微分積分学の基本定理

$(-\cos x)'=\sin x$ なので $\int_0^\pi\sin x\,dx=\bigl[-\cos x\bigr]_0^\pi=2$ である。$\bigl(\frac{x^3}3\bigr)'=x^2$ なので $\int_0^1x^2\,dx=\frac13$ であり、Riemann 和から求めた値と一致する。$x>0$ で $(\log x)'=\frac1x$（連鎖律 の記事の例「対数関数と一般の冪」）なので、$x>0$ について $\int_1^x\frac{dt}{t}=\log x$ である。

$\Phi(y):=\int_0^y\sin(t^2)\,dt$ は、cor-ftc-antiderivative により $\Phi'(y)=\sin(y^2)$ を満たす。$h(x):=\int_0^{x^2}\sin(t^2)\,dt=\Phi(x^2)$ は 連鎖律 により微分可能で
$$ h'(x)=\Phi'(x^2)\cdot2x=2x\sin(x^4) $$
である。$\sin(t^2)$ の原始関数を式で書き下さなくても、$h'$ はこのように計算できる（Leb Exercise 5.3.2、p. 205 と同じ型の計算）。

$[-1,1]$ 上で $f(x)=-1$（$x<0$）、$f(x)=1$（$x\geq0$）とすると、$f$ は積分可能で $F(x):=\int_0^xf=|x|$ である。$F$ は $x=0$ で微分可能でない。$f$ は $0$ で連続であるという性質を満たさず、thm-ftc-derivative-of-integral の 2 の結論が $c=0$ で成り立たない。
また、$g(x)=0$（$x\ne0$）、$g(0)=1$ とすると $G(x):=\int_0^xg=0$ がすべての $x$ で成り立ち、$G$ は $0$ で微分可能だが $G'(0)=0\ne1=g(0)$ である。不連続点では、$F$ が微分可能でない場合も、微分可能でも $F'(c)=f(c)$ とならない場合もある（Leb p. 203）。

$F(x):=x^2\sin(1/x^2)$（$0< x\leq1$）、$F(0):=0$ とする。$\bigl|\frac{F(x)-F(0)}{x}\bigr|\leq|x|$ なので $F'(0)=0$ であり、$x>0$ では
$$ F'(x)=2x\sin\frac1{x^2}-\frac2x\cos\frac1{x^2} $$
である。したがって $F$ は $[0,1]$ 上で微分可能である。しかし $x_k:=1/\sqrt{2k\pi}$（$k=1,2,\dots$）では $F'(x_k)=-2\sqrt{2k\pi}$ であり、$F'$ は $[0,1]$ 上で有界でないので Riemann 積分可能でない。$F'$ は Riemann 積分可能であるという性質を満たさず、thm-ftc-evaluation の等式 $\int_0^1F'=F(1)-F(0)=\sin1$ は、Riemann 積分としては左辺が意味をもたない。どこでも微分可能な関数の導関数であっても、積分できるとは限らない。なお $0<\varepsilon<1$ について $\int_\varepsilon^1F'=F(1)-F(\varepsilon)\to\sin1$ なので、広義積分 としては等式が成り立つ。

