相対Hurewiczの定理

2 と 3 は、どちらの辺も同じ写像の押し出し $(\varphi\circ f)_*[I^n]$、$f_*[I^n]$ であることによる。1 を示す。$M:=\{s_1=\tfrac12\}$ とし、$a_L(s):=(\tfrac12s_1,s_2,\dots,s_n)$、$a_R(s):=(\tfrac12(1+s_1),s_2,\dots,s_n)$、$q_L(s):=(\min(2s_1,1),s_2,\dots,s_n)$、$q_R(s):=(\max(2s_1-1,0),s_2,\dots,s_n)$ とおく。$a_L,a_R$ は対の写像 $(I^n,\partial I^n)\to(I^n,\partial I^n\cup M)$、$q_L,q_R$ は対の写像 $(I^n,\partial I^n\cup M)\to(I^n,\partial I^n)$ である。$I^n/(\partial I^n\cup M)$ は 2 つの球面のウェッジ和で、$q_L,q_R$ はそれぞれ一方の球面をつぶす写像を誘導するので、良い対 の定理「良い対の相対ホモロジー」「ウェッジ和の被約ホモロジー」により $(q_{L*},q_{R*})\colon H_n(I^n,\partial I^n\cup M)\to H_n(I^n,\partial I^n)^2$ は同型である。$k$ を恒等写像 $(I^n,\partial I^n)\to(I^n,\partial I^n\cup M)$ とし、$u:=k_*[I^n]$、$v:=a_{L*}[I^n]+a_{R*}[I^n]$ とおく。$q_Lk$ と恒等写像は線分のホモトピー $(1-t)s+tq_L(s)$ で結ばれ、これは各時刻で $\partial I^n$ を $\partial I^n$ に写す（$s_1\in\{0,1\}$ も $s_i\in\{0,1\}$ も保たれる）ので $q_{L*}u=[I^n]$、同様に $q_{R*}u=[I^n]$ である。一方 $q_La_L=\mathrm{id}$ で、$q_Ra_L$ は像が面 $\{s_1=0\}\subset\partial I^n$ に入るので $(q_Ra_L)_*[I^n]=0$ であり、$a_R$ についても同様だから $(q_{L*}v,q_{R*}v)=([I^n],[I^n])$ である。よって $u=v$ である。$f+g$ は $\partial I^n\cup M$ を $A$ に写し、$(f+g)\circ a_L=f$、$(f+g)\circ a_R=g$ なので、$h([f]+[g])=(f+g)_*u=(f+g)_*v=f_*[I^n]+g_*[I^n]$ である。$\square$

2：$\lambda(v):=\tfrac12(1+v)$ とし、$\rho(s)\le\lambda(v)$ で $F(s,v):=f(\sigma_{\lambda(v)}(s))$、$\rho(s)\ge\lambda(v)$ で $F(s,v):=\gamma(v+2(1-\rho(s)))$ とおく。第 2 式の引数は $[v,1]$ に入り、$\rho(s)=\lambda(v)$ では両式とも $x_1$ を与える。二つの範囲は閉集合なので $F$ は連続である。$J^{n-1}$ では $\rho=1$ なので $F(s,v)=\gamma(v)$ であり、底面の点は第 1 式では $f$ の底面の値、第 2 式では $\gamma$ の値をとるので $A$ に入る。$v=0$ で $F_0=T_\gamma f$、$v=1$ で $F_1=f$ である。

1：$\rho(s)\le\tfrac12$ で $G(s,v):=F(\sigma_{1/2}(s),v)$、$\rho(s)\ge\tfrac12$ で $G(s,v):=\gamma(v(2-2\rho(s)))$ とおく。$\rho(s)=\tfrac12$ では $\sigma_{1/2}(s)\in J^{n-1}$ なので両式は $\gamma(v)$ を与え、$G$ は連続である。各 $G_v$ は $J^{n-1}$ を $\gamma(0)=x_0$ に、底面を $A$ に写すので、$G$ はこの記事の意味のホモトピーであり $[G_0]=[G_1]$ である。$G_1=T_\gamma F_1$、$G_0=T_cF_0$（$c$ は $x_0$ の定値道）である。2 を $c$ と $F_0$ に当てると、$J^{n-1}$ の値が $x_0$ のままのホモトピーで $T_cF_0$ と $F_0$ が結ばれるので $[T_cF_0]=[F_0]$ である。よって $[F_0]=[T_\gamma F_1]$ である。$\square$

