モジュラー束

概要

モジュラー束とは、モジュラー律と呼ばれる順序のついた二元に関する自己双対的な条件を満たす束のことである。環上の加群の部分加群の為す束や、群の正規部分群の為す束はモジュラー束の典型例である。

$$\newcommand{AA}[0]{\mathbb{A}} \newcommand{AbCat}[0]{\mathsf{Ab}} \newcommand{abelcat}[0]{\mathcal{A}} \newcommand{cat}[0]{\mathcal{C}} \newcommand{CC}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{commring}[0]{A} \newcommand{DD}[0]{\mathbb{D}} \newcommand{domain}[0]{\commring} \newcommand{family}[2]{( #1 )_{#2}} \newcommand{FF}[0]{\mathbb{F}} \newcommand{func}[3]{{#1}\colon{#2}\rightarrow{#3}} \newcommand{FuncCat}[2]{\mathsf{Func}(#1, #2)} \newcommand{generate}[2]{\langle #1 \rangle_{#2}} \newcommand{GG}[0]{\mathbb{G}} \newcommand{HH}[0]{\mathbb{H}} \newcommand{ideal}[0]{I} \newcommand{idealgen}[2]{\generate{#1}{#2}} \newcommand{invert}[0]{^{-1}} \newcommand{KanExt}[2]{\ordpair{ #1, #2 }} \newcommand{kerpair}[3]{\ordpair{ #1, #2, #3 }} \newcommand{ModCat}[1]{\mathsf{Mod}(#1)} \newcommand{module}[1]{#1} \newcommand{modulegen}[2]{\generate{#1}{#2}} \newcommand{MonoSet}[1]{\mathsf{Mono}(#1)} \newcommand{morph}[3]{{#1}\colon{#2}\rightarrow{#3}} \newcommand{NN}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{op}[0]{^{\mathsf{op}}} \newcommand{ordpair}[1]{\langle #1 \rangle} \newcommand{overcat}[2]{{#1}_{/#2}} \newcommand{PP}[0]{\mathbb{P}} \newcommand{QQ}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{RegEpiSet}[1]{\mathsf{RegEpi}(#1)} \newcommand{ring}[0]{R} \newcommand{RR}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{SetCat}[0]{\mathsf{Set}} \newcommand{sexseq}[3]{\zeroobj\rightarrow{#1}\rightarrow{#2}\rightarrow{#3}\rightarrow\zeroobj} \newcommand{TopCat}[0]{\mathsf{Top}} \newcommand{TT}[0]{\mathbb{T}} \newcommand{undercat}[2]{#1_{\backslash #2}} \newcommand{zeroobj}[0]{0} \newcommand{ZZ}[0]{\mathbb{Z}} $$

$\newcommand{\orderedPair}[1]{\langle #1 \rangle}\newcommand{\set}[1]{#1}\newcommand{\rel}[1]{\mathrel{#1}}\newcommand{\ele}[1]{#1}\newcommand{\or}{\mathrel{\vee}}\newcommand{\and}{\mathrel{\wedge}}\newcommand{\group}[1]{#1}$

定義

モジュラー束の定式化は複数知られているが、特別な準備をせずに証明できる。以下では束$\orderedPair{ \set{X}, \rel{R} }$の元$\ele{x}$$\ele{y}$の上限を$\ele{x}\or\ele{y}$と書き、下限を$\ele{x}\and\ele{y}$と書くものとする。

モジュラー束(モジュラー律による定義)

$\orderedPair{ \set{X}, \rel{R} }$がモジュラー束であるとは、$\ele{x}\rel{R}\ele{y}$を満たす二元$\ele{x}$$\ele{y}$と任意の元$\ele{z}$について、$(\ele{x}\or\ele{z})\and\ele{y} = \ele{x}\or(\ele{z}\and\ele{y})$が成り立つことをいう。

モジュラー束(モジュラー恒等式による定義)

$\orderedPair{ \set{X}, \rel{R} }$がモジュラー束であるとは、任意の三元$\ele{x}$$\ele{y}$$\ele{z}$について、$(\ele{x}\or\ele{z})\and(\ele{x}\or\ele{y}) = \ele{x}\or(\ele{z}\and(\ele{x}\or\ele{y}))$が成り立つことをいう。

この二つの定義の他に、圏論的な定義も知られている。これには一般の束に於いて成り立つ
$$ { \ele{x}\or(-)\colon[\ele{x}\and\ele{y},\ele{y}]\leftrightarrow[\ele{x},\ele{x}\or\ele{y}]\colon(-)\and\ele{y} } $$
なる随伴対を用いる。

モジュラー束(圏論的な定義)

$\orderedPair{ \set{X}, \rel{R} }$がモジュラー束であるとは、任意の二元$\ele{x}$$\ele{y}$について、随伴対$\ele{x}\or(-)\dashv(-)\and\ele{y}$が圏同値を与えることをいう。

定義の同値性

準備中である。

例示

モジュラー束である例(部分加群のなす束)

$\ring$を環とし、$\module{M}$を左$\ring$-加群とする。このとき$\module{M}$の部分加群全体は、包含関係でモジュラー束をなす。特に、$\ring$が有理整数環$\mathbb{Z}$のとき$\mathbb{Z}$-加群はアーベル群と等価であるから、アーベル群の部分群全体はモジュラー束をなす。

モジュラー束である例(正規部分群のなす束)

$\group{G}$を群とするとき、$\group{G}$の正規部分群全体は包含関係でモジュラー束をなす。アーベル群の部分群全体がモジュラー束をなすことは、このことからも分かる。

モジュラー束でない例(部分群のなす束)

$\group{G}$を群とするとき、$\group{G}$の部分群全体は包含関係でモジュラー束をなすとは限らない。実際、位数$8$の二面体群を考えると、この部分群全体はモジュラー律を満たさない。

部分束を用いた特徴づけ