Descartesの角欠損定理

同義語：Descartes's theorem on total angular defect

概要

Descartesの角欠損定理（Descartes's theorem on total angular defect）とは、凸多面体の各頂点で $360^\circ$ からその頂点に集まる面の角の和を引いた量（角欠損）を全頂点で足すと $720^\circ$（$4\pi$）になるという定理である。すべての面の角の和を面ごとと頂点ごとの 2 通りに数えると、一般の多面体で角欠損の総和は $360^\circ\times(V-E+F)$ に等しく、Euler の多面体定理 $V-E+F=2$ の言い換えになる。へこんだ頂点では角欠損は負になり、額縁の形の多面体では総和は $0^\circ$ である。面が正五角形と正六角形で各頂点に 3 枚集まる凸多面体の正五角形が 12 枚であることも出る。曲がりが頂点に集まった形の Gauss–Bonnet の定理であり、球面三角形の面積の公式と対になる。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathbin{÷}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: 多面体, Eulerの多面体定理（高校数学）, 多角形の内角の和と外角の和

高校での出発点：頂点のとがり具合を測る

立方体の 1 つの頂点には、正方形が 3 枚集まっている。3 つの角を足すと $270^\circ$ で、平面の $360^\circ$ に $90^\circ$ 足りない。この「足りない分」が、頂点がどれだけとがっているかを表す。頂点の数だけ足してみる。

いろいろな立体で足りない分を足す
  1. 立方体：各頂点で $360^\circ-3\times90^\circ=90^\circ$ 足りない。頂点は 8 個で、合計 $8\times90^\circ=720^\circ$ である。
  2. 正四面体：各頂点に正三角形が 3 枚集まり、$360^\circ-3\times60^\circ=180^\circ$ 足りない。頂点は 4 個で、合計 $4\times180^\circ=720^\circ$ である。
  3. 正四角錐（底面が正方形、側面が 4 枚の正三角形）：てっぺんの頂点では $360^\circ-4\times60^\circ=120^\circ$、底面の 4 つの頂点では $360^\circ-(90^\circ+60^\circ+60^\circ)=150^\circ$ 足りない。合計 $120^\circ+4\times150^\circ=720^\circ$ である。
  4. 正三角柱（底面が正三角形、側面が 3 枚の正方形）：どの頂点にも $60^\circ+90^\circ+90^\circ=240^\circ$ が集まり、$120^\circ$ 足りない。頂点は 6 個で、合計 $6\times120^\circ=720^\circ$ である。

頂点に集まる面の角を、扇形として 1 点のまわりに並べた図。立方体と正四角錐の頂点では 360° に足りない隙間（赤い斜線）が残る。L 字の柱のへこんだ頂点では 360° を 90° 超えて重なる（赤い帯） 頂点に集まる面の角を、扇形として 1 点のまわりに並べた図。立方体と正四角錐の頂点では 360° に足りない隙間（赤い斜線）が残る。L 字の柱のへこんだ頂点では 360° を 90° 超えて重なる（赤い帯）
形も頂点の数もばらばらなのに、どれも $720^\circ$ になった。正多面体に限った同じ計算は 正多面体の分類 にもある。辺の長さがそろっていない立体でも確かめる。

ゆがんだ四面体

4 点 $(0,0,0)$、$(3,0,0)$、$(1,2,0)$、$(1,1,3)$ を頂点とする四面体を考える。各頂点に集まる 3 つの角を内積で計算して $360^\circ$ から引くと、約 $157.97^\circ$、$201.85^\circ$、$137.79^\circ$、$222.39^\circ$ で、合計は $720^\circ$ である（$(3,0,0)$ と $(1,1,3)$ では $180^\circ$ を超えている）。
計算しなくても合計は分かる。4 枚の面はどれも三角形なので、すべての面のすべての角を足すと $4\times180^\circ=720^\circ$ である。一方、それを頂点ごとに分けて足すと（4 つの頂点での角の和の合計）になる。したがって「足りない分」の合計は $4\times360^\circ-720^\circ=720^\circ$ である。

