等力点

方針：$\Omega_B$ の上で $f_A$ の符号が変わることを示し、中間値の定理で $\Omega_A$ との交点を 2 つ見つける。符号の変わる点を、外接円の上の点と Ptolemy の定理で作る。
段 1（2 つの円の共有点は 3 つ目に乗る）。$X$ が $\Omega_A$ と $\Omega_B$ の両方の上にあれば $f_A(X)=f_B(X)=0$ なので、$f_C(X)=-f_A(X)-f_B(X)=0$ で、$X$ は $\Omega_C$ の上にもある。また、3 つの式 $b\,XB=c\,XC$、$c\,XC=a\,XA$、$a\,XA=b\,XB$ のうち 2 つが成り立つことと、$a\,XA=b\,XB=c\,XC$ は同じである。よって、3 つの円の共有点、$\Omega_A$ と $\Omega_B$ の共有点、$a\,XA=b\,XB=c\,XC$ を満たす点は、すべて同じものである。
段 2（$B$ では負）。$B$ は $\Omega_B$ の上にあり、$f_A(B)=b^2\cdot0-c^2a^2=-a^2c^2< 0$ である。
段 3（外接円の上に正の点を作る）。三角形 $ABC$ の外接円の、$B$ を含まない弧 $CA$ の上を、点 $Y$ が $C$ から $A$ まで動くとする。$g(Y)=c\cdot YC-a\cdot YA$ は $Y$ の位置について連続で、$g(C)=-ab< 0$、$g(A)=cb>0$ である。中間値の定理により、弧の上に $g(B^*)=0$ となる点 $B^*$（$C$、$A$ とは異なる）がある。$c\cdot B^*C=a\cdot B^*A$ なので $B^*$ は $\Omega_B$ の上にある。
4 点 $A,B,C,B^*$ はこの順に円の上に並ぶので、Ptolemyの定理 の定理「内接四角形についての Ptolemy の定理」を四角形 $ABCB^*$ に使うと
$$ AC\cdot BB^*=AB\cdot CB^*+B^*A\cdot BC,\qquad\text{つまり}\qquad b\cdot B^*B=c\cdot B^*C+a\cdot B^*A $$
である。$a\cdot B^*A=c\cdot B^*C$ を代入すると $b\cdot B^*B=2c\cdot B^*C$ で、$B^*C>0$ だから $b\cdot B^*B>c\cdot B^*C$、両辺を 2 乗して $f_A(B^*)>0$ である。
段 4（交点が 2 つ）。$B$ と $B^*$ は $\Omega_B$ の上の異なる 2 点なので、$\Omega_B$ を 2 つの弧に分ける。それぞれの弧の上で $f_A$ は連続で、一方の端で負、他方の端で正なので、中間値の定理により、それぞれの弧の内部に $f_A=0$ の点がある。この 2 点 $S,S'$ は異なり、$\Omega_A$ と $\Omega_B$ の共有点である。
段 5（ちょうど 2 つ）。$A$ は $\Omega_A$ の上にあるが、$f_B(A)=c^2b^2\ne0$ なので $\Omega_B$ の上にない。よって $\Omega_A$ と $\Omega_B$ は異なる円で、共有点は 2 つ以下である。段 4 と合わせてちょうど 2 つで、段 1 によりそれが 3 つの円の共有点のすべてであり、$a\,XA=b\,XB=c\,XC$ を満たす点のすべてである。$\square$