1：$H$ を $f$ から $f'$ へのホモトピー、$\Gamma$ を $A$ の中の $\gamma$ から $\gamma'$ への端点を止めたホモトピーとすると、$(s,u)\mapsto T_{\Gamma(\cdot,u)}H(\cdot,u)(s)$ は連続で、各 $u$ で $(X,A,x_0)$ への写像である。

2：lem-rhz-trace の 2 を $\eta$ と $f$ に当てて $F$（$F_0=T_\eta f$、$F_1=f$）を、$\gamma$ と $T_\eta f$ に当てて $G$（$G_0=T_\gamma T_\eta f$、$G_1=T_\eta f$）を得る。$v\le\tfrac12$ で $G(s,2v)$、$v\ge\tfrac12$ で $F(s,2v-1)$ とおいた $K$ は $J^{n-1}$ で $(\gamma\cdot\eta)(v)$ をたどるので、補題の 1 から $\tau_\gamma\tau_\eta[f]=[K_0]=\tau_{\gamma\cdot\eta}[K_1]=\tau_{\gamma\cdot\eta}[f]$ である。$F(s,v):=f(s)$ は定値道をたどるので $\tau_c=\mathrm{id}$ である。$\gamma\cdot\bar\gamma$ と $\bar\gamma\cdot\gamma$ は端点を止めて定値道とホモトピックなので、1 から逆写像が $\tau_{\bar\gamma}$ である。$n\ge2$ のとき、$f,g$ に補題の 2 を当てた $F,G$ について、各 $v$ で $F_v,G_v$ を第 1 座標で貼り合わせた $K_v:=F_v+G_v$ は、継ぎ目の値がどちらも $\gamma(v)$ なので連続で、$J^{n-1}$ で $\gamma(v)$ をたどり底面を $A$ に写す。$K_1=f+g$、$K_0=T_\gamma f+T_\gamma g$ なので、補題の 1 から $\tau_\gamma[f]+\tau_\gamma[g]=\tau_\gamma([f]+[g])$ である。

3：定義の式から $\varphi\circ T_\gamma f=T_{\varphi\circ\gamma}(\varphi\circ f)$ である。

4：補題の 2 の $F$ を底面に制限した $(s',v)\mapsto F(s',0,v)$ は $A$ への写像で、$s'\in\partial I^{n-1}$ では $(s',0)\in J^{n-1}$ なので値は $\gamma(v)$ である。基点の取り替え(ホモトピー群) の補題「道をたどるホモトピー」の 1 を空間 $A$ と次元 $n-1$ で使うと、$[F_0|_{I^{n-1}}]=\beta_\gamma[F_1|_{I^{n-1}}]$、すなわち $\partial\tau_\gamma[f]=\beta_\gamma\partial[f]$ である。$n=2$ の式は同記事の命題「1 次元では共役」による。

5：補題の 2 の $F$ の各 $F_v$ は $\partial I^n$ を $A$ に写すので、$F$ は対の写像のホモトピーであり、$(T_\gamma f)_*[I^n]=f_*[I^n]$ である。$\square$

$D:=\{z\in\mathbb C:\lvert z\rvert\le1\}$ とし、$k(s_1,s_2):=(1-s_2)e^{2\pi is_1}+s_2$ とおく。$k$ は $J^1$ を $1$ に、底面を単位円周に写し、$I^2\setminus J^1$ の上で単射である（$1$ から出る線分は単位円周の $1$ 以外の点とちょうど一度交わる）。コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全射なので、$k$ は同相 $I^2/J^1\cong D$ を誘導する。よって $a=[f]$、$b=[g]$ の代表は $f=\bar f\circ k$、$g=\bar g\circ k$ と書け、$\bar f,\bar g\colon(D,\partial D,1)\to(X,A,x_0)$ は連続である。