この記事で答える問いは次の 4 つである。

  1. 足りない分の合計が $720^\circ$ になるのはなぜか。どんな立体で成り立つか。→ thm-dad-main、cor-dad-convex
  2. へこんだ頂点ではどう数えるか。→ def-dad-defect、ex-dad-l-prism
  3. この定理で何が分かるか。→ ex-dad-count、prop-dad-pentagons
  4. 曲がった面の「曲がり具合」とどう関係するか。→ rem-dad-normal、rem-dad-gauss-bonnet
    高校の計算この記事での見方大学の言葉
    $360^\circ$ から頂点の角の和を引く角欠損頂点に集まった曲率
    角欠損の合計は $720^\circ$$360^\circ\times(V-E+F)$離散版の Gauss–Bonnetの定理
    球面三角形の内角の和 $-180^\circ$面積に比例する曲率 $\times$ 面積（球面三角形の面積）
    $V-E+F=2$角欠損の合計を $360^\circ$ で割ったもの球面の Euler標数

角欠損の定義

多面体は Eulerの多面体定理（高校数学） と同じ意味で使う。有限個の平らな多角形（面）をはり合わせた立体の表面で、面は穴のない多角形、どの辺もちょうど 2 枚の面に共有され、各頂点のまわりに面が 1 つの輪のように並び、表面はひとつながりであるものである。凸でなくてもよく、面の多角形も凸でなくてよい。

角欠損

多面体の頂点 $v$ に集まる面の、$v$ での内角（その面の多角形としての内角）をすべて足したものを $\sigma(v)$ とする。
$$ \delta(v):=360^\circ-\sigma(v) $$
を頂点 $v$ の 角欠損 という。すべての頂点についての和 $\displaystyle\sum_v\delta(v)$ を 角欠損の総和 という。

角欠損は負にもなる。$\sigma(v)>360^\circ$ のときである。

L 字の柱のへこんだ頂点

底面が L 字形の六角形 $(0,0)$、$(2,0)$、$(2,1)$、$(1,1)$、$(1,2)$、$(0,2)$ で、高さ $1$ の柱を考える（Eulerの多面体定理（高校数学） の「凸でなくても 2 になる例」と同じ立体）。

  • へこんだ角 $(1,1)$ の上の頂点 $(1,1,1)$ には、上面の L 字形の内角 $270^\circ$ と、側面の長方形 2 枚の角 $90^\circ$、$90^\circ$ が集まる。$\sigma=450^\circ$ で、角欠損は $360^\circ-450^\circ=-90^\circ$ である（図1 の右）。
  • 下の頂点 $(1,1,0)$ も同じで $-90^\circ$ である。
  • 残りの 10 個の頂点には $90^\circ$ の角が 3 つ集まり、角欠損は $90^\circ$ である。
    総和は $10\times90^\circ+2\times(-90^\circ)=720^\circ$ で、凸な立体と同じになる（図2）。

L 字の柱の角欠損。へこんだ 2 頂点（赤）は −90°、残りの 10 頂点は +90° で、総和は 720° L 字の柱の角欠損。へこんだ 2 頂点（赤）は −90°、残りの 10 頂点は +90° で、総和は 720°

主定理：角欠損の総和は $360^\circ\times(V-E+F)$

角欠損の総和の公式

頂点の数 $V$、辺の数 $E$、面の数 $F$ の多面体について
$$ \sum_v\delta(v)=360^\circ\times(V-E+F) $$
が成り立つ。

