Droz-Farnyの直線定理

$A(1,3)$、$B(-2,-1)$、$C(4,-3)$ とする。3 つの角はおよそ $63.4^\circ$、$71.6^\circ$、$45.0^\circ$ で、鋭角三角形である。
(1) 垂心は原点 $H(0,0)$ である。実際、$\overrightarrow{HA}=(1,3)$ と $\overrightarrow{BC}=(6,-2)$ の内積は $6-6=0$、$\overrightarrow{HB}=(-2,-1)$ と $\overrightarrow{CA}=(-3,6)$ の内積は $6-6=0$ なので、$H$ は $A$ からの垂線と $B$ からの垂線の上にある（ベクトルの内積）。
(2) 3 辺を含む直線の方程式は次のとおりである（直線の方程式と点と直線の距離）。
$$ BC:\ x+3y=-5,\qquad CA:\ 2x+y=5,\qquad AB:\ 4x-3y=-5 $$
(3) $H$ を通る直交 2 直線として、$x$ 軸と $y$ 軸をとる。各直線と 2 本の軸の交点、その中点は次のとおりである。

• $BC$：$x$ 軸と $(-5,0)$、$y$ 軸と $\left(0,-\dfrac53\right)$ で交わる。中点は $M_A\left(-\dfrac52,-\dfrac56\right)$。
• $CA$：$x$ 軸と $\left(\dfrac52,0\right)$、$y$ 軸と $(0,5)$ で交わる。中点は $M_B\left(\dfrac54,\dfrac52\right)$。
• $AB$：$x$ 軸と $\left(-\dfrac54,0\right)$、$y$ 軸と $\left(0,\dfrac53\right)$ で交わる。中点は $M_C\left(-\dfrac58,\dfrac56\right)$。

4. $\overrightarrow{M_AM_B}=\left(\dfrac{15}4,\dfrac{10}3\right)=\dfrac5{12}(9,8)$、$\overrightarrow{M_AM_C}=\left(\dfrac{15}8,\dfrac53\right)=\dfrac5{24}(9,8)$ で、どちらも $(9,8)$ の実数倍である。よって 3 点 $M_A$、$M_B$、$M_C$ は、$M_A$ を通り方向 $(9,8)$ の直線
   $$ \boxed{16x-18y+25=0} $$
   の上に並ぶ。

$A(-2,1)$、$B(-3,3)$、$C(-6,-3)$ とする。$\angle A$ はおよそ $108.4^\circ$ で、鈍角三角形である。原点を $H(0,0)$ とすると、$\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{BC}=(-2)(-3)+1\cdot(-6)=0$、$\overrightarrow{HB}\cdot\overrightarrow{CA}=(-3)\cdot4+3\cdot4=0$ なので、垂心は原点 $H$ で、三角形の外にある。
ex-dfl-start と同じく $x$ 軸・$y$ 軸をとると、3 つの中点は $M_A\left(-\dfrac94,\dfrac92\right)$、$M_B\left(-\dfrac32,\dfrac32\right)$、$M_C\left(-\dfrac34,-\dfrac32\right)$ で、直線 $8x+2y+9=0$ の上に並ぶ。

$A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(0,3)$ とする。$\angle A=90^\circ$ で、垂心は $H=A$ である。$H$ を通る直交 2 直線として $y=x$ と $y=-x$ をとる。直線 $BC:\ 3x+4y=12$ との交点は $\left(\dfrac{12}7,\dfrac{12}7\right)$ と $(-12,12)$ で、中点は $\left(-\dfrac{36}7,\dfrac{48}7\right)$ である。一方、直線 $AB$ と直線 $CA$ はどちらも $H$ を通るので、2 本の直線と交わる点はどちらも $A$ で、「線分」は 1 点 $A$ につぶれ、中点も $A$ である。3 つの中点のうち 2 つが同じ点 $A$ なので、一直線上にあることは何も言っていない。

ex-dfl-start の三角形で、$H$ を通る直交 2 直線として $y=x$ と $y=-x$ をとる。3 本の線分の中点は $\left(\dfrac58,-\dfrac{15}8\right)$、$\left(\dfrac{10}3,-\dfrac53\right)$、$\left(-\dfrac{20}7,-\dfrac{15}7\right)$ である。