$D$ の 2 つの写し $D_a,D_b$ を点 $1$ で貼り合わせた空間を $U$、その境界の円周の和を $V$ とし、$\iota_a,\iota_b$ を包含、$\alpha:=[\iota_a\circ k]$、$\beta:=[\iota_b\circ k]\in\pi_2(U,V,1)$ とおく。$F:=\bar f\vee\bar g\colon(U,V,1)\to(X,A,x_0)$ について $F_*\alpha=a$、$F_*\beta=b$ である。$U$ は各円板を $(z,t)\mapsto(1-t)z+t$ で点 $1$ へ縮めることで可縮なので $\pi_2(U,1)=0$ であり、対の長完全列（相対ホモトピー群 の定理「対の長完全列」）から準同型 $\partial\colon\pi_2(U,V,1)\to\pi_1(V,1)$ は単射である。$\partial(\alpha+\beta-\alpha)=\partial\alpha\,\partial\beta\,(\partial\alpha)^{-1}$ であり、prop-rhz-action の 4 から $\partial((\partial\alpha)\cdot\beta)=\partial\alpha\,\partial\beta\,(\partial\alpha)^{-1}$ でもある。よって $U$ で $\alpha+\beta-\alpha=(\partial\alpha)\cdot\beta$ が成り立つ。$F_*$ を当てると、$F_*$ は準同型で、$\partial$ と可換で（$F_*\partial\alpha=\partial a$）、prop-rhz-action の 3 により作用と両立するので、$a+b-a=(\partial a)\cdot b$ を得る。$\square$

$e\colon(I^{m-1},\partial I^{m-1})\to(\partial I^m,J^{m-1})$ を底面の包含 $s'\mapsto(s',0)$ とする。$J^{m-1}$ はホモトピー $s\mapsto(s',s_m+t(1-s_m))$ で凸な上面に変位レトラクトするので可縮であり、$H_{m-1}(\partial I^m)\to H_{m-1}(\partial I^m,J^{m-1})$ は同型である（$m-1\ge1$）。$e$ は連続な全単射 $I^{m-1}/\partial I^{m-1}\to\partial I^m/J^{m-1}$ を誘導し、これはコンパクト空間から Hausdorff 空間への写像なので同相であるから、良い対 の定理「良い対の相対ホモロジー」により $e_*$ は同型である。$I^m$ は可縮なので、連結準同型による $[I^m]$ の像 $\partial[I^m]$ は $H_{m-1}(\partial I^m)\cong\mathbb Z$ の生成元である。よって $\partial[I^m]$ の $H_{m-1}(\partial I^m,J^{m-1})$ での像は $\varepsilon_m e_*[I^{m-1}]$（$\varepsilon_m=\pm1$）と書け、$\varepsilon_m$ は $m$ と生成元の選び方だけで決まる。$z=[f]$ とすると、連結準同型の自然性から $\partial_Hh(z)=(f|_{\partial I^m})_*\partial[I^m]$ であり、$f|_{\partial I^m}$ は $J^{m-1}$ を $x_0$ に写すので、その $H_{m-1}(B,\{x_0\})$ での像は $\varepsilon_m(f\circ e)_*[I^{m-1}]=\varepsilon_mh(\partial z)$ である。$\varepsilon_m^2=1$ から主張を得る。$\square$

基底．$(B,A)$ は良い対で、$B/A$ は球面 $\Phi_\alpha(D^n)/\Phi_\alpha(S^{n-1})$ のウェッジ和である。$\kappa$ は同相 $I^n/\partial I^n\cong D^n/S^{n-1}$ を誘導するので、良い対 の定理「良い対の相対ホモロジー」「ウェッジ和の被約ホモロジー」により $\{b_\alpha\}$ は基底である。

判定法 (★)．対 $(W,V)$ と $v_0\in V$ について、「$\pi_n'(W,V,v_0)$ は可換で、元の族 $\{p_\lambda\}$ で生成され、$\{h'(p_\lambda)\}$ は $H_n(W,V)$ の基底である」が成り立てば $h'$ は同型である。実際、$h'(p_\lambda)\mapsto p_\lambda$ で準同型 $\sigma\colon H_n(W,V)\to\pi_n'$ が定まり、$h'\sigma=\mathrm{id}$ で、$\sigma$ の像は生成元を含むので $\sigma$ は全射、よって $h'=\sigma^{-1}$ である。対の写像が $\pi_1$、相対 $\pi_n$、相対 $H_n$ に同型を誘導するなら、def-rhz-quotient の後の段落と prop-rhz-h の 2 から、(★) はその写像で一方から他方へ移る。