すべての面の角を 2 通りに足す

方針：すべての面のすべての角を足した量 $A$ を、「面ごと」と「頂点ごと」の 2 通りに計算して比べる。
段 1（面ごとに足す）。面 $f$ が $n_f$ 角形のとき、その内角の和は $(n_f-2)\times180^\circ$ である。面が凸でない多角形でもこの公式は成り立つ（多角形の内角の和と外角の和 の主定理「多角形の内角の和」）。すべての面で足すと
$$ A=\sum_f(n_f-2)\times180^\circ=180^\circ\times\sum_fn_f-360^\circ\times F $$
である。
段 2（辺を数える）。$\sum_fn_f$ は、面ごとに辺を数えた本数である。どの辺もちょうど 2 枚の面に共有されるので、各辺は 2 回ずつ数えられ、$\sum_fn_f=2E$ である。段 1 に入れると
$$ A=360^\circ\times E-360^\circ\times F $$
である。
段 3（頂点ごとに足す）。すべての面のすべての角を、どの頂点にある角かで分けて足すと、各頂点での和 $\sigma(v)$ の合計になる。$\sigma(v)=360^\circ-\delta(v)$ なので
$$ A=\sum_v\bigl(360^\circ-\delta(v)\bigr)=360^\circ\times V-\sum_v\delta(v) $$
である。
段 4（比べる）。段 2 と段 3 の $A$ は同じものなので、$360^\circ\times V-\sum_v\delta(v)=360^\circ\times E-360^\circ\times F$ である。移項して
$$ \sum_v\delta(v)=360^\circ\times(V-E+F) $$
を得る。

証明で使った条件

prf-dad-main で使ったのは、次の 2 つの条件だけである。

  • 面は穴のない多角形である（段 1 で内角の和の公式 $(n_f-2)\times180^\circ$ を使う）。
  • どの辺もちょうど 2 枚の面に共有される（段 2 で $\sum_fn_f=2E$ を出す）。
    「各頂点のまわりに面が 1 つの輪のように並ぶ」ことと「表面がひとつながり」であることは、段 1〜段 4 のどこでも使っていない。段 3 で頂点ごとに分けて足すのは、どの角もちょうど 1 つの頂点にあるからで、頂点のまわりの面の並び方にはよらない。したがって、この 2 つの条件を外した立体でも、上の 2 つの条件を満たしていれば、同じ式 $\sum_v\delta(v)=360^\circ\times(V-E+F)$ が成り立つ（ex-dad-hollow、ex-dad-twin）。
Descartes の角欠損定理

凸多面体の角欠損の総和は $720^\circ$（弧度法で $4\pi$）である。

Euler の定理を入れる

凸多面体では $V-E+F=2$ である（Eulerの多面体定理（高校数学） の主定理）。thm-dad-main に入れると、総和は $360^\circ\times2=720^\circ$ である。

凸でなくても、平らに広げた網が描けて $V-E+F=2$ となる多面体（ex-dad-l-prism の L 字の柱など）では、同じく総和は $720^\circ$ である。逆に thm-dad-main は、$V-E+F$ を「角欠損の総和を $360^\circ$ で割ったもの」として角から読み取れることを示している。

公式を数で確かめる
  1. 正四角錐（ex-dad-start の (3)）：$V=5$、$E=8$、$F=5$ で $V-E+F=2$、角欠損の総和 $720^\circ=360^\circ\times2$ と合う。段 1 の $A$ は、正方形 1 枚と三角形 4 枚で $360^\circ+4\times180^\circ=1080^\circ$、段 3 の $A$ は $5\times360^\circ-720^\circ=1080^\circ$ で一致する。
  2. L 字の柱：面は L 字の六角形 2 枚（内角の和 $4\times180^\circ=720^\circ$ ずつ）と長方形 6 枚で、$A=2\times720^\circ+6\times360^\circ=3600^\circ$ である。$V=12$、$E=18$ から $360^\circ\times18-360^\circ\times8=3600^\circ$ で一致する。

