位相空間

Euclid空間 $\mathbb R^n$ の通常の距離による 開球 を $B(x,r)=\{y\in\mathbb R^n\mid\|y-x\|< r\}$ と書く。$\mathbb R^n$ の部分集合 $U$ について、各 $x\in U$ に対し $B(x,r)\subseteq U$ を満たす $r>0$ が存在するとき $U$ を開とする。この開集合族は $\mathbb R^n$ 上の位相をなし、これを $\mathbb R^n$ の 通常の位相という。
この開集合族が三公理を満たすことは、より一般に任意の距離空間で成り立つ。その証明は 距離空間 の記事の命題（開球は開基をなす）とその系（開球と開集合）に譲る。

任意の集合 $X$ について、$\mathcal P(X)$ は $X$ 上の位相であり 離散位相 と呼ばれ、$\{\emptyset,X\}$ は $X$ 上の位相であり 密着位相 と呼ばれる。前者ではすべての部分集合が開であり、後者では $\emptyset$ と $X$ だけが開である。どちらも三公理を直接満たす。
離散位相は $X$ 上で最も細かい位相、密着位相は最も粗い位相である（細かい・粗いは prop-topological-space-comparison で定義する）。これは、任意の位相 $\mathcal O$ に対して
$$ \{\emptyset,X\}\subseteq\mathcal O\subseteq\mathcal P(X) $$
が成り立つことを意味する。

$X=\{0,1\}$ とし、$\mathcal O=\{\emptyset,\{1\},X\}$ と置くと、$(X,\mathcal O)$ は位相空間である。$\mathcal O$ の元を列挙すれば、任意和と有限交叉について閉じていることが分かる。
この空間は Sierpinski空間 と呼ばれる。$\{1\}$ が開なので二点密着空間ではなく、$\{0\}$ が開でないので二点離散空間でもない。

全順序集合（全順序）$(L,<)$ について、左半直線 $\{x\in L\mid x< a\}$ と右半直線 $\{x\in L\mid a< x\}$（$a\in L$）をすべて開にする最小の位相を 順序位相 という。この最小の位相は後述の生成によって存在する。
$L=\mathbb R$ に通常の順序を入れた場合、得られる順序位相は上の $n=1$ の通常の位相と一致する。実際、開区間 $(a,b)=(a,\infty)\cap(-\infty,b)$ は二つの半直線の共通部分なので順序位相で開であり、開区間全体は通常の位相の 開基 をなすから、通常の位相の開集合は開区間の和として順序位相でも開である。逆に、半直線 $(a,\infty)=\bigcup_{n\geq1}(a,a+n)$ と $(-\infty,b)=\bigcup_{n\geq1}(b-n,b)$ は通常の位相で開なので、順序位相の最小性により順序位相は通常の位相に含まれる。
順序位相は全順序から作る位相である。開集合族が任意交叉についても閉じるという性質を持つ位相（Alexandroff位相、その空間を Alexandroff 空間という）とは別の概念であり、たとえば通常の位相を入れた $\mathbb R$ は $\bigcap_{n\ge1}(-1/n,1/n)=\{0\}$ が開でないのでこの性質を持たない。