Plücker埋め込み

$W_\omega$ の基底 $v_1,\dots,v_m$ を $V$ の基底 $v_1,\dots,v_n$ に延ばし、$\omega=\sum_Ic_Iv_I$（$I$ は $k$ 元部分集合、$v_I$ は $e_I$ と同様）と書く。$i\le m$ について
$$ 0=v_i\wedge\omega=\sum_{I\not\ni i}c_I\,v_i\wedge v_I $$
であり、$I\not\ni i$ について $v_i\wedge v_I=\pm v_{I\cup\{i\}}$ は $I$ ごとに異なる基底ベクトルなので、$i\notin I$ なら $c_I=0$ である。よって $c_I\ne0$ となるのは $\{1,\dots,m\}\subset I$ のときだけである。$\omega\ne0$ なので $m\le k$ であり、$m=k$ なら $\omega=c_{\{1,\dots,k\}}v_1\wedge\cdots\wedge v_k$ となって分解可能である。逆に $\omega=w_1\wedge\cdots\wedge w_k$ なら各 $w_i$ は $W_\omega$ に属し、$\omega\ne0$ だから $w_i$ は 1 次独立で（外積代数 の命題「1 次独立性の判定」）、$\dim W_\omega\ge k$ である。$\square$

1：別の基底 $w_i'=\sum_jb_{ij}w_j$ をとると $w_1'\wedge\cdots\wedge w_k'=\det(b_{ij})\,w_1\wedge\cdots\wedge w_k$ であり（外積代数 の定理「自由加群の外冪の基底」の 1）、$\det(b_{ij})\ne0$ なので $p(W)$ は基底によらない。像が分解可能な類の全体であることは定義による。$\omega=w_1\wedge\cdots\wedge w_k$ なら $W\subset W_\omega$ であり、lem-plucker-annihilator により $\dim W_\omega=k$ なので $W=W_\omega$ である。$W_\omega$ は $\omega$ を定数倍しても変わらないので、$p(W)$ から $W$ が復元され、$p$ は単射である（Tay92 Lemma 12.6 も同じ議論である）。
2：$A$ の第 $r$ 行を $w_r=\sum_ia_{ri}e_i$ とすると、同じ定理の 1 により $w_1\wedge\cdots\wedge w_k=\sum_I\det A_I\,e_I$ である。列の入れ替えで行列式の符号が変わり、同じ列が 2 つあれば行列式は $0$ なので、任意の列についても $\omega_{i_1\cdots i_k}=\det A_{i_1\cdots i_k}$ である。$U_I$ は $\det A_I\ne0$ で定義されていたので、最後の主張を得る。
3：$A=M_I(X)$ としてよく、$\omega_I=\det I_k=1$ である。$M_I(X)$ の第 $i_s$ 列は単位ベクトル $e_s\in K^k$、第 $j$ 列は $(x_{1j},\dots,x_{kj})^{\mathsf T}$ である。したがって $M_I(X)_{I[r\to j]}$ は第 $r$ 列が $(x_{1j},\dots,x_{kj})^{\mathsf T}$ で、ほかの列が単位行列の列に一致する行列であり、その行列式は第 $r$ 行第 $r$ 列の成分 $x_{rj}$ である。$\square$