使ってみる：角から頂点の数を知る

角欠損の総和が決まっているので、どの頂点も同じ角欠損をもつ凸多面体では、頂点の数が角だけから分かる。

頂点の数を角から求める
  1. 正三角形だけでできていて、どの頂点にも 5 枚集まる凸多面体では、どの頂点の角欠損も $360^\circ-5\times60^\circ=60^\circ$ である。cor-dad-convex から頂点の数は $720^\circ\mathbin{÷}60^\circ=12$ で、正二十面体の頂点の数と一致する（正多面体の分類）。
  2. サッカーボールの形（正五角形 12 枚と正六角形 20 枚、どの頂点にも正五角形 1 枚と正六角形 2 枚）では、どの頂点にも $108^\circ+120^\circ+120^\circ=348^\circ$ が集まり、角欠損は $12^\circ$ である。頂点の数は $720^\circ\mathbin{÷}12^\circ=60$ で、Eulerの多面体定理（高校数学） の例「サッカーボールの形」で 2 通りに数えた $V=60$ と一致する。
  3. 立方八面体（どの頂点にも正三角形・正方形・正三角形・正方形が集まる）では、角欠損は $360^\circ-300^\circ=60^\circ$ で、頂点の数は $720^\circ\mathbin{÷}60^\circ=12$ である。

Eulerの多面体定理（高校数学） では、面が五角形と六角形だけで各頂点に 3 枚の面が集まる凸多面体の五角形は 12 枚であることを、$V-E+F=2$ から示した。面が正多角形のときは、角欠損を使うと同じことが一目で分かる。

正五角形は 12 枚

凸多面体の面がすべて正五角形か正六角形で、どの頂点にもちょうど 3 枚の面が集まるとする。このとき正五角形の面はちょうど 12 枚である。

角欠損を角ごとに配る

方針：頂点の角欠損を、そこに集まる 3 つの角に「$120^\circ$ からの不足」として配り、面ごとに数え直す。
段 1（頂点の角欠損を配る）。頂点 $v$ に集まる 3 つの角を $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ とすると
$$ \delta(v)=360^\circ-(\beta_1+\beta_2+\beta_3)=(120^\circ-\beta_1)+(120^\circ-\beta_2)+(120^\circ-\beta_3) $$
である。正六角形の角は $120^\circ$ なので $120^\circ-\beta=0^\circ$、正五角形の角は $108^\circ$ なので $120^\circ-\beta=12^\circ$ である。
段 2（面ごとに数え直す）。段 1 をすべての頂点で足すと、すべての面のすべての角について $120^\circ-\beta$ を足したものになる。正六角形の角からは $0^\circ$、正五角形の角からは $12^\circ$ ずつで、正五角形の面が $p$ 枚なら、その角は $5p$ 個ある。よって角欠損の総和は $12^\circ\times5p=60^\circ\times p$ である。
段 3（定理を使う）。cor-dad-convex から $60^\circ\times p=720^\circ$、よって $p=12$ である。正六角形の枚数は、この式に現れないので決まらない。

正十二面体とサッカーボール
  1. 正十二面体は正五角形 12 枚、正六角形 0 枚である。どの頂点にも正五角形が 3 枚集まり、角欠損は $3\times12^\circ=36^\circ$、頂点は 20 個で、総和は $20\times36^\circ=720^\circ$ である。
  2. サッカーボールの形は正五角形 12 枚、正六角形 20 枚である。どの頂点にも正五角形が 1 枚だけ集まり、角欠損は $12^\circ$、頂点は 60 個で、総和は $60\times12^\circ=720^\circ$ である。

例と反例：どの仮定が効いているか

cor-dad-convex の $720^\circ$ は凸多面体についての結論で、凸でなくても $V-E+F=2$ となる多面体（ex-dad-l-prism の L 字の柱など）では同じく成り立つ。thm-dad-main の式はどの多面体にも使え、rem-dad-conditions のとおり輪の条件やひとつながりの条件を外した立体にも使えるが、$V-E+F$ が $2$ でなくなると総和も変わる。