ex-dfl-start で $t=\dfrac13$ とする。$k=-5$ なので
$$ T_A\left(\frac23\cdot(-5),\ \frac13\cdot\left(-\frac53\right)\right)=\left(-\frac{10}3,-\frac59\right),\qquad T_B\left(\frac53,\frac53\right),\qquad T_C\left(-\frac56,\frac59\right) $$
である。$\overrightarrow{T_AT_B}=\left(5,\dfrac{20}9\right)=\dfrac59(9,4)$、$\overrightarrow{T_AT_C}=\left(\dfrac52,\dfrac{10}9\right)=\dfrac5{18}(9,4)$ なので、3 点は方向 $(9,4)$ の直線の上にある。公式 $\vec v_t=\left(\dfrac23\cdot9,\ -\dfrac13\cdot(-8)\right)=\left(6,\dfrac83\right)=\dfrac23(9,4)$ とも一致する。

垂心 $H(0,0)$ を通る $x$ 軸と直線 $y=x$ をとる（なす角は $45^\circ$）。直線 $BC:\ x+3y=-5$ との交点は $(-5,0)$ と $\left(-\dfrac54,-\dfrac54\right)$ で、中点は $\left(-\dfrac{25}8,-\dfrac58\right)$ である。直線 $CA:\ 2x+y=5$ との交点は $\left(\dfrac52,0\right)$ と $\left(\dfrac53,\dfrac53\right)$ で、中点は $\left(\dfrac{25}{12},\dfrac56\right)$ である。直線 $AB:\ 4x-3y=-5$ との交点は $\left(-\dfrac54,0\right)$ と $(-5,-5)$ で、中点は $\left(-\dfrac{25}8,-\dfrac52\right)$ である。
1 つ目と 3 つ目の中点は $x$ 座標がどちらも $-\dfrac{25}8$ なので、この 2 点を通る直線は $x=-\dfrac{25}8$ である。2 つ目の中点の $x$ 座標は $\dfrac{25}{12}\ne-\dfrac{25}8$ なので、3 つの中点は一直線上にない。
証明のどこが崩れるかというと、prf-dfl-main の段 1 で 2 直線を $x$ 軸と $y$ 軸にとれなくなる。斜めの座標軸で成分を書くと、内積の式 $\vec a\cdot\vec x=a_1x+a_2y$ が使えなくなり、lem-dfl-side の形の方程式にならない。

1. 外心 $O\left(\dfrac32,-\dfrac12\right)$ を通る直線 $y=-\dfrac12$ と $x=\dfrac32$ をとる。3 本の線分の中点は
   $$ \left(-1,-\frac43\right),\qquad \left(\frac{17}8,\frac34\right),\qquad \left(-\frac1{16},\frac{19}{12}\right) $$
   である。1 つ目から 2 つ目へのベクトルは $\left(\dfrac{25}8,\dfrac{25}{12}\right)=\dfrac{25}{24}(3,2)$、1 つ目から 3 つ目へのベクトルは $\left(\dfrac{15}{16},\dfrac{35}{12}\right)=\dfrac5{48}(9,28)$ で、$3\cdot28-2\cdot9=66\ne0$ なので平行でない。3 つの中点は一直線上にない。
2. 重心 $G\left(1,-\dfrac13\right)$ を通る直線 $y=-\dfrac13$ と $x=1$ をとっても、3 つの中点は一直線上にない。
   重心の場合の中点を開く

   3 本の線分の中点は $\left(-\dfrac32,-\dfrac76\right)$、$\left(\dfrac{11}6,\dfrac43\right)$、$\left(-\dfrac14,\dfrac43\right)$ である。2 つ目と 3 つ目は $y$ 座標がどちらも $\dfrac43$ なので、この 2 点を通る直線は $y=\dfrac43$ で、1 つ目の点は乗らない。

   どちらも lem-dfl-origin の「3 つの内積が等しい」が崩れる。外心 $O$ を原点にとり直すと、頂点の位置ベクトルは $\vec a=\left(-\dfrac12,\dfrac72\right)$、$\vec b=\left(-\dfrac72,-\dfrac12\right)$、$\vec c=\left(\dfrac52,-\dfrac52\right)$ で、$\vec a\cdot\vec b=0$、$\vec b\cdot\vec c=-\dfrac{15}2$、$\vec c\cdot\vec a=-10$ となり、等しくない。