$n\ge3$ の場合．$\pi_n$ は可換なので、$\pi_n(B,A,x_0)$ が $\{\gamma\cdot e_\alpha\}$ で生成されることを示せば、$q(\gamma\cdot e_\alpha)=q(e_\alpha)$ と基底の結果から (★) が $p_\alpha=q(e_\alpha)$ で成り立つ。$p\colon\tilde B\to B$ を普遍被覆（CW 複体は局所可縮なので存在する。普遍被覆 の定理「普遍被覆の存在」、Hat02 Proposition A.4, p. 522）、$\tilde x_0$ を $x_0$ の上の点、$\tilde A:=p^{-1}(A)$ とする。(a) $p_*\colon\pi_n(\tilde B,\tilde A,\tilde x_0)\to\pi_n(B,A,x_0)$ は同型である。写像 $f$ を、$J^{n-1}$ の点 $c$ への縮小 $f(c+t(s-c))$ の持ち上げ（被覆空間 の定理「ホモトピーの持ち上げ」）で $c\mapsto\tilde x_0$ となるように持ち上げると、$J^{n-1}$ は連結で離散なファイバーに値をとるので $\tilde x_0$ に写り、$\partial I^n$ は $\tilde A$ に写る。ホモトピーも同様に持ち上がり、持ち上げは一意なので（同記事の定理「持ち上げの一意性」）全単射である（相対ホモトピー群 の例「反例の確かめ」の 5 行目 (a) の前半と同じ議論）。(b) $\tilde A$ は弧状連結かつ単連結である。$n\ge3$ なので包含は同型 $\pi_1(A,x_0)\to\pi_1(B,x_0)$ を誘導する（胞体近似定理 の系「胞体の次元と対の連結度」の 3）。$\tilde a\in\tilde A$ から $A$ の中の道を持ち上げて $x_0$ の上の点 $\tilde x'$ に行き、$\tilde x_0$ から $\tilde x'$ への道の像のループを $A$ の中のループに端点を止めて変形して持ち上げれば、終点は変わらず（同記事の系「道のホモトピー類と持ち上げの終点」）、道は $\tilde A$ の中にある。$\tilde A$ の中のループの像は $\tilde B$ が単連結なので $B$ で零ホモトピックであり、単射性から $A$ の中で零ホモトピックで、その零ホモトピーの持ち上げは $\tilde A$ の中にある。(c) $(B,A)$ は $(n-1)$-連結で（同系の 2）、(a) と同じ持ち上げ（$i=1$ では 相対ホモトピー群 の定理「圧縮判定法」で押し込んだホモトピーの持ち上げ）により $(\tilde B,\tilde A)$ も $(n-1)$-連結である。よって Hurewiczの定理 の定理「相対版の Hurewicz の定理」により $h\colon\pi_n(\tilde B,\tilde A,\tilde x_0)\to H_n(\tilde B,\tilde A)$ は同型である。(d) $H_n(\tilde B,\tilde A)$ は、各 $\chi_\alpha$ の持ち上げ $\tilde\chi$ 全体について $\tilde\chi_*[I^n]$ を基底とする。胞体の中心の集合 $O$ について、$B\setminus O$ は各胞体の中で放射方向に押し出すホモトピー（$B\times I$ の位相は Hat02 Theorem A.6, p. 524）で $A$ を強変位レトラクトにもち、これを $\tilde B\setminus p^{-1}(O)$ へ持ち上げると $\tilde A$ も強変位レトラクトになる。よって $H_n(\tilde B,\tilde A)\cong H_n(\tilde B,\tilde B\setminus p^{-1}(O))$（相対ホモロジーと長完全列 の命題「三対の長完全列」と系「強変位レトラクトの相対ホモロジー」）。開胞体は単連結かつ局所弧状連結な開集合なので、その逆像の各弧状連結成分 $U$ は $p$ で開胞体と同相に写り（Hat02 Proposition 1.33, p. 61）、$p^{-1}(O)$ の点を一つずつ含む。$U$ の和の補集合を切除すると（切除定理(特異ホモロジー) の定理「切除定理」）各 $U$ ごとの $H_n(U,U\setminus\{\text{点}\})\cong\mathbb Z$ の直和になり、$\tilde\chi$ と $U$ は一対一に対応し、$\tilde\chi_*[I^n]$ はその $U$ の成分の生成元（$\kappa$ と $\Phi_\alpha$ は中心の近くで同相）で他の成分は $0$ である。(e) 各 $\tilde\chi$ について、$\tilde\chi(J^{n-1})$ の点へ $\tilde x_0$ から行く $\tilde A$ の中の道 $\tilde\delta$ をとると、$\tau_{\tilde\delta}[\tilde\chi]$ の $h$ の値は $\tilde\chi_*[I^n]$ なので、(c)・(d) からこれらは $\pi_n(\tilde B,\tilde A,\tilde x_0)$ を生成する。prop-rhz-action の 1〜3 から $p_*\tau_{\tilde\delta}[\tilde\chi]=\tau_{p\tilde\delta}[\chi_\alpha]=\gamma\cdot e_\alpha$（$\gamma:=[p\tilde\delta\cdot\bar\delta_\alpha]$）であり、(a) から $\pi_n(B,A,x_0)$ は $\{\gamma\cdot e_\alpha\}$ で生成される。