外した仮定崩れる主張ボックス
表面に穴があかない（球面と同じ形）角欠損の総和が $720^\circ$（額縁では $0^\circ$）ex-dad-frame
表面がひとつながり角欠損の総和が $720^\circ$（中が空洞の立方体では $1440^\circ$）ex-dad-hollow
各頂点のまわりの面が 1 つの輪角欠損の総和が $720^\circ$（1 頂点を共有する 2 つの正四面体では $1080^\circ$）ex-dad-twin
面が平らな多角形（曲がりが頂点に集まる）曲がり具合の総和が頂点の角欠損の和で表せる（球面には頂点がない）ex-dad-sphere
反例：額縁の形の多面体

1 辺 $4$ の正方形の板（厚さ $1$）の中央から 1 辺 $2$ の正方形をくり抜き、上下の面を、外側と内側の正方形の対応する頂点を結ぶ線分で台形 4 枚ずつに分けた多面体を考える（Eulerの多面体定理（高校数学） の額縁と同じ形の立体）。

  • 外側の上の頂点には、台形 2 枚の角 $45^\circ$、$45^\circ$ と、外側の側面の長方形 2 枚の角 $90^\circ$、$90^\circ$ が集まる。和は $270^\circ$ で、角欠損は $90^\circ$ である。
  • 内側（穴のふち）の上の頂点には、台形 2 枚の角 $135^\circ$、$135^\circ$ と、穴の壁の長方形 2 枚の角 $90^\circ$、$90^\circ$ が集まる。和は $450^\circ$ で、角欠損は $-90^\circ$ である。
  • 下の頂点も同じである。
    総和は $8\times90^\circ+8\times(-90^\circ)=0^\circ$ で、$V-E+F=16-32+16=0$ と thm-dad-main のとおりである（図3）。
    満たす性質：Eulerの多面体定理（高校数学） の多面体の定義の条件すべて。満たさない性質：表面が球面と同じ形であること（穴があいている）。破る主張：角欠損の総和が $720^\circ$。

額縁の形の多面体の角欠損。外側の頂点は +90°、穴のふちの頂点は −90° で、総和は 0° 額縁の形の多面体の角欠損。外側の頂点は +90°、穴のふちの頂点は −90° で、総和は 0°

反例：中が空洞の立方体

1 辺 $3$ の立方体の中に、1 辺 $1$ の立方体の形の空洞がある立体を考える。表面は、外側の立方体の表面と、空洞の壁の 2 つに分かれる。外側の 8 頂点の角欠損は $90^\circ$ である。空洞の壁の頂点にも $90^\circ$ の角が 3 つ集まるので、角欠損は同じく $90^\circ$ である。総和は $16\times90^\circ=1440^\circ$ である。この立体は表面がひとつながりでないので、「角欠損の定義」の節の多面体ではない。しかし面は正方形で、どの辺もちょうど 2 枚の面に共有されるので、rem-dad-conditions のとおり式は成り立ち、$360^\circ\times(V-E+F)=360^\circ\times(16-24+12)=360^\circ\times4=1440^\circ$ と一致する。
満たす性質：面は穴のない多角形、どの辺もちょうど 2 枚の面に共有される、各頂点のまわりの面は 1 つの輪。満たさない性質：表面がひとつながりであること。破る主張：角欠損の総和が $720^\circ$。

反例：1 つの頂点を共有する 2 つの正四面体

2 つの正四面体を、1 つの頂点だけで接するように置く。共有した頂点には正三角形が $3+3=6$ 枚集まり、角の和は $360^\circ$ で、角欠損は $0^\circ$ である。残りの 6 個の頂点の角欠損は $180^\circ$ である。総和は $6\times180^\circ=1080^\circ$ である。この立体は共有した頂点のまわりで面が 2 つの輪に分かれるので、「角欠損の定義」の節の多面体ではない。しかし面は正三角形で、どの辺もちょうど 2 枚の面に共有されるので、rem-dad-conditions のとおり式は成り立ち、$360^\circ\times(V-E+F)=360^\circ\times(7-12+8)=360^\circ\times3=1080^\circ$ と一致する。
満たす性質：面は穴のない多角形、どの辺もちょうど 2 枚の面に共有される、表面はひとつながり。満たさない性質：共有した頂点のまわりの面が 1 つの輪に並ぶこと（2 つの輪に分かれる）。破る主張：角欠損の総和が $720^\circ$。

