順序集合上のフィルターとイデアル
概要
順序集合上のフィルターとイデアル（order filter and ideal）とは、半順序集合の上方閉かつ下向き有向な部分集合と、その双対である下方閉かつ上向き有向な部分集合である。交わり半束ではフィルターは有限交わりに閉じ、結び半束ではイデアルは有限結びに閉じる。冪集合の包含順序では集合族としてのフィルターが得られ、束の素フィルターの補集合はイデアルになる。本記事では主フィルター、半束での特徴づけ、素性を扱う。
概要
順序集合上のフィルターは、上に閉じ、任意の二元に対してその両方以下にある元を内部にもつ空でない部分集合である。イデアルはその双対で、下に閉じ、任意の二元に対して両方以上にある元を内部にもつ。交わり半束ではフィルターの有向性は有限交わりへの閉性に、結び半束ではイデアルの有向性は有限結びへの閉性に言い換えられる。冪集合を包含順序で見ると、集合族としてのフィルターはこの順序論的定義の特別な場合になる。
定義
半順序集合 $(P,\leq)$ の部分集合 $F\subseteq P$ が 順序フィルター（order filter）であるとは、次を満たすことをいう。
- $F\neq\emptyset$。
- $x\in F$ かつ $x\leq y$ ならば $y\in F$（上方閉性）。
- $x,y\in F$ ならば、ある $z\in F$ が存在して $z\leq x$ かつ $z\leq y$（下向き有向性）。
$a\in P$ に対し $\mathord\uparrow a:=\{x\in P\mid a\leq x\}$ を $a$ が生成する 主フィルターという。
半順序集合 $(P,\leq)$ の部分集合 $I\subseteq P$ が 順序イデアル（order ideal）であるとは、次を満たすことをいう。
- $I\neq\emptyset$。
- $x\in I$ かつ $y\leq x$ ならば $y\in I$（下方閉性）。
- $x,y\in I$ ならば、ある $z\in I$ が存在して $x\leq z$ かつ $y\leq z$（上向き有向性）。
$a\in P$ に対し $\mathord\downarrow a:=\{x\in P\mid x\leq a\}$ を $a$ が生成する 主イデアルという。順序イデアルは双対順序 $P^{\mathrm{op}}$ 上の順序フィルターにほかならない。
束 $L$ の順序フィルター $F$ が 素フィルター（prime filter）であるとは、$F\neq L$ であり、任意の $a,b\in L$ に対して
$$
a\vee b\in F\quad\Longrightarrow\quad a\in F\text{ または }b\in F
$$
が成り立つことをいう。
順序イデアル $I$ が 素イデアル（prime ideal）であるとは、$I\neq L$ であり、任意の $a,b\in L$ に対して
$$
a\wedge b\in I\quad\Longrightarrow\quad a\in I\text{ または }b\in I
$$
が成り立つことをいう。結びや交わりを持たない一般の半順序集合では、この定義をそのまま用いない。
直感
フィルターは「十分大きい」元を集めた領域であり、一度元を選べばそれより上の元をすべて含む。また二つの条件 $x,y$ を同時に満たす、より強い条件 $z\leq x,y$ を内部で選べる。イデアルは上下を反転した概念で、「十分小さい」元を集め、二つの元を共通に上から支配する元を内部にもつ。
用語「フィルター」は位相空間の収束で使う集合族のフィルターと同じ起源を持つ。集合 $X$ 上の集合族 $\mathcal F\subseteq\mathcal P(X)$ を包含関係で順序づければ、上方閉性と有限共通部分への閉性は、冪集合束上の順序フィルターの条件になる。
例と反例
任意の半順序集合 $P$ と $a\in P$ に対して、$\mathord\uparrow a$ は順序フィルター、$\mathord\downarrow a$ は順序イデアルである。
$a\in\mathord\uparrow a$ なので主フィルターは空でない。$a\leq x\leq y$ なら推移律から $a\leq y$ であり、上方閉である。$x,y\in\mathord\uparrow a$ なら $a\leq x,y$ であり、$a$ 自身を共通下界として選べる。よって $\mathord\uparrow a$ は順序フィルターである。順序を反転した同じ議論により $\mathord\downarrow a$ は順序イデアルである。