必要性：$\omega$ は $0$ でない定数倍を除いて $W=p^{-1}([\omega])$ の Plücker 座標であり、thm-plucker-main の 2 により、$W$ を行空間とする $k\times n$ 行列 $A$ の第 $i$ 列を $a_i\in K^k$ として $\omega_{i_1\cdots i_k}=\det(a_{i_1},\dots,a_{i_k})$ である。$b_r:=a_{i_r}$ を固定し、$c_1,\dots,c_{k+1}\in K^k$ について
$$ \Phi(c_1,\dots,c_{k+1}):=\sum_{s=1}^{k+1}(-1)^s\det(b_1,\dots,b_{k-1},c_s)\det(c_1,\dots,\widehat{c_s},\dots,c_{k+1}) $$
とおく。$\Phi$ は各 $c_s$ について線形である。$c_t=c_{t+1}$ なら、$s\ne t,t+1$ の項は等しい 2 列をもつ行列式を含むので $0$ であり、$s=t$ と $s=t+1$ の項は、除いたあとの列が一致し、符号だけが逆なので打ち消し合う。よって $\Phi$ は隣り合う 2 つの引数が等しいと $0$ になり、$\Phi(\dots,u+v,u+v,\dots)=0$ を展開すると隣り合う引数の入れ替えで符号が変わるので、任意の 2 つの引数が等しいときも $0$ になる。$c_s$ を $K^k$ の基底で展開すると、$k+1$ 個の引数に $k$ 個の基底ベクトルを入れた各項は同じ引数を 2 つもつので、$\Phi=0$ である。$c_s=a_{j_s}$ とすれば関係式を得る。
十分性：$\omega_{I_0}\ne0$ となる増加列 $I_0=(i_1< \cdots< i_k)$ をとり、$\omega$ を定数倍して $\omega_{I_0}=1$ とする。$j\notin I_0$ について $x_{rj}:=\omega_{I_0[r\to j]}$ とおき、$A:=M_{I_0}(X)$、$\eta:=$（$A$ の行の外積）とする。$\eta$ は分解可能で、必要性により同じ関係式を満たす。thm-plucker-main の 2・3 により $\eta_{I_0}=1=\omega_{I_0}$、$\eta_{I_0[r\to j]}=x_{rj}=\omega_{I_0[r\to j]}$ である。$\eta=\omega$ を示す。どちらの座標も添字の並べ替えで符号が変わるだけなので、$k$ 元部分集合 $J$ について $\eta_J=\omega_J$ を、$d:=\lvert J\setminus I_0\rvert$ についての帰納法で示せばよい。$d\le1$ の場合は上で確かめた（$d=1$ なら $J$ は $I_0[r\to j]$ の並べ替えである）。
$d\ge2$ とし、$j\in J\setminus I_0$ を 1 つとり、$J\setminus\{j\}$ を並べた列を $(h_1,\dots,h_{k-1})$ とする。関係式を $(h_1,\dots,h_{k-1})$ と $(i_1,\dots,i_k,j)$ に使うと、$s=k+1$ の項は $\pm\omega_{h_1\cdots h_{k-1}j}\,\omega_{I_0}=\pm\omega_{h_1\cdots h_{k-1}j}$ なので
$$ \omega_{h_1\cdots h_{k-1}j}=(-1)^k\sum_{s=1}^{k}(-1)^s\,\omega_{h_1\cdots h_{k-1}i_s}\,\omega_{i_1\cdots\widehat{i_s}\cdots i_kj} $$
である。右辺の第 1 因子は、$i_s\in J$ なら添字の重複で $0$、そうでなければ添字の集合 $(J\setminus\{j\})\cup\{i_s\}$ と $I_0$ の差が $d-1$ 個である。第 2 因子の添字の集合と $I_0$ の差は $\{j\}$ の 1 個である。$\eta$ も同じ等式を満たすので、帰納法の仮定から $\eta_{h_1\cdots h_{k-1}j}=\omega_{h_1\cdots h_{k-1}j}$、すなわち $\eta_J=\omega_J$ を得る。よって $\omega=\eta$ は分解可能である。
最後の主張は、thm-plucker-main の 1 と、各 $\omega_{i_1\cdots i_k}$ が $\pm\omega_I$ か $0$ であって関係式が Plücker 座標の 2 次斉次式であることから従う。$\square$

$D_I:=\{\omega_I\ne0\}$ は $\omega_J/\omega_I$（$J\ne I$）を座標とする $\mathbb P(\bigwedge^kK^n)$ の座標近傍である（射影空間 の命題「アフィン座標近傍と多様体構造」）。thm-plucker-main の 2 により $p^{-1}(D_I)=U_I$ であり、この座標で $p\circ\varphi_I^{-1}(X)=(\det M_I(X)_J)_{J\ne I}$ は $X$ の多項式なので、$p$ は滑らかである。thm-plucker-main の 3 の座標 $\omega_{I[r\to j]}/\omega_I$ を並べた線形写像 $\lambda_I\colon D_I\to K^{k(n-k)}$（$I[r\to j]$ を増加列に並べ替えた符号を込める）は $\lambda_I\circ p\circ\varphi_I^{-1}=\mathrm{id}$ を満たす。したがって $p$ の微分は各点で単射であり、$p(U_I)=p(\operatorname{Gr}(k,K^n))\cap D_I$ の上で $p$ の逆写像は連続写像 $\varphi_I^{-1}\circ\lambda_I$ の制限である。$D_I$ たちは像を覆うので $p$ は像への同相写像であり、滑らかな埋め込みである。$\operatorname{Gr}(k,K^n)$ はコンパクトなので（Grassmann多様体 の定理「多様体の構造」）、像はコンパクトで閉集合である。$\square$