したがって $\Gamma$ の核は $v_1,\dots,v_k$ の線形関係の係数ベクトル全体であり、$\operatorname{rank}\Gamma=\dim\operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\}$ である。
次の 3 条件は同値である：(a) $\Gamma$ は正定値である。(b) $v_1,\dots,v_k$ は線形独立である。(c) $G(v_1,\dots,v_k)\ne0$ である。

1：内積の共役対称性により $\Gamma_{ji}=\langle v_i,v_j\rangle=\overline{\langle v_j,v_i\rangle}=\overline{\Gamma_{ij}}$ なので $\Gamma^*=\Gamma$ である。prop-gram-quadratic により $c^*\Gamma c=\|\sum_jc_jv_j\|^2\ge0$ なので、$\Gamma$ は半正定値である（正定値行列の定義「正定値行列と半正定値行列」）。
2：$\sum_jc_jv_j=0$ とすると、$\Gamma c$ の第 $i$ 成分は $\sum_j\langle v_j,v_i\rangle c_j=\langle\sum_jc_jv_j,v_i\rangle=0$ である。逆に $\Gamma c=0$ なら $c^*\Gamma c=0$ で、prop-gram-quadratic により $\|\sum_jc_jv_j\|^2=0$、すなわち $\sum_jc_jv_j=0$ である。線形写像 $\varphi\colon F^k\to V$、$c\mapsto\sum_jc_jv_j$ を考えると、いま示したことは $\ker\Gamma=\ker\varphi$ である。$\varphi$ の像は $\operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\}$ なので、次元定理を 2 回使って
$$ \operatorname{rank}\Gamma=k-\dim\ker\Gamma=k-\dim\ker\varphi=\dim\operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\} $$
である。
3：(a) ⇔ (b)：(a) は「$c\ne0$ なら $c^*\Gamma c>0$」であり、prop-gram-quadratic によりこれは「$c\ne0$ なら $\sum_jc_jv_j\ne0$」、すなわち (b) と同じである。(b) ⇔ (c)：2 により (b) は $\ker\Gamma=0$ と同値であり、正方行列 $\Gamma$ について $\ker\Gamma=0$ は $\det\Gamma\ne0$ と同値である。$\square$

Gram 行列式の符号は thm-gram-volume で決まる：$G(v_1,\dots,v_k)$ はつねに $0$ 以上の実数であり、$0$ になるのは線形従属のときに限る。

空間の 2 本と 3 本のベクトル

冒頭の $a=(1,0,1)$、$b=(0,1,1)$ に $u=(1,1,0)$ を加える。3 本を列に並べた行列 $A$ について
$$ \Gamma(a,b,u)=A^{\top}A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix},\qquad G(a,b,u)=4,\qquad\det A=\det\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{pmatrix}=-2 $$
であり、$G(a,b,u)=(\det A)^2$ が成り立っている（一般の場合は cor-gram-parallelotope）。$G\ne0$ なので $a,b,u$ は線形独立である。2 本の場合は $G(a,b)=\|a\|^2\|b\|^2-\langle a,b\rangle^2=3$ で、ベクトル積 $a\times b=(-1,-1,1)$ の長さの 2 乗に等しい。

多項式の Gram 行列

区間 $[-1,1]$ 上の実数値連続関数の内積 $\langle p,q\rangle=\int_{-1}^1p(t)q(t)\,dt$ で、$1,t,t^2$ の Gram 行列を求める。$\int_{-1}^1t^m\,dt$ は $m$ が偶数なら $\frac2{m+1}$、奇数なら $0$ なので
$$ \Gamma(1,t,t^2)=\begin{pmatrix}2&0&\frac23\\0&\frac23&0\\\frac23&0&\frac25\end{pmatrix},\qquad G(1,t,t^2)=\frac23\Bigl(2\cdot\frac25-\frac23\cdot\frac23\Bigr)=\frac{32}{135} $$
である（第 2 行で余因子展開した）。$G\ne0$ なので $1,t,t^2$ は線形独立であり、$\Gamma$ は正定値である。区間 $[0,1]$ で同じことをすると Gram 行列は Hilbert 行列になる（正定値行列の記事の例「Gram 行列と Hilbert 行列」）。

