$$\newcommand{AA}[0]{\mathbb{A}}
\newcommand{AbCat}[0]{\mathsf{Ab}}
\newcommand{abelcat}[0]{\mathcal{A}}
\newcommand{cat}[0]{\mathcal{C}}
\newcommand{CC}[0]{\mathbb{C}}
\newcommand{commring}[0]{A}
\newcommand{DD}[0]{\mathbb{D}}
\newcommand{domain}[0]{\commring}
\newcommand{family}[2]{( #1 )_{#2}}
\newcommand{FF}[0]{\mathbb{F}}
\newcommand{func}[3]{{#1}\colon{#2}\rightarrow{#3}}
\newcommand{FuncCat}[2]{\mathsf{Func}(#1, #2)}
\newcommand{generate}[2]{\langle #1 \rangle_{#2}}
\newcommand{GG}[0]{\mathbb{G}}
\newcommand{HH}[0]{\mathbb{H}}
\newcommand{ideal}[0]{I}
\newcommand{idealgen}[2]{\generate{#1}{#2}}
\newcommand{invert}[0]{^{-1}}
\newcommand{KanExt}[2]{\ordpair{ #1, #2 }}
\newcommand{kerpair}[3]{\ordpair{ #1, #2, #3 }}
\newcommand{ModCat}[1]{\mathsf{Mod}(#1)}
\newcommand{module}[1]{#1}
\newcommand{modulegen}[2]{\generate{#1}{#2}}
\newcommand{MonoSet}[1]{\mathsf{Mono}(#1)}
\newcommand{morph}[3]{{#1}\colon{#2}\rightarrow{#3}}
\newcommand{NN}[0]{\mathbb{N}}
\newcommand{op}[0]{^{\mathsf{op}}}
\newcommand{ordpair}[1]{\langle #1 \rangle}
\newcommand{overcat}[2]{{#1}_{/#2}}
\newcommand{PP}[0]{\mathbb{P}}
\newcommand{QQ}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{RegEpiSet}[1]{\mathsf{RegEpi}(#1)}
\newcommand{ring}[0]{R}
\newcommand{RR}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{SetCat}[0]{\mathsf{Set}}
\newcommand{sexseq}[3]{\zeroobj\rightarrow{#1}\rightarrow{#2}\rightarrow{#3}\rightarrow\zeroobj}
\newcommand{TopCat}[0]{\mathsf{Top}}
\newcommand{TT}[0]{\mathbb{T}}
\newcommand{undercat}[2]{#1_{\backslash #2}}
\newcommand{zeroobj}[0]{0}
\newcommand{ZZ}[0]{\mathbb{Z}}
$$
$\newcommand{\orderedPair}[1]{\langle #1 \rangle}\newcommand{\set}[1]{#1}\newcommand{\rel}[1]{\mathrel{#1}}\newcommand{\ele}[1]{#1}\newcommand{\or}{\mathrel{\vee}}\newcommand{\and}{\mathrel{\wedge}}\newcommand{\group}[1]{#1}$
定義
モジュラー束の定式化は複数知られているが、特別な準備をせずに証明できる。以下では束$\orderedPair{ \set{X}, \rel{R} }$の元$\ele{x}$、$\ele{y}$の上限を$\ele{x}\or\ele{y}$と書き、下限を$\ele{x}\and\ele{y}$と書くものとする。
モジュラー束（モジュラー律による定義）
束$\orderedPair{ \set{X}, \rel{R} }$がモジュラー束であるとは、$\ele{x}\rel{R}\ele{y}$を満たす二元$\ele{x}$、$\ele{y}$と任意の元$\ele{z}$について、$(\ele{x}\or\ele{z})\and\ele{y} = \ele{x}\or(\ele{z}\and\ele{y})$が成り立つことをいう。
モジュラー束（モジュラー恒等式による定義）
束$\orderedPair{ \set{X}, \rel{R} }$がモジュラー束であるとは、任意の三元$\ele{x}$、$\ele{y}$、$\ele{z}$について、$(\ele{x}\or\ele{z})\and(\ele{x}\or\ele{y}) = \ele{x}\or(\ele{z}\and(\ele{x}\or\ele{y}))$が成り立つことをいう。
この二つの定義の他に、圏論的な定義も知られている。これには一般の束に於いて成り立つ
$$
{
\ele{x}\or(-)\colon[\ele{x}\and\ele{y},\ele{y}]\leftrightarrow[\ele{x},\ele{x}\or\ele{y}]\colon(-)\and\ele{y}
}
$$
なる随伴対を用いる。
モジュラー束（圏論的な定義）
束$\orderedPair{ \set{X}, \rel{R} }$がモジュラー束であるとは、任意の二元$\ele{x}$、$\ele{y}$について、随伴対$\ele{x}\or(-)\dashv(-)\and\ele{y}$が圏同値を与えることをいう。
定義の同値性
準備中である。
例示
モジュラー束である例（部分加群のなす束）
$\ring$を環とし、$\module{M}$を左$\ring$-加群とする。このとき$\module{M}$の部分加群全体は、包含関係でモジュラー束をなす。特に、$\ring$が有理整数環$\mathbb{Z}$のとき$\mathbb{Z}$-加群はアーベル群と等価であるから、アーベル群の部分群全体はモジュラー束をなす。
モジュラー束である例（正規部分群のなす束）
$\group{G}$を群とするとき、$\group{G}$の正規部分群全体は包含関係でモジュラー束をなす。アーベル群の部分群全体がモジュラー束をなすことは、このことからも分かる。
モジュラー束でない例（部分群のなす束）
$\group{G}$を群とするとき、$\group{G}$の部分群全体は包含関係でモジュラー束をなすとは限らない。実際、位数$8$の二面体群を考えると、この部分群全体はモジュラー律を満たさない。
部分束を用いた特徴づけ
