連続体仮説

選択公理のもとでは、任意の集合 $X$ に基数 $|X|$ が定まり、任意の 2 つの濃度は比較可能である（基数 の記事の命題「基数の一意性と濃度の順序」の 3）。
1 ⇒ 2：$\aleph_0<|X|<2^{\aleph_0}=\aleph_1$ となる $X$ があれば、$|X|$ は $\aleph_0$ より大きく $\aleph_1$ より小さい基数となり、$\aleph_1$ が $\aleph_0$ より大きい最小の基数であることに反する。
2 ⇒ 3：$A\subset\mathbb{R}$ が可算でないとする。可算でないことは $|A|\le\aleph_0$ でないことであり、濃度の比較可能性から $\aleph_0<|A|$ である。包含写像により $|A|\le|\mathbb{R}|=2^{\aleph_0}$ であり、2 により $|A|<2^{\aleph_0}$ ではないので $|A|=2^{\aleph_0}=|\mathbb{R}|$ である。
3 ⇒ 1：$\aleph_1\le2^{\aleph_0}=|\mathbb{R}|$ なので、単射 $\iota\colon\omega_1\to\mathbb{R}$ がある。その像 $A:=\iota(\omega_1)$ は $|A|=\aleph_1>\aleph_0$ を満たすので可算でなく、3 により $|A|=|\mathbb{R}|$ である。よって $\aleph_1=2^{\aleph_0}$ である。$\square$

$2^{\aleph_0}=\aleph_\omega$ と仮定して矛盾を導く。$\mathbb{N}$ から $\mathbb{R}$ への写像全体を $X$ とすると、基数 の記事の命題「基数の算術の基本規則」の 3 と $\aleph_0\cdot\aleph_0=\aleph_0$ により
$$|X|=(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0\cdot\aleph_0}=2^{\aleph_0}=\aleph_\omega$$
である。全単射 $h\colon\omega_\omega\to X$ を 1 つとり、$n\in\mathbb{N}$ に対し $X_n:=h(\omega_n)$ とおく。$\omega_\omega=\bigcup_n\omega_n$ なので $X=\bigcup_nX_n$ であり、$|X_n|=\aleph_n$ である。
各 $n$ について $D_n:=\{f(n)\mid f\in X_n\}\subset\mathbb{R}$ とおくと、$D_n$ は $X_n$ の写像 $f\mapsto f(n)$ による像なので $|D_n|\le\aleph_n<\aleph_\omega=|\mathbb{R}|$ であり、$D_n\neq\mathbb{R}$ である。選択公理により、各 $n$ について $r_n\in\mathbb{R}\setminus D_n$ を選び、$g(n):=r_n$ で $g\in X$ を定める。$X=\bigcup_nX_n$ なので $g\in X_m$ となる $m$ があるが、すると $g(m)\in D_m$ となり、$g(m)=r_m\notin D_m$ に反する。$\square$

$F\setminus P$ が可算であること：両端が有理数の開区間 $(p,q)$ で、$(p,q)\cap F$ が可算であるもの全体を $\mathcal{U}$ とする。有理数の対は可算個なので $\mathcal{U}$ は可算である。$x\in F\setminus P$ なら、$x$ のある近傍が $F$ の可算個の点しか含まないので、その近傍に含まれ $x$ を含む有理端点の開区間 $J$ をとれば $J\in\mathcal{U}$ である。よって $F\setminus P\subset\bigcup_{J\in\mathcal{U}}(J\cap F)$ であり、右辺は可算個の可算集合の和集合なので可算である（選択公理のもとで。可算集合 の記事の定理「可算個の可算集合の和集合」）。
$P$ の性質：$F$ は非可算で $F\setminus P$ は可算なので、$P$ は非可算、とくに空でない。$x\in P$ の任意の近傍は $F$ の点を含み、$F$ は閉集合なので $P\subset F$ である。$y$ が $P$ の閉包に属すれば、$y$ の任意の開近傍 $U$ はある $x\in P$ を含み、$U$ は $x$ の近傍でもあるので $F$ の非可算個の点を含む。よって $y\in P$ であり、$P$ は閉集合である。$x\in P$ と $x$ の開近傍 $U$ について、$U\cap F=(U\cap P)\cup\bigl(U\cap(F\setminus P)\bigr)$ の左辺は非可算、右辺の第 2 項は可算なので $U\cap P$ は非可算であり、$x$ 以外の $P$ の点を含む。よって $P$ は孤立点をもたず、完全集合である。
$P$ の濃度：$\{0,1\}$ の元の有限列 $\sigma$ に対し、閉区間 $J_\sigma$ を次の 3 条件を満たすように再帰的に選ぶ。(a) $J_\sigma$ の長さは $2^{-|\sigma|}$ 以下（$|\sigma|$ は列の長さ）、(b) $J_\sigma$ の内部は $P$ の点を含む、(c) $J_{\sigma0},J_{\sigma1}\subset J_\sigma$ であり $J_{\sigma0}\cap J_{\sigma1}=\emptyset$。$x_\emptyset\in P$ を 1 つとり $J_{\emptyset}:=[x_\emptyset-\tfrac12,x_\emptyset+\tfrac12]$ とする。$J_\sigma$ が定まり、その内部が $P$ の点 $x_\sigma$ を含むとする。$x_\sigma$ は $P$ の孤立点でないので、$J_\sigma$ の内部は $x_\sigma$ と異なる $y\in P$ を含む。$\delta>0$ を、$[x_\sigma-\delta,x_\sigma+\delta]$ と $[y-\delta,y+\delta]$ がともに $J_\sigma$ の内部に含まれ、$2\delta<|x_\sigma-y|$ かつ $2\delta\le2^{-(|\sigma|+1)}$ となるようにとり、$J_{\sigma0}:=[x_\sigma-\delta,x_\sigma+\delta]$、$J_{\sigma1}:=[y-\delta,y+\delta]$ とおく。$J_{\sigma0}$ の中心は $x_{\sigma0}:=x_\sigma$、$J_{\sigma1}$ の中心は $x_{\sigma1}:=y$ とすれば、これらは (a)(b)(c) を満たす。
$b\in\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ に対し、$b$ の最初の $n$ 項からなる列を $b|_n$ とすると、$J_{b|_0}\supset J_{b|_1}\supset\cdots$ は長さが $0$ に収束する閉区間の減少列なので、共通部分はただ 1 点からなる（実数の連続性、非可算集合 の記事の定理「区間の非可算性」の証明と同じ議論）。この点を $\psi(b)$ とする。各 $n$ について $J_{b|_n}$ の点 $p_n\in P$ をとると $|p_n-\psi(b)|\le2^{-n}$ なので $p_n\to\psi(b)$ であり、$P$ は閉集合なので $\psi(b)\in P$ である。$b\neq b'$ なら、最初に異なる番号を $n$ とし $\sigma:=b|_n$ とすると、$\psi(b)$ と $\psi(b')$ は交わらない $J_{\sigma0}$、$J_{\sigma1}$ に別々に属するので $\psi(b)\neq\psi(b')$ である。したがって $\psi\colon\{0,1\}^{\mathbb{N}}\to P$ は単射であり、$2^{\aleph_0}\le|P|\le|F|\le|\mathbb{R}|=2^{\aleph_0}$ である。Cantor–Bernstein の定理（基数 の記事の定理「Cantor–Bernstein の定理：単射の往復から全単射」）により $|F|=|P|=2^{\aleph_0}$ である。$\square$