内積の表示と基底の取り替え

有限次元の内積空間では、基底の Gram 行列を 1 つ知れば、すべての内積が座標で計算できる。

基底の Gram 行列による内積の表示

$V$ を $F$ 上の $n$ 次元ベクトル空間、$v_1,\dots,v_n$ をその基底とし、$x=\sum_jx_jv_j$ の座標ベクトルを $[x]:=(x_1,\dots,x_n)^{\top}$ と書く。

$V$ 上の内積 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ について、$\Gamma:=\Gamma(v_1,\dots,v_n)$ は正定値 Hermite 行列で、すべての $x,y\in V$ について $\langle x,y\rangle=[y]^*\Gamma[x]$ である。
逆に、任意の正定値 Hermite 行列 $M\in M_n(F)$ に対し、$v_1,\dots,v_n$ の Gram 行列が $M$ になる $V$ 上の内積がただ 1 つある。
したがって、基底を 1 つ固定すると、$V$ 上の内積と $n$ 次の正定値 Hermite 行列（$F=\mathbb{R}$ では正定値対称行列）は 1 対 1 に対応する。

要点：1 は thm-gram-main と prop-gram-quadratic（$c=[x]$、$d=[y]$）から従い、2 は $\langle x,y\rangle_M:=[y]^*M[x]$ が内積になることを確かめればよい。

詳しい証明を開く

1：$\Gamma$ が正定値 Hermite 行列であることは thm-gram-main の 1 と 3 による（基底は線形独立）。等式は prop-gram-quadratic で $c=[x]$、$d=[y]$ とおいたものである。

2：$[\cdot]$ は線形なので、$\langle\cdot,\cdot\rangle_M$ は第 1 変数について線形、第 2 変数について共役線形である。$M^*=M$ より $\overline{\langle x,y\rangle_M}=([y]^*M[x])^*=[x]^*M^*[y]=\langle y,x\rangle_M$ であり、$x\ne0$ なら $[x]\ne0$ なので $\langle x,x\rangle_M=[x]^*M[x]>0$ である。よって $\langle\cdot,\cdot\rangle_M$ は内積で、$\langle v_j,v_i\rangle_M=e_i^*Me_j=M_{ij}$ だから Gram 行列は $M$ である。一意性：Gram 行列が $M$ の内積は、1 によりすべての $x,y$ で $[y]^*M[x]$ に等しい。$\square$

組の取り替えと Gram 行列

$v_1,\dots,v_k\in V$ と $P=(p_{jl})\in M_{k,m}(F)$ に対し、$u_l:=\sum_{j=1}^kp_{jl}v_j$（$l=1,\dots,m$）とおく。このとき
$$ \Gamma(u_1,\dots,u_m)=P^*\,\Gamma(v_1,\dots,v_k)\,P $$
である。とくに $m=k$ なら $G(u_1,\dots,u_k)=|\det P|^2\,G(v_1,\dots,v_k)$ である。

$(a,b)$ 成分を比べる。内積の線形性と共役線形性により
$$ \langle u_b,u_a\rangle=\Bigl\langle\sum_jp_{jb}v_j,\ \sum_ip_{ia}v_i\Bigr\rangle=\sum_{i,j}\overline{p_{ia}}\,\langle v_j,v_i\rangle\,p_{jb}=\bigl(P^*\Gamma(v_1,\dots,v_k)P\bigr)_{ab} $$
である。$m=k$ のとき、積の行列式の公式（行列式の記事の定理「積の行列式」）と $\det P^*=\overline{\det P}$ により $G(u)=\overline{\det P}\,G(v)\det P=|\det P|^2G(v)$ である。$\square$

