Cayley–Bacharachの定理

1：$\Gamma$ の各点 $P$ で $F$ と $G$ は横断的に交わり、$H(P)=0$ なので、Max Noetherの基本定理 の命題「Noether の条件の判定法」の 1 により、$P$ で Noether の条件が成り立つ。同記事の定理「Max Noether の基本定理」により、$H=AF+BG$ となる次数 $m-d$、$m-e$ の形式 $A,B$ がある。
2：$AF+BG=A'F+B'G$ とすると $(A-A')F=(B'-B)G$ である。$S$ は一意分解整域で、$F,G$ は共通の既約因子をもたないので、$G$ は $A-A'$ を割り切る。$A-A'$ は $0$ か次数 $m-d< e=\deg G$ の形式なので、$A=A'$ であり、すると $B=B'$ である。よって線形写像
$$ S_{m-d}\oplus S_{m-e}\to I_\Gamma(m),\qquad(A,B)\mapsto AF+BG $$
は単射で、1 により全射である。
3：$s=d+e-3< d+e$ で、$s-d=e-3\ge-2$、$s-e=d-3\ge-2$ なので、2 により
$$ h_\Gamma(s)=\frac{(d+e-1)(d+e-2)}2-\frac{(e-1)(e-2)}2-\frac{(d-1)(d-2)}2 $$
である。右辺の分子を展開すると $(d+e)^2-3(d+e)+2-(e^2-3e+2)-(d^2-3d+2)=2de-2$ なので、$h_\Gamma(s)=de-1$ である。$\square$

$H(P)\ne0$ と仮定して矛盾を導く。
段 1：補助の直線を選ぶ。 $P$ を通る直線で、次のどれにも当たらないもの $L$ をとる：$P$ と $\Gamma$ のほかの点を結ぶ直線（高々 $de-1$ 本）、$F$ または $G$ の成分になっている直線、$P$ での $F$ の接線と $G$ の接線（$P$ は $F$ と $G$ の単純点なので、接線はそれぞれ 1 本）。$P$ を通る直線は無限にあり（$k$ は代数閉体なので無限体）、除くものは有限個なので、このような $L$ はある。$L\cap\Gamma=\{P\}$ である。
段 2：$LH$ を AF+BG と書く。 $LH$ は $s+1=d+e-2$ 次の形式で、$\Gamma$ のすべての点を通る（$P$ では $L$ が消える）。prop-cb-ideal の 1 により、次数 $e-2$、$d-2$ の形式 $A,B$（次数が負なら $0$）で
$$ LH=AF+BG $$
となるものがある。
段 3：$L$ の上に制限する。 射影変換で $L$ を $Y=0$ にとり直してよい（射影変換は形式の次数、点を通るかどうか、接線を保つ）。形式 $K$ に対し $\bar K:=K(X,0,Z)\in k[X,Z]$ とおくと、$K\mapsto\bar K$ は環の準同型で、$\bar K=0$ であることと $Y$ が $K$ を割り切ることは同値である。$\overline{LH}=0$ なので
$$ \bar A\bar F+\bar B\bar G=0 $$
である。$L$ は $F,G$ の成分でないので $\bar F,\bar G\ne0$ で、次数はそれぞれ $d,e$ である。
段 4：$\bar F$ と $\bar G$ の共通の 1 次因子は $P$ だけで、重複しない。 $k$ は代数閉体なので、2 変数の形式 $\bar F$ は 1 次式の積に分解し、その 1 次因子が $L\cap F$ の点に、重複度が交点数 $I(\cdot,F\cap L)$ に対応する（Bézoutの定理 の例「直線と曲線：代入して解の個数を数える」）。$P$ は $F$ の単純点で $L$ は $P$ での $F$ の接線でないので、交点数(平面曲線) の命題「性質 (v)：重複度との不等式」の等号の場合として $I(P,F\cap L)=1$ である。$G$ についても同じである。$P$ に対応する 1 次式を $\lambda$ とすると
$$ \bar F=\lambda F_1,\qquad\bar G=\lambda G_1\qquad(\lambda\nmid F_1,\ \lambda\nmid G_1) $$
と書ける。$F_1$ と $G_1$ に共通の 1 次因子があれば、それは $L$ の上の $P$ と異なる点で $F$ と $G$ がともに消えることを意味し、$L\cap\Gamma=\{P\}$ に反する。よって $F_1$ と $G_1$ は互いに素で、次数は $d-1$、$e-1$ である。
段 5：$L$ は $A$ と $B$ を割り切る。 段 3 の式を $\lambda$ で割ると $\bar AF_1=-\bar BG_1$ である。$k[X,Z]$ は一意分解整域なので $G_1$ は $\bar A$ を割り切る。$\bar A$ は $0$ か次数 $e-2< e-1=\deg G_1$ の形式なので、$\bar A=0$ である。同様に $F_1$ は $\bar B$ を割り切り、$\deg\bar B\le d-2< d-1$ から $\bar B=0$ である。よって $A=LA'$、$B=LB'$ となる形式 $A',B'$ がある。
段 6：矛盾。 $LH=L(A'F+B'G)$ で $S$ は整域なので $H=A'F+B'G$ である。$P\in F\cap G$ なので $H(P)=0$ となり、仮定に反する。$\square$

thm-cb-main により $I_{\Gamma\setminus\{P\}}(s)=I_\Gamma(s)$ なので、prop-cb-ideal の 3 により $h_{\Gamma\setminus\{P\}}(s)=h_\Gamma(s)=de-1=|\Gamma\setminus\{P\}|$ である。後半：$c_P=0$ とすると、$\mathrm{ev}$ の像 $\{z\in k^\Gamma\mid\sum_Qc_Qz_Q=0\}$ は、$P$ の座標だけが $1$ で残りが $0$ のベクトルを含む。それは $P$ 以外の点をすべて通り $P$ を通らない $s$ 次の形式があることを意味し、定理に反する。$\square$

1 は thm-cb-main の $d=e=3$ の場合である。2：1 により $P_1,\dots,P_8$ を通る 3 次の形式の空間は $I_\Gamma(3)$ に等しい。prop-cb-ideal の 2 により $\dim I_\Gamma(3)=\dim S_0+\dim S_0=2$ で、$H=aC_1+bC_2$（$a,b\in k$）の形の形式で尽くされる。$\square$

要点：$P_1,\dots,P_8$ を通る 3 次の形式の空間 $V$ が 2 次元であることを示せば、$V$ は $C_1,C_2$ で張られ、その元はすべて $P_9$ を通る。$\dim V\ge3$ と仮定し、点の配置で 3 つの場合に分けて矛盾を導く。