反例：なめらかな球面

球面には頂点がないので、頂点の角欠損を足しても $0^\circ$ である。しかし球面も閉じた曲がった面である。球面に内接する凸多面体の頂点を増やしていくと、1 つ 1 つの角欠損は小さくなりながら、総和はいつも $720^\circ$ のままである。球面では曲がり具合が頂点に集まらず、面全体に広がっている。その総和の測り方が rem-dad-gauss-bonnet の曲率の積分である。
満たさない性質：面が平らな多角形であること。破る主張：曲がり具合の総和を頂点の角欠損の和で表せること。

大学数学で見ると

角欠損は球面の上の面積

凸多面体の各面に、外向きで長さ $1$ の垂直なベクトル（外向きの単位法線）を立てる。その先端は、原点を中心とする半径 $1$ の球面の上の点である。

立方体の頂点の法線

立方体 $0\le x,y,z\le1$ の頂点 $(1,1,1)$ には、面 $x=1$、$y=1$、$z=1$ が集まる。外向きの単位法線は $(1,0,0)$、$(0,1,0)$、$(0,0,1)$ である。この 3 点を大円の弧で結ぶと、球面を 8 等分した球面三角形になる（図4）。その面積は球面の面積 $4\pi$ の $\frac18$ で $\frac\pi2$、弧度法の角に読みかえると $90^\circ$ で、頂点 $(1,1,1)$ の角欠損 $90^\circ$ に等しい。立方体の 8 つの頂点の球面三角形は、球面をすき間なく 8 つに分ける。

左は立方体の頂点 (1,1,1) に集まる 3 面の外向きの法線。右はその先端 (1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1) を結ぶ球面三角形で、面積は π/2（90°）と角欠損に等しい 左は立方体の頂点 (1,1,1) に集まる 3 面の外向きの法線。右はその先端 (1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1) を結ぶ球面三角形で、面積は π/2（90°）と角欠損に等しい

法線の球面多角形

凸多面体の頂点 $v$ に $q$ 枚の面が集まり、その内角が $\alpha_1,\dots,\alpha_q$ であるとする。$q$ 枚の面の外向きの単位法線を、面の並ぶ順に大円の弧で結ぶと、単位球面の上の $q$ 角形ができる。この球面多角形の $i$ 番目の角は $\pi-\alpha_i$（$180^\circ-\alpha_i$）になる（本記事では証明しない。ex-dad-normal-cube の立方体では、3 つの角がどれも $90^\circ=180^\circ-90^\circ$ で合っている）。すると 球面三角形の面積 の系「球面多角形の面積」から、面積は
$$ \sum_{i=1}^q(\pi-\alpha_i)-(q-2)\pi=2\pi-(\alpha_1+\dots+\alpha_q)=\delta(v) $$
で、角欠損に等しい。さらに、すべての頂点の球面多角形は、単位球面をすき間も重なりもなく覆う（本記事では証明しない）。そうすると、角欠損の総和は球面の面積 $4\pi$ に等しい。これは cor-dad-convex の、Euler の定理を使わない別の見方である。逆に thm-dad-main と合わせると、ここから $V-E+F=2$ が出る。球面三角形の面積 で、球面の三角形分割の角の総和を数えて $V-E+F=2$ を出したのと同じ考え方である。