詳細（$\det P^*=\overline{\det P}$）

転置で行列式は変わらず（行列式の記事の命題「転置と行列式」）、行列式は成分の積の和なので、成分をすべて複素共役にすると行列式も複素共役になる。よって $\det P^*=\det\overline{P}^{\top}=\overline{\det P}$ である。

基底の取り替えで Gram 行列は $\Gamma\mapsto P^*\Gamma P$（合同変換）と変わる。線形写像の表現行列の $A\mapsto P^{-1}AP$（相似変換）とは変わり方が違う（相似(行列) の記事の注意「相似・同値・合同」）。

Gram 行列式と体積

$W_j:=\operatorname{span}\{v_1,\dots,v_j\}$（$W_0:=\{0\}$）とし、$v_j$ から $W_{j-1}$ までの距離を
$$ d_j:=\inf\{\|v_j-w\|\mid w\in W_{j-1}\} $$
とおく。$d_1=\|v_1\|$ である。実の場合、$d_j$ は $v_1,\dots,v_{j-1}$ の張る「底面」に対する $v_j$ の「高さ」である。

Gram 行列式は高さの 2 乗の積

任意の $v_1,\dots,v_k\in V$ について
$$ G(v_1,\dots,v_k)=d_1^2\,d_2^2\cdots d_k^2 $$
である。とくに $G(v_1,\dots,v_k)$ は $0$ 以上の実数であり、$G(v_1,\dots,v_k)=G(v_1,\dots,v_{k-1})\,d_k^2$ が成り立つ。さらに、$G(v_1,\dots,v_k)=0$ となるのは $v_1,\dots,v_k$ が線形従属のときに限る。

直交化しても Gram 行列式は変わらない

線形従属の場合：thm-gram-main の 3 により $G=0$ である。$v_1,\dots,v_j$ が線形従属になる最小の $j$ をとると、$v_j\in W_{j-1}$ である（$j=1$ なら $v_1=0$。$j\ge2$ なら $v_1,\dots,v_{j-1}$ は線形独立なので、線形関係の $v_j$ の係数は $0$ でない）。$w=v_j$ ととれば $d_j=0$ なので、右辺も $0$ である。
線形独立の場合：Gram–Schmidtの直交化で $w_1:=v_1$、$w_j:=v_j-\sum_{l< j}\frac{\langle v_j,w_l\rangle}{\|w_l\|^2}w_l$ を作る。同記事の定理「Gram–Schmidtの直交化の基本定理」により、$w_1,\dots,w_k$ は $0$ でなく互いに直交し、各 $j$ で $\operatorname{span}\{w_1,\dots,w_j\}=W_j$ である。
段 1（$d_j=\|w_j\|$）：$w_j$ の式から $v_j-w_j\in\operatorname{span}\{w_1,\dots,w_{j-1}\}=W_{j-1}$ である。$w\in W_{j-1}$ とすると $v_j-w=w_j+(v_j-w_j-w)$ で、第 2 項は $W_{j-1}=\operatorname{span}\{w_1,\dots,w_{j-1}\}$ に入るので $w_j$ と直交する。三平方の定理により
$$ \|v_j-w\|^2=\|w_j\|^2+\|v_j-w_j-w\|^2\ge\|w_j\|^2 $$
であり、等号は $w=v_j-w_j$ のときに成り立つ。よって $d_j=\|w_j\|$ である。
段 2（$G$ は直交化で変わらない）：$v_j-w_j\in W_{j-1}=\operatorname{span}\{w_1,\dots,w_{j-1}\}$ なので、$v_j=\sum_{l=1}^jr_{lj}w_l$、$r_{jj}=1$ と書ける。$R:=(r_{lj})$（$l>j$ では $r_{lj}:=0$）は対角成分がすべて $1$ の上三角行列で、$\det R=1$ である。prop-gram-change により $G(v_1,\dots,v_k)=|\det R|^2G(w_1,\dots,w_k)=G(w_1,\dots,w_k)$ である。
段 3：$w_1,\dots,w_k$ は互いに直交するので、$\Gamma(w_1,\dots,w_k)$ は対角成分が $\|w_j\|^2$ の対角行列であり、$G(w_1,\dots,w_k)=\prod_j\|w_j\|^2=\prod_jd_j^2>0$ である。
最後の 2 つの主張は積の形から従う（$v_1,\dots,v_{k-1}$ についての $d_1,\dots,d_{k-1}$ は同じものである）。$\square$