$n=2$ の場合．(a) $A$ は連結な CW 複体なので 1 骨格も連結である。接着写像 $\varphi_\alpha\colon S^1\to A^1$ を、$a_\alpha$ を 1 骨格の中で $x_0$ へ動かすホモトピー（CW 対 $(S^1,s_0)$ のホモトピー拡張性質）で $\varphi'_\alpha(s_0)=x_0$ となる $\varphi'_\alpha$ に取り替えると、得られる $B'$ は $B$ と $A$ を止めてホモトピー同値である（Hat02 Proposition 0.18, p. 16）。この同値は (★) の後半の条件をみたすので、以下 $\Phi_\alpha(s_0)=x_0$ としてよい（$D^2$ は複素平面の単位円板、$s_0=1$）。(b) $E:=\{z:\lvert z-\tfrac12\rvert\le\tfrac12\}$ は単位円周と点 $1$ だけで接する。$E_\alpha:=\Phi_\alpha(E)$、$\Sigma_\alpha:=\Phi_\alpha(\partial E)$ とする。$D^2\setminus\operatorname{int}E$ の点は $1+\lambda(z-1)$（$\lvert z\rvert=1$、$\tfrac12\le\lambda\le1$）と書け、$1$ 以外では表し方は一意である。$(\theta,\lambda)\mapsto\Phi_\alpha(1+\lambda(e^{2\pi i\theta}-1))$ を特性写像とする 2 胞体 $R_\alpha$、$E_\alpha$ の内部の 2 胞体、$\Sigma_\alpha\setminus\{x_0\}$ の 1 胞体を $A$ の胞体に加えると $B$ の CW 構造が得られる（もとの閉胞体は新しい閉胞体の有限個の和なので位相は同じ）。部分複体 $Y:=A\cup\bigcup_\alpha E_\alpha$、$Z:=A\cup\bigcup_\alpha\overline{R_\alpha}$、$C:=Y\cap Z=A\cup\bigcup_\alpha\Sigma_\alpha$ をとる。$C$ は弧状連結で、$(Y,C)$ と $(Z,C)$ は $C$ に 2 胞体を貼った対なので 1-連結である（胞体近似定理 の系「胞体の次元と対の連結度」）。ホモトピー切除定理（Hat02 Theorem 4.23, p. 360。この記事では証明しない）を $m=n=1$ で使うと、包含が誘導する $\iota\colon\pi_2(Y,C,x_0)\to\pi_2(B,Z,x_0)$ は全射である。(c) $Z$ は $R_\alpha$ の中で $1+\lambda(z-1)\mapsto1+(\lambda+t(1-\lambda))(z-1)$ と外へ押し出すホモトピーで $A$ を強変位レトラクトにもつ。よって包含 $A\to Z$ は $\pi_1,\pi_2$ に同型を誘導し、五項補題（非可換群でも同じ図式追跡で成り立つ）と三対の長完全列から、$(B,A,x_0)\to(B,Z,x_0)$ は相対 $\pi_2$ と相対 $H_2$ に同型を誘導する。(★) により $(B,Z)$ について示せばよい。(d) $d_\alpha$ を、prop-rhz-peiffer の証明の $k$ と $z\mapsto\tfrac12(1+z)$ と $\Phi_\alpha$ の合成の類とする。$\partial d_\alpha$ は $\Sigma_\alpha$ を一周するループの類 $c_\alpha\in\pi_1(C,x_0)$ である。$Y$ は $C$ に $c_\alpha$ に沿って 2 胞体を貼ったものなので、$\pi_1(C,x_0)\to\pi_1(Y,x_0)$ の核は $\{c_\alpha\}$ の正規閉包、すなわち $w\,c_\alpha^{\pm1}\,w^{-1}$（$w\in\pi_1(C,x_0)$）で生成される部分群である（Hat02 Proposition 1.26 (a), p. 50）。prop-rhz-action の 4 から $\partial(w\cdot d_\alpha)=w\,c_\alpha\,w^{-1}$ である。$x\in\pi_2(Y,C,x_0)$ について、完全性から $\partial x$ は核に入るので $\partial x=\prod_kw_kc_{\alpha_k}^{\epsilon_k}w_k^{-1}$ と書け、$x':=\sum_k\epsilon_k(w_k\cdot d_{\alpha_k})$（順に加える）について $-x'+x\in\ker\partial$、すなわち $-x'+x$ は $\pi_2(Y,x_0)$ の像に入る。$Y$ は各 $E_\alpha$ を点 $x_0$ へ縮めて $A$ を強変位レトラクトにもつので、$\pi_2(Y,x_0)$ の元は $\pi_2(A,x_0)$ から来る。$\pi_2(A,x_0)\to\pi_2(B,Z,x_0)$ は $\pi_2(Z,x_0)\to\pi_2(B,x_0)\to\pi_2(B,Z,x_0)$ を経由するので $0$ である。よって prop-rhz-action の 3 から $\iota(x)=\iota(x')=\sum_k\epsilon_k(w_k\cdot\iota(d_{\alpha_k}))$ であり、$\iota$ の全射性から $\pi_2'(B,Z,x_0)$ は $q(\iota(d_\alpha))$ で生成される。(e) $(B,Z)$ は良い対で $B/Z$ は球面 $E_\alpha/\Sigma_\alpha$ のウェッジ和であり、$d_\alpha$ の代表は同相 $I^2/\partial I^2\cong E_\alpha/\Sigma_\alpha$ を誘導するので、基底の段と同じく $h(\iota(d_\alpha))$ は $H_2(B,Z)$ の基底である。cor-rhz-abelian とあわせて (★) が成り立つ。$\square$

