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1：$\sigma\in T$ とし、$T'$ のモデル $N'$ をとる。$N'|_L$ は $T$ のモデルなので $N'|_L\models\sigma$ であり、$\sigma$ は $L$ の文なので $N'\models\sigma$ である。$N'$ は任意だったので $T'\models\sigma$、すなわち $T'\vdash\sigma$ である。
2：1 により $T'$ は $T$ の拡大である。$\sigma$ を $L$ の文として $T'\vdash\sigma$ とし、$T$ の任意のモデル $M$ をとる。仮定により、$M'|_L=M$ となる $T'$ のモデル $M'$ がある。$T'\models\sigma$ なので $M'\models\sigma$ であり、$\sigma$ は $L$ の文なので $M=M'|_L\models\sigma$ である。$M$ は任意だったので $T\models\sigma$、すなわち $T\vdash\sigma$ である。$\square$

2 ⇒ 1：$\sigma$ を $L$ の文として $T'\vdash\sigma$ とし、$T$ のモデル $M$ をとる。2 の $N'$ について $N'\models\sigma$ なので $N'|_L\models\sigma$ であり、$N'|_L\equiv M$ より $M\models\sigma$ である。よって $T\models\sigma$、すなわち $T\vdash\sigma$ である。
1 ⇒ 2：$T$ のモデル $M$ をとり、$M$ で真な $L$ の文の全体を $\operatorname{Th}(M)$ とおく。まず $T'\cup\operatorname{Th}(M)$ がモデルをもつことを示す。もたないと仮定すると、コンパクト性定理(一階論理) により $T'\cup\operatorname{Th}(M)$ のある有限部分集合がモデルをもたない。その中の $\operatorname{Th}(M)$ の文を $\tau_1,\dots,\tau_k$ とし、$\tau:=\tau_1\land\dots\land\tau_k$ とおく（$k=0$ なら $\tau$ は $\forall x\,(x=x)$ とする）。$T'\cup\{\tau\}$ はモデルをもたないので、$T'$ のどのモデルでも $\tau$ は偽であり、$T'\models\lnot\tau$、すなわち $T'\vdash\lnot\tau$ である。$\lnot\tau$ は $L$ の文なので、1 により $T\vdash\lnot\tau$ となり、$T$ のモデル $M$ で $\lnot\tau$ が真になる。これは $\tau_1,\dots,\tau_k$ が $M$ で真であることに反する。
そこで $T'\cup\operatorname{Th}(M)$ のモデル $N'$ をとる。$N'$ は $T'$ のモデルである。$L$ の文 $\sigma$ について、$M\models\sigma$ なら $\sigma\in\operatorname{Th}(M)$ なので $N'|_L\models\sigma$ であり、$M\not\models\sigma$ なら $\lnot\sigma\in\operatorname{Th}(M)$ なので $N'|_L\not\models\sigma$ である。よって $N'|_L\equiv M$ である。$\square$

1：$T''$ のモデル $N''$ をとる。$T''$ は $T'$ の拡大なので $N''|_{L'}$ は $T'$ のモデルであり、$T'$ は $T$ の拡大なので $(N''|_{L'})|_L=N''|_L$ は $T$ のモデルである。thm-cons-ext-expansion の 1 により $T''$ は $T$ の拡大である。$L$ の文 $\sigma$ について $T''\vdash\sigma$ なら、$\sigma$ は $L'$ の文でもあるので $T'\vdash\sigma$ であり、したがって $T\vdash\sigma$ である。
2：$T$ が矛盾するなら $T$ はモデルをもたない。$T'$ のモデルがあればその簡約は $T$ のモデルになるので、$T'$ もモデルをもたず、矛盾する。逆に $T'$ が矛盾するとする。矛盾する理論からはどの文も導出できる（無矛盾性 の記事の補題「矛盾からの導出」）ので、$L$ の文 $\theta:=\forall x\,(x=x)$ について $T'\vdash\lnot\theta$ である。保存拡大なので $T\vdash\lnot\theta$ であり、$\theta$ はどの構造でも真なので $T\vdash\theta$ でもある。よって $T$ は矛盾する。
3：$L$ の文 $\sigma$ について $T'\vdash\sigma$ であり、$T\vdash\sigma$ でないとする。$T$ は完全なので $T\vdash\lnot\sigma$ であり、$T'$ は $T$ の拡大なので $T'\vdash\lnot\sigma$ となる。これは $T'$ が無矛盾であることに反する。よって $T\vdash\sigma$ である。
4：$T_0\subset T_\omega$ なので $T_\omega$ は $T_0$ の拡大である。$L_0$ の文 $\sigma$ について $T_\omega\vdash\sigma$ とする。導出は有限の列なので、$T_\omega$ の有限個の文 $\delta_1,\dots,\delta_m$ だけを使っている（コンパクト性定理(一階論理) の記事の系「帰結の有限性」としても得られる）。各 $\delta_i$ はある $T_{k_i}$ に属するので、$k:=\max_ik_i$ とおく。$j\le k$ について、1 を繰り返し使うと $T_k$ は $T_j$ の拡大なので、$T_k\vdash\delta_i$ がすべての $i$ で成り立つ。$T_k$ の任意のモデル $M$（$L_k$ 構造）を $L_\omega$ 構造 $M^+$ に拡張すると、$M^+\models\delta_i$ がすべての $i$ で成り立ち、$\{\delta_1,\dots,\delta_m\}\models\sigma$ なので $M^+\models\sigma$、簡約して $M\models\sigma$ である。よって $T_k\vdash\sigma$ であり、1 を $k$ 回使って $T_0\vdash\sigma$ を得る。$\square$

$T\subset T'$ なので、$T'$ のモデルの簡約は $T$ のモデルである。$T$ のモデル $M$ をとる。$\bar a=(a_1,\dots,a_n)\in M^n$ ごとに
$$ B_{\bar a}:=\{b\in M\mid M\models\varphi[\bar a,b]\} $$
とおく（$x_i$ に $a_i$、$y$ に $b$ を割り当てる）。$M\models\forall\bar x\,\exists y\,\varphi$ なので、各 $B_{\bar a}$ は空でない。選択公理により、写像 $g\colon M^n\to M$ で $g(\bar a)\in B_{\bar a}$ となるものがとれる。$f$ を $g$ と解釈した $M$ の拡張を $M'$ とする。
$x_i$ に $a_i$ を割り当てる割り当て $s$ のもとで、項 $f(x_1,\dots,x_n)$ の $M'$ での値は $g(\bar a)$ である。一階述語論理 の記事の補題「代入補題」により
$$ M'\models\varphi(\bar x,f(\bar x))[s]\iff M'\models\varphi[s_y^{g(\bar a)}]\iff M\models\varphi[\bar a,g(\bar a)] $$
であり（2 つ目の同値は $\varphi$ が $L$ の論理式であることによる）、右端は $g(\bar a)\in B_{\bar a}$ により成り立つ。$\bar a$ は任意なので $M'$ は新しい公理を満たし、簡約が $M$ なので $T$ も満たす。thm-cons-ext-expansion の 2 により、$T'$ は $T$ の保存拡大である。$\square$