平行体の体積と行列式

$F^n$ の列ベクトル $a_1,\dots,a_n$ を並べた $A\in M_n(F)$ について $G(a_1,\dots,a_n)=|\det A|^2$ である。
任意の $v_1,\dots,v_k\in V$ について $G(v_1,\dots,v_k)\le\|v_1\|^2\cdots\|v_k\|^2$ である。$k=2$ では $|\langle v_1,v_2\rangle|^2\le\|v_1\|^2\|v_2\|^2$ であり、等号は $v_1,v_2$ が線形従属のときに限る。

1：$\Gamma(a_1,\dots,a_n)=A^*A$ なので、prop-gram-change の証明と同じく $\det(A^*A)=\overline{\det A}\det A=|\det A|^2$ である。2：$w=0\in W_{j-1}$ ととれば $d_j\le\|v_j\|$ なので、thm-gram-volume から不等式が従う。$k=2$ では $G(v_1,v_2)=\|v_1\|^2\|v_2\|^2-\langle v_2,v_1\rangle\langle v_1,v_2\rangle=\|v_1\|^2\|v_2\|^2-|\langle v_1,v_2\rangle|^2$ であり、これが $0$ 以上で、$0$ になるのは線形従属のときに限る（thm-gram-volume）。$\square$

$\mathbb{R}^n$ で「底面の体積×高さ」を体積と考えると、thm-gram-volume は $\sqrt{G(v_1,\dots,v_k)}$ が $v_1,\dots,v_k$ の張る平行体の $k$ 次元の体積であることを述べ、1 は $k=n$ でそれが $|\det A|$ になることを述べる。2 の $k=2$ は Cauchy–Schwarzの不等式とその等号条件であり、2 の不等式 $G(v_1,\dots,v_k)\le\|v_1\|^2\cdots\|v_k\|^2$ の等号条件（ある $v_j$ が $0$ であるか、$v_1,\dots,v_k$ が互いに直交するとき）は Hadamardの不等式(行列式) の命題「ベクトルの組についての形」にある（そこでは $F^m$ のベクトルについて述べており、一般の $V$ でも $v_1,\dots,v_k$ の張る部分空間の正規直交基底で座標をとれば内積が保たれるので同じことが成り立つ）。

Gram 行列で決まるもの

Gram 行列が等しい組は等長に移り合う

$V,V'$ を同じ $F$ 上の内積空間とし、$v_1,\dots,v_k\in V$、$u_1,\dots,u_k\in V'$ とする。次は同値である。

$\Gamma(v_1,\dots,v_k)=\Gamma(u_1,\dots,u_k)$ である。
線形写像 $T\colon\operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\}\to\operatorname{span}\{u_1,\dots,u_k\}$ で、すべての $j$ について $Tv_j=u_j$、すべての $x,y$ について $\langle Tx,Ty\rangle=\langle x,y\rangle$ を満たすものがある。
このとき $T$ はただ 1 つで、全単射である。

2 ⇒ 1：$\langle u_j,u_i\rangle=\langle Tv_j,Tv_i\rangle=\langle v_j,v_i\rangle$ である。
1 ⇒ 2：$\Gamma:=\Gamma(v_1,\dots,v_k)=\Gamma(u_1,\dots,u_k)$ とする。$x=\sum_jc_jv_j$ に対して $Tx:=\sum_jc_ju_j$ と定めたい。係数の取り方によらないことを示す。$\sum_jc_jv_j=\sum_jc'_jv_j$ なら $\sum_j(c_j-c'_j)v_j=0$ なので、thm-gram-main の 2 により $\Gamma(c-c')=0$ であり、同じ定理を $u_1,\dots,u_k$ に使うと $\sum_j(c_j-c'_j)u_j=0$ である。よって $T$ は定まり、線形で $Tv_j=u_j$ を満たす。$y=\sum_id_iv_i$ とすると、prop-gram-quadratic を 2 つの組に使って
$$ \langle Tx,Ty\rangle=d^*\Gamma c=\langle x,y\rangle $$
である。$Tx=0$ なら $\|x\|^2=\|Tx\|^2=0$ なので $T$ は単射で、像は $u_1,\dots,u_k$ を含むので全射である。$T$ は $v_j$ での値で決まるので一意である。$\square$