Cantor集合 $C\subset[0,1]$ に付随する Cantor 関数 $\overline F\colon[0,1]\to[0,1]$ は、連続かつ単調非減少で、$\overline F(0)=0$、$\overline F(1)=1$ を満たし、$[0,1]\setminus C$ の各点で微分可能で微分係数は $0$ である（Cantor集合 の記事の命題「Cantor関数の構成」）。$f:=0$ とおけば $f$ は積分可能で、$\overline F'=f$ が $[0,1]\setminus C$ で成り立つが、$\int_0^1f=0\ne1=\overline F(1)-\overline F(0)$ である。
thm-ftc-evaluation の「すべての $x\in(0,1)$ で $\overline F'(x)=f(x)$」という仮定が破れている。実際、もし $(0,1)$ のすべての点で $\overline F'=0$ なら、平均値の定理 の記事の系「導関数が0なら定数」により $\overline F$ は定数となって $\overline F(1)\ne\overline F(0)$ に反するので、$C$ のある点では $\overline F$ は微分可能でないか、微分係数が $0$ でない。実際には $C$ のどの点でも $\overline F$ は（有限の値で）微分可能でない：$x\in C$ をとり、$x$ を含む、Cantor 集合の構成の第 $n$ 段に現れる長さ $3^{-n}$ の区間を $[\alpha_n,\beta_n]$ とする。以下の記号 $I_a$、$t_a$ は Cantor集合 の記事の定義「Cantor集合の構成」の直前の式、$\varphi$ は同記事の定理「3進表示による特徴づけ」の直前の式、$F$ は同記事の命題「Cantor関数の構成」のものである。$[\alpha_n,\beta_n]=I_a=[t_a,t_a+3^{-n}]$、$a=(2r_0,\dots,2r_{n-1})$（$r_k\in\{0,1\}$）とすると、$\alpha_n=t_a=\varphi(r_0,\dots,r_{n-1},0,0,\dots)$、$\beta_n=t_a+3^{-n}=\varphi(r_0,\dots,r_{n-1},1,1,\dots)$（残りの桁の和は $\sum_{k\geq n}2\cdot3^{-(k+1)}=3^{-n}$）であり、同記事の定理「3進表示による特徴づけ」により $\varphi$ は $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ から $C$ への全単射なので、$\alpha_n,\beta_n$ はともに $C$ の点である。$C$ 上で $\overline F=F$ なので、$F$ の定義から
$$\overline F(\beta_n)-\overline F(\alpha_n)=\sum_{k\geq n}\frac1{2^{k+1}}=2^{-n}$$
であり、$\overline F$ はこの区間の上で $2^{-n}$ だけ増える。$(x-\alpha_n)+(\beta_n-x)=3^{-n}$ かつ $\bigl(\overline F(x)-\overline F(\alpha_n)\bigr)+\bigl(\overline F(\beta_n)-\overline F(x)\bigr)=2^{-n}$ なので、2 つの差分商 $\bigl(\overline F(x)-\overline F(\alpha_n)\bigr)/(x-\alpha_n)$、$\bigl(\overline F(\beta_n)-\overline F(x)\bigr)/(\beta_n-x)$（定義できる方）の少なくとも一方は $(3/2)^n$ 以上であり、その差分商をとる点は $x$ から距離 $3^{-n}$ 以下の $C$ の点である。$n\to\infty$ で $(3/2)^n\to\infty$ なので、$x$ にいくらでも近い点との差分商が有界でなく、$\overline F$ は $x$ で有限の微分係数をもたない。例外が有限個なら結論は保たれる（Leb Exercise 5.3.3）が、$C$ は非可算集合であり、このように例外がすべての点で生じると結論は成り立たない（Cantor集合 の記事の注意「反例：微積分の基本定理が成り立たない単調連続関数」も参照）。

$g(x)=x^2$ とすると $\int_0^{\sqrt\pi}x\cos(x^2)\,dx=\frac12\int_0^{\sqrt\pi}\cos(x^2)\cdot2x\,dx=\frac12\int_0^\pi\cos u\,du=\frac12(\sin\pi-\sin0)=0$ である（Leb Example 5.3.6、p. 204）。
反例として $\int_{-1}^1\frac{\log|x|}{x}\,dx$ に $g(x)=\log|x|$、$g'(x)=1/x$ を形式的に当てはめると $\int_{g(-1)}^{g(1)}u\,du=\int_0^0u\,du=0$ となるが、これは誤りである。$g$ は $[-1,1]$ 上で $C^1$ 級であるという性質を満たさず（$x=0$ で定義されない）、被積分関数は $0$ の近くで有界でないので、左辺は Riemann 積分として意味をもたない（Leb Example 5.3.7、p. 204）。公式は仮定を確かめてから使う必要がある。