正整数を整除関係 $m\leq n\iff m\mid n$ で順序づける。$d$ の倍数全体は主フィルター $\mathord\uparrow d$、$d$ の正の約数全体は主イデアル $\mathord\downarrow d$ である。
集合 $X$ に対し、$\mathcal P(X)$ を包含関係で順序づける。この順序集合上のフィルターは、空でないこと、上位集合への閉性、有限共通部分への閉性を満たす集合族であり、集合上のフィルターの定義と一致する。ただし $\mathcal P(X)$ 全体も順序フィルターに含めるかは、非固有フィルターを許すかという流儀による。
半順序集合 $P=\{a,b,1\}$ で $a<1$, $b<1$ とし、$a,b$ は比較不能とする。$F=\{a,b,1\}$ は上方閉で空でない。しかし $a,b$ の共通下界が $P$ に存在しないので、下向き有向性を破り、順序フィルターではない。したがって「空でない上方集合ならフィルターである」は偽である。
半束における特徴づけ
任意の二元 $x,y$ の交わり $x\wedge y$ が存在する半順序集合 $L$ において、空でない部分集合 $F\subseteq L$ が順序フィルターであることと、$F$ が上方閉で有限交わりに閉じていることは同値である。
$F$ を順序フィルターとし、$x,y\in F$ とする。下向き有向性により $z\in F$ で $z\leq x,y$ となるものがある。交わりの最大性から $z\leq x\wedge y$ であり、上方閉性より $x\wedge y\in F$ となる。
逆に $F$ が空でなく、上方閉で交わりに閉じているとする。$x,y\in F$ なら $x\wedge y\in F$ であり、$x\wedge y\leq x,y$ である。したがって $x\wedge y$ が下向き有向性の証人になる。
任意の二元の結びをもつ半順序集合では、空でない部分集合が順序イデアルであることと、下方閉で有限結びに閉じていることは同値である。
前命題を双対順序に適用する。双対順序での上方閉性は元の順序での下方閉性、交わりは元の順序での結び、下向き有向性は上向き有向性になるので、主張が従う。
素性と補集合
束 $L$ と真の順序フィルター $F\subsetneq L$ に対して、次は同値である。
- $F$ は素フィルターである。
- $L\setminus F$ は順序イデアルである。
$F$ が素フィルターなら $L\setminus F$ は空でない。$x\notin F$ かつ $y\leq x$ のとき、もし $y\in F$ なら上方閉性から $x\in F$ となるので矛盾する。よって補集合は下方閉である。さらに $x,y\notin F$ とする。もし $x\vee y\in F$ なら素性により $x\in F$ または $y\in F$ となって矛盾する。したがって $x\vee y\notin F$ であり、補集合は有限結びに閉じるイデアルである。
逆に $L\setminus F$ がイデアルとする。$a\vee b\in F$ で $a,b\notin F$ なら、イデアルの結びへの閉性から $a\vee b\notin F$ となり矛盾する。ゆえに $a\in F$ または $b\in F$ であり、$F$ は素フィルターである。
双対的に、真の順序イデアル $I$ が素イデアルであることと $L\setminus I$ が順序フィルターであることも同値である。この補集合対応は分配束におけるStone型双対性の入口になる。ただし「すべての真のフィルターが素である」という主張ではない。
注意
- 環のイデアルと順序イデアルは別概念である。環のイデアル全体を包含順序で考える場面では関連するが、定義を混同しない。
- 文献によって order ideal を単に「下方閉集合」の意味で使い、有向性を要求しないことがある。本記事では順序論での directed ideal の意味を採る。
- 一般の半順序集合では $a\vee b$ や $a\wedge b$ が存在するとは限らない。素フィルター・素イデアルの定義には束または必要な半束構造を仮定する。
- 集合上のフィルターでは空集合を含まないことを要求する流儀が多い。これは冪集合束の順序フィルターが真であることに対応する。
関連項目
参考文献
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