空間全体の等長変換への延長

$V=V'=F^n$ のとき、thm-gram-isometry の $T$ は $F^n$ 全体のユニタリ変換（$F=\mathbb{R}$ では直交変換）に延長できる（作り方は下の折りたたみ）。したがって、$\mathbb{R}^n$ の 2 つのベクトルの組は、Gram 行列が等しいとき、かつそのときに限り、直交行列 $Q$ で $u_j=Qv_j$（すべての $j$）と移り合う。三角形の 3 辺の長さから三角形が合同を除いて決まることは、2 本の辺ベクトルの Gram 行列が 3 辺の長さで決まることの言い換えである。

延長の作り方を開く

$S:=\operatorname{span}\{v_j\}$ と $S':=\operatorname{span}\{u_j\}$ は $T$ で同型なので次元が等しく、直交補空間 $S^{\perp}$ と $S'^{\perp}$ の次元も等しい。それぞれの正規直交基底をとって対応させる写像を $T$ に足せば、$F^n$ の正規直交基底を正規直交基底に写す線形写像になる。

半正定値な Hermite 行列は Gram 行列

$M\in M_k(F)$ を Hermite 行列とする。$M$ がある内積空間の $k$ 個のベクトルの Gram 行列であることと、$M$ が半正定値であることは同値である。このとき、そのベクトルは $F^k$ の中にとれて、組は thm-gram-isometry の意味で一意である。

Gram 行列なら半正定値であることは thm-gram-main の 1 である。逆に $M$ が半正定値なら、正定値行列の記事の定理「半正定値行列の特徴づけ」の 4 により $M=B^*B$ となる $B$ がある（その証明では $B\in M_k(F)$ にとっている）。$B$ の列を $b_1,\dots,b_k\in F^k$ とすると $\Gamma(b_1,\dots,b_k)=B^*B=M$ である。一意性は thm-gram-isometry による。$\square$

等しい角で交わる単位ベクトル

$k\ge2$ と実数 $c$ について、$\|v_i\|=1$、$\langle v_i,v_j\rangle=c$（$i\ne j$）を満たす $v_1,\dots,v_k\in\mathbb{R}^k$ がいつ存在するかを調べる。Gram 行列は、成分がすべて $1$ の行列を $J$、成分がすべて $1$ のベクトルを $\mathbf 1$ として $\Gamma=(1-c)I+cJ$ であり、その固有値は $1+(k-1)c$（重複度 $1$）と $1-c$（重複度 $k-1$）である。

固有値の計算を開く

$J\mathbf 1=k\mathbf 1$ であり、成分の和が $0$ のベクトル $x$ について $Jx=0$ である。後者は $k-1$ 次元の部分空間をなし、$\mathbf 1$ と合わせて $\mathbb{R}^k$ を張るので、$\Gamma$ の固有値は上のとおりである。