離散版の Gauss–Bonnet の定理

球面三角形の面積 の Girard の定理は、半径 $R$ の球面の上の三角形について、内角の和の $\pi$ からの超過が面積の $\frac1{R^2}$ 倍に等しいというものだった。$\frac1{R^2}$ は球面の 曲率 である。つまり「角のずれ $=$ 曲率 $\times$ 面積」である。
角欠損は、この「角のずれ」が多面体では頂点 1 点に集まったものと見ることができる。多面体の面は平らで（曲率 $0$）、辺をまたいでも広げれば平らにつながる。曲がりがあるのは頂点だけで、頂点のまわりを 1 周する角が $360^\circ$ に足りない分だけ曲がっている。

Gauss–Bonnet の定理

閉じたなめらかな曲面 $S$ では、各点の曲がり具合を表す Gauss 曲率 $K$ を面全体で積分すると
$$ \iint_SK\,dA=2\pi\times\chi(S) $$
となる。$\chi(S)$ は $S$ の Euler標数（多角形に分けたときの $V-E+F$）である。これが Gauss–Bonnetの定理 で、本記事では証明しない。曲率が一定値 $k$ の曲面では、左辺は $k\times(\text{面積})$ になり、$k\times(\text{面積})=2\pi\chi$ となる（Hit18 Theorem 7.6.7、p. 183）。

  • 半径 $R$ の球面：$k=\frac1{R^2}$、面積 $4\pi R^2$ で、左辺は $4\pi$。球面の $\chi=2$ から右辺も $4\pi$ である。
  • 多面体：曲率が頂点に集まっていると考えると、左辺の積分は角欠損の総和（弧度法）に置き換わる。thm-dad-main を弧度法で書くと $\sum_v\delta(v)=2\pi\times(V-E+F)$ で、Gauss–Bonnet の定理と同じ形である。
    平面の多角形では、周を回る曲がる角の総和が $2\pi\times\chi$ になった（多角形の内角の和と外角の和）。曲面の上の図形では、曲がる角の総和と曲率の積分を足したものが $2\pi\times\chi$ になり、周のない閉じた曲面では曲率の積分だけが残る。
角欠損と球面三角形を並べる
  1. 正八面体の 6 つの頂点の角欠損は $360^\circ-4\times60^\circ=120^\circ$ で、総和は $720^\circ$、弧度法で $4\pi$ である。
  2. 正八面体の中心から、頂点を半径 $1$ の球面に写すと、8 つの面は球面を 8 等分する直角三角形（3 つの角が $90^\circ$）になる。Girard の定理から、1 つの面積は $\frac{3\pi}2-\pi=\frac\pi2$ で、8 つで $4\pi$ である。
    多面体では曲がりが頂点に集まり（1 頂点 $\frac{2\pi}3$、6 頂点で $4\pi$）、球面では面全体に広がる（1 つの三角形で $\frac\pi2$、8 つで $4\pi$）が、総和はどちらも $4\pi=2\pi\times2$ である。

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  • 平面の多角形で外角の和が $360^\circ$ になることは、角欠損の総和が $720^\circ$ になることの平面版と見ることができる。穴のある図形での $360^\circ\times(1-h)$ も含めて 多角形の内角の和と外角の和 で扱う。
  • 1 頂点の角欠損が正であること（凸多面体の頂点の角の和は $360^\circ$ より小さい）の証明と、そこから正多面体が 5 種類に限られることは 正多面体の分類 で扱う。
  • 1 点のまわりに正多角形を並べて角の和がちょうど $360^\circ$ になる（角欠損が $0^\circ$ の）並べ方は、平面を敷き詰める。これは 正多角形の敷き詰め で扱う。
  • 球面の上の三角形の面積の公式（Girard の定理）は 球面三角形の面積 で証明している。曲面の曲率は Gauss曲率、一般の Gauss–Bonnet の定理は Gauss–Bonnetの定理 で扱う。

関連項目

参考文献

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Descartesの角欠損定理