方針：反転と距離の公式に、thm-iso-points の比を入れる。
段 1（共通の値）。thm-iso-points により $a\cdot SA=b\cdot SB=c\cdot SC$ である。この共通の値を $\lambda$ とする。$S$ が頂点のどれかと一致すると、たとえば $SA=0$ から $\lambda=0$ となり $SB=SC=0$、つまり $B=C=S$ となって三角形にならない。よって $\lambda>0$ で、$S$ は 3 頂点のどれとも異なり、$SA=\dfrac\lambda a$、$SB=\dfrac\lambda b$、$SC=\dfrac\lambda c$ である。
段 2（像の辺）。中心 $S$、半径 $r$ の反転で $A,B,C$ が $A',B',C'$ に移るとすると、反転と距離の公式から
$$ A'B'=\frac{r^2\cdot AB}{SA\cdot SB}=\frac{r^2\cdot c}{\frac\lambda a\cdot\frac\lambda b}=\frac{r^2\,abc}{\lambda^2} $$
である。同じく $B'C'=\dfrac{r^2\cdot a}{\frac\lambda b\cdot\frac\lambda c}=\dfrac{r^2\,abc}{\lambda^2}$、$C'A'=\dfrac{r^2\cdot b}{\frac\lambda c\cdot\frac\lambda a}=\dfrac{r^2\,abc}{\lambda^2}$ である。
段 3（結論）。3 辺がすべて $\dfrac{r^2abc}{\lambda^2}$ で等しいので、三角形 $A'B'C'$ は正三角形である（3 点は異なる 3 点で、辺の長さが正なので三角形をなす）。$S'$ でも同じである。$\square$

$\angle SEA=\angle SFA=90^\circ$ なので、$E$、$F$ は $SA$ を直径とする円の上にある。この円で弦 $EF$ を見込む円周角は、点 $A$ では直線 $AB$ と直線 $AC$ のなす角、つまり $\angle A$ か $180^\circ-\angle A$ である。正弦定理（直径 $SA$ の円で、弦の長さは直径と円周角の正弦の積）により $EF=SA\cdot\sin A$ である（$E$ か $F$ が $A$ と一致するときは、その足で直角三角形 $SEA$ などを使うと同じ式になる）。正弦定理（高校数学） の定理「正弦定理」から $\sin A=\dfrac a{2R}$ なので
$$ EF=SA\cdot\frac a{2R}=\frac{\lambda}{2R} $$
である。同じく $FD=SB\cdot\dfrac b{2R}=\dfrac\lambda{2R}$、$DE=SC\cdot\dfrac c{2R}=\dfrac\lambda{2R}$ で、3 辺は等しい。$\square$

段 1（$\Omega_A$ は動かない）。$\Gamma$ は $B$、$C$ を通る円なので、$B$、$C$ に関する Apollonius の円 $\Omega_A$ と 2 点で交わり、交点で直交する（Apolloniusの円 の定理「$A$、$B$ を通る円と Apollonius の円の直交」）。$\Omega_A$ の中心を $O_A$、半径を $\rho$ とすると、交点で 2 つの半径が垂直なので、三平方の定理から $OO_A^2=R^2+\rho^2$、つまり $O$ の $\Omega_A$ に関する方べきは $R^2>0$ である。よって $O$ は $\Omega_A$ の外にあり、$O$ を通る直線が $\Omega_A$ と $X,Y$ で交わると、方べきの定理で $OX\cdot OY=R^2$、$Y$ は半直線 $OX$ の上にある（方べきの定理（高校数学））。これは $Y$ が $X$ の $\Gamma$ に関する反転の像であることを意味し、$\Omega_A$ は自分自身に移る。$\Omega_B$、$\Omega_C$ も同じである。
段 2（$S$ は外接円の上にない）。$S$ が $\Gamma$ の上にあるとする。prf-iso-inversion の段 1 のとおり $S$ は頂点ではないので、3 つの弧のどれかの内部にある。たとえば $A$ を含まない弧 $BC$ の上なら、四角形 $ABSC$ に Ptolemy の定理を使って $AS\cdot BC=AB\cdot SC+AC\cdot BS$、つまり $a\cdot SA=c\cdot SC+b\cdot SB$ で、左辺は $\lambda$、右辺は $2\lambda$ となり $\lambda>0$ に反する。ほかの弧でも同じである。
段 3（結論）。$S$ は 3 つの円の上にあるので、段 1 によりその像 $S^*$ も 3 つの円の上にあり、thm-iso-points から $S^*$ は $S$ か $S'$ である。$S^*=S$ なら $OS^2=R^2$ で $S$ は $\Gamma$ の上にあることになり、段 2 に反する。よって $S^*=S'$ である。$\square$