半正定値な実対称行列は固有値がすべて $0$ 以上の行列なので（正定値行列の記事の定理「半正定値行列の特徴づけ」の 1 ⇔ 2）、cor-gram-realization により
$$ \text{そのような }v_1,\dots,v_k\text{ が存在する}\iff-\frac1{k-1}\le c\le1 $$
である。$G=(1+(k-1)c)(1-c)^{k-1}$ なので、線形独立になるのは $-\frac1{k-1}< c< 1$ のときである。端の $c=-\frac1{k-1}$ では $\|\sum_jv_j\|^2=\mathbf 1^{\top}\Gamma\mathbf 1=k(1+(k-1)c)=0$ より $\sum_jv_j=0$ となり、ベクトルは正 $(k-1)$ 次元単体の中心から頂点へ向かう。$k=3$ では $c=-\frac12$（平面で $120^\circ$ ずつ開いた 3 本）、$k=4$ では $c=-\frac13$（正四面体の中心から頂点へ向かう 4 本）である。$c=\frac12$、$k=3$ の場合を 2 倍したものが ex-gram-r3 の $\Gamma(a,b,u)$ である。

条件を外した反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
線形独立	$\mathbb{R}^2$ の $v_1=(1,0)$、$v_2=(2,0)$	$\Gamma$ が正定値であること（$G=0$）
内積の正値性	$\mathbb{R}^2$ の対称双線形形式 $B(x,y)=x_1y_1-x_2y_2$ と $e_1,e_2$	「Gram 行列」が半正定値であること、$G\ge0$
半正定値性	対角成分が正の対称行列 $\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$	Gram 行列として実現できること
（等長写像の違いを除く）	$\mathbb{R}^2$ の組 $(e_1,e_2)$ と $(e_2,e_1)$	Gram 行列が等しければベクトルも等しいこと

反例：表の各行の確かめ

1 行目：$\Gamma(v_1,v_2)=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$、$G=0$ であり、$c=(2,-1)^{\top}$ で $c^{\top}\Gamma c=0$ となる。これは線形関係 $2v_1-v_2=0$ の係数で、thm-gram-main の 2 のとおりである。
3 行目：Gram 行列なら $\|v_1\|=\|v_2\|=1$、$\langle v_1,v_2\rangle=2$ となり、$|\langle v_1,v_2\rangle|\le\|v_1\|\|v_2\|$（cor-gram-parallelotope の 2）に反する。対称で対角成分が正であることは、Gram 行列であることを含意しない。

2 行目と 4 行目の確かめを開く

2 行目：$B$ は対称で双線形だが正値性を欠く（内積の記事の反例「正定値性を欠く形式」と同じ種類）。$(B(e_j,e_i))_{i,j}=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ は半正定値でなく、行列式は $-1< 0$ である。$e_1+e_2\ne0$ なのに $B(e_1+e_2,e_1+e_2)=0$ であり、prop-gram-quadratic から thm-gram-main を導く議論が使えない。

4 行目：どちらの組も Gram 行列は単位行列 $I_2$ だが、組としては異なる。2 つの組は座標を入れ替える直交変換で移り合い、thm-gram-isometry が保証するのはこの意味の一致だけである。

補足

一般の双線形形式の Gram 行列

内積の代わりに、ベクトル空間や $\mathbb{Z}$ 上の自由加群の上の対称双線形形式 $B$ についても、$(B(v_j,v_i))_{i,j}$ を $v_1,\dots,v_k$ の Gram 行列とよぶ。格子(数論)・E8格子や多様体の交叉形式の記事が使うのはこの意味である。取り替えの公式は成り立つが、半正定値性や体積の解釈は成り立たない。

どの性質が残るかを開く

prop-gram-change の証明は内積の正値性を使っていないので、取り替えの公式 $\Gamma\mapsto P^{\top}\Gamma P$ はそのまま成り立つ。とくに $\mathbb{Z}$ 上の基底の取り替え行列は $\det P=\pm1$ を満たすので、格子の基底の Gram 行列式は基底の取り方によらない。一方、半正定値性（thm-gram-main の 1）や体積の解釈（thm-gram-volume）は、表の 2 行目のとおり、正値性がないと成り立たない。

文献

$m$ 次元の列ベクトルの組の Gram 行列を $A^{\top}A$ として定め、その成分が列どうしの内積であることは VMLS18 §10.1（p. 181）にある。作用素 $T$ が正であることと $T=R^*R$ と書けることの同値性は Axl24 7.38（p. 252）にあり、cor-gram-realization の行列の版にあたる。