$X$ から $A$ への、$S^n$ を基点につぶすレトラクションがあるので、$\pi_{n-1}(A,x_0)\to\pi_{n-1}(X,x_0)$ は単射である。$n\ge2$ なので $\pi_n(A,x_0)=0$ であり、対の長完全列から $j\colon\pi_n(X,x_0)\to\pi_n(X,A,x_0)$ は同型である。$\mathbb Z[t,t^{-1}]$ との同型と $h$ の形は引用による。$h'$ は同型なので $\ker h=N_n$ である。$\square$

$CY$ は可縮なので $\partial\colon\pi_2(CY,Y,y_0)\to\pi_1(Y,y_0)$ は同型で、$\pi_1(Y,y_0)$ は階数 2 の自由群である（相対ホモトピー群 の例「錐と可換でない相対ホモトピー群」）。prop-rhz-action の 4 により $\partial(\gamma\cdot x)=\gamma\,(\partial x)\,\gamma^{-1}$ なので、$\partial$ は $N_2$ を $\gamma w\gamma^{-1}w^{-1}$（$\gamma,w\in\pi_1(Y,y_0)$）で生成される正規部分群、すなわち交換子部分群の上へ写す。よって $\pi_2'(CY,Y,y_0)$ は階数 2 の自由群のアーベル化 $\mathbb Z^2$ と同型である。ホモロジーの対の長完全列と $CY$ の可縮性から $H_2(CY,Y)\cong H_1(Y)\cong\mathbb Z^2$ である。$(CY,Y)$ は 1-連結で $CY$・$Y$ は弧状連結なので、これは主定理の $n=2$ の場合の